Element av kombinatorik permutation kombinationer presentation. Kombinatorik är det första steget in i stor vetenskap. Lösning av kombinatoriska problem

Presentation om ämnet: Elements of Combinatorics!!!

Student i Group PR – 101(K) Savchenko A.A. Kontrollerad av Malygina G.S.

Kombinatorik! (Kombinatorisk analys) är en gren av matematiken som studerar diskreta objekt, mängder (kombinationer, permutationer, placering och uppräkning av element) och relationer på dem (till exempel partiell ordning). Kombinatorik är relaterat till många andra områden inom matematiken - algebra, geometri, sannolikhetsteori, och har ett brett spektrum av tillämpningar inom olika kunskapsområden (till exempel genetik, datavetenskap, statistisk fysik). Termen "kombinatorik" introducerades i matematisk användning av Leibniz, som 1666 publicerade sitt verk "Diskurser om konsten att kombinera".

Metoder för kombinatorik En permutation av n element (till exempel siffrorna 1,2,...,n) är vilken som helst ordnad uppsättning av dessa element. En permutation är också ett arrangemang av n element i n ordning. En kombination av n till k är en uppsättning av k element valda från givna n element. Uppsättningar som bara skiljer sig i ordningen på elementen (men inte i sammansättning) anses vara identiska, det är därför kombinationer skiljer sig från placeringar. Sammansättningen av n är vilken representation som helst av n som en ordnad summa av positiva heltal. En partition av n är varje representation av n som en oordnad summa av positiva heltal.

Kombinatoriska problem Combinatorics kommer från det latinska ordet combinare, som betyder "att ansluta, kombinera." Kombinatoriska metoder används i stor utsträckning inom fysik, kemi, biologi, ekonomi och andra kunskapsområden. Kombinatorik kan betraktas som en del av mängdteorin - vilket kombinatoriskt problem som helst kan reduceras till ett problem om ändliga mängder och deras avbildningar.

I. Nivåer för att lösa kombinatoriska problem 1. Inledande nivå. Uppgiften att hitta minst en lösning, minst ett arrangemang av objekt med givna egenskaper är att hitta ett sådant arrangemang av tio punkter på fem segment, där det finns fyra punkter på varje segment; - ett sådant arrangemang med åtta damer på ett schackbräde där de inte slår varandra. Ibland är det möjligt att bevisa att detta problem inte har någon lösning (det är till exempel omöjligt att arrangera 10 bollar i 9 urnor så att varje urna inte innehåller mer än en boll - minst en urna kommer att innehålla minst två bollar). 6

2. Andra nivån. Om ett kombinatoriskt problem har flera lösningar, uppstår frågan om att räkna antalet sådana lösningar och beskriva alla lösningar på detta problem. 3. Tredje nivån. Lösningar på detta kombinatoriska problem skiljer sig från varandra i vissa parametrar. I det här fallet uppstår frågan om att hitta den optimala lösningen på ett sådant problem. Till exempel: En resenär vill lämna stad A, besöka städerna B, C och D. Återvänd sedan till stad A. 7

8 I fig. visar ett diagram över de rutter som förbinder dessa städer. Olika resealternativ skiljer sig från varandra i den ordning de besöker städerna B, C och D. Det finns sex resealternativ. Tabellen visar alternativen och längderna för varje väg:

Regler för summa och produkt 1. Hur många olika cocktails kan göras av fyra drinkar, blanda dem i lika stora mängder av två? AB, AC, AD, BC, BD, CD – 6 cocktails totalt 2. Hur många olika tvåsiffriga nummer kan göras av siffrorna 0, 1, 2, 3? Den första siffran i ett tvåsiffrigt nummer kan vara en av siffrorna 1, 2, 3 (siffran 0 kan inte vara den första). Om den första siffran väljs kan den andra vara vilken som helst av siffrorna 0, 1, 2, 3. Eftersom Varje vald först motsvarar fyra sätt att välja den andra, sedan totalt finns det 4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 olika tvåsiffriga tal. 9 A D C B

2. Hur många olika tvåsiffriga nummer kan göras av siffrorna 0, 1, 2, 3? 4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 olika tvåsiffriga nummer. Första siffran andra siffran 1 2 3 10 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

"Exempel på att lösa kombinatoriska problem: uppräkning av alternativ, summaregel, multiplikationsregel." 11 På hur många sätt kan de 4 deltagarna i finalloppet placeras på fyra löpband? Рп = 4 3 2 1= 24 sätt (permutationer av 4 element) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 3 4 2 4 2 3 4 3 4 2 3 2 3 4 1 4 3 1 3 4 1 1 3 2 4 1 4 1 2 4 2 4 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 1 spår 2 spår 3 spår 4 spår. Det beslutades att se över alternativen

Exempel på kombinatoriska problem I ett tärningsspel kastas två tärningar och de resulterande poängen adderas; Hur många kombinationer finns det så att summan av punkterna på de övre ytorna är tolv? Lösning: Varje möjligt utfall motsvarar en funktion (funktionsargumentet är tärningens nummer, värdet är punkterna på ovansidan). Uppenbarligen ger bara 6+6 det önskade resultatet av 12. Det finns alltså bara en funktion som matchar 1 med siffran 6 och 2 med siffran 6. Eller, med andra ord, det finns bara en kombination så att summan av punkterna på de övre ytorna är lika med tolv.

Avsnitt av kombinatorik!

Enumerativ kombinatorik Enumerativ kombinatorik (eller kalkylativ kombinatorik) tar hänsyn till problem med att räkna upp eller räkna antalet olika konfigurationer (till exempel permutationer) som bildas av element av ändliga mängder, som kan vara föremål för vissa begränsningar, såsom: särskiljbarheten eller oskiljaktigheten hos element , möjligheten till upprepning av identiska element, etc. n. Antalet konfigurationer som bildas av flera manipulationer över setet beräknas enligt reglerna för addition och multiplikation. Ett typiskt exempel på problem i detta avsnitt är att räkna antalet permutationer. Ett annat exempel är det berömda brevproblemet.

Probabilistisk kombinatorik! Det här avsnittet svarar på frågor som: vad är sannolikheten för närvaron av en viss egenskap i en given uppsättning.

Kort historisk bakgrund De första verken där sannolikhetsteorins grundläggande begrepp uppstod var försök att skapa en teori om hasardspel (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat och andra på 1500-1600-talen). Nästa steg i utvecklingen av sannolikhetsteorin förknippas med namnet Jacob Bernoulli (1654-1705). Satsen han bevisade, som senare blev känd som "Law of Large Numbers", var det första teoretiska belägget för de tidigare ackumulerade fakta. Sannolikhetsteorin har ytterligare framgångar att tacka Moivre, Laplace, Gauss, Poisson och andra. Den nya, mest fruktbara perioden är förknippad med namnen P. L. Chebyshev (1821-1894) och hans elever A. A. Markov (1856-1922) och A. M. .Lyapunov ( 1857-1918). Under denna period blir sannolikhetsteorin en harmonisk matematisk vetenskap. Dess efterföljande utveckling beror främst på ryska och sovjetiska matematiker (S. N. Bernstein, V. I. Romanovsky, A. N. Kolmogorov, A. Ya. Khinchin, B. V. Gnedenko, N. V. Smirnov, etc. . . .). För närvarande tillhör den ledande rollen i skapandet av nya grenar av sannolikhetsteorin också den sovjetiska

Petrov Vladimir, elev i den 12:e gruppen av den statliga budgetutbildningsinstitutionen SO NPO "Yrkesskola nr 22", Saratov

Presentationen diskuterar exempel på att lösa problem med att hitta permutationer, placeringar och kombinationer.

Ladda ner:

Förhandsvisning:

För att använda presentationsförhandsvisningar, skapa ett Google-konto och logga in på det: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Delar av kombinatorik: permutationer, kombinationer och placeringar Presentationen förbereddes av Vladimir Petrov, en student i grupp 12 av den statliga budgetutbildningsinstitutionen SO NPO.

Kombinatorik är en gren av matematiken som är upptagen med att söka efter svar på frågor: hur många kombinationer finns det i ett givet fall, hur man väljer den bästa bland alla dessa kombinationer. Ordet "combinatorics" kommer från det latinska ordet "combinare", som översatt till ryska betyder "att kombinera", "att ansluta". Termen "kombinatorik" introducerades av den berömda Gottfried Wilhelm Leibniz, en världsberömd tysk vetenskapsman.

Kombinatoriska problem delas in i flera grupper: Permutationsproblem Placeringsproblem Kombinationsproblem

Omarrangeringsproblem På hur många sätt kan 3 olika böcker placeras i en bokhylla? Detta är ett permutationsproblem

Skriv n! lyder så här: "en factorial" Faktoriell är produkten av alla naturliga tal från 1 till n Till exempel 4! = 1*2*3*4 = 24 n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 Faktorer växer förvånansvärt snabbt:

Uppgift. På hur många sätt kan de 8 deltagarna i finalloppet arrangeras på åtta löpband? P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

En permutation av n element är varje arrangemang av dessa element i en viss ordning. P n = 1 · 2 · 3 · ... · n. Pn=n!

Uppgift. Quartet Naughty Monkey Donkey, Goat, Yes, klubbfotade Bear De började spela en kvartett... Sluta, bröder, sluta! - Apan ropar, - vänta! Hur ska musiken gå till? När allt kommer omkring, du sitter inte så... Och du bytte plats på det här sättet – återigen går inte musiken bra. Nu har de fler diskussioner och dispyter än någonsin om vem som ska sitta och hur... På hur många sätt kan fyra musiker få plats? P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Placeringsuppgifter

Problem: Vi har 5 böcker, att vi bara har en hylla och att den bara rymmer 3 böcker. På hur många sätt kan 3 böcker placeras på en hylla? Vi väljer en av 5 böcker och lägger den på första plats i hyllan. Vi kan göra detta på 5 sätt. Nu finns det två platser kvar i hyllan och vi har 4 böcker kvar. Vi kan välja den andra boken på 4 sätt och placera den bredvid en av de 5 möjliga första. Det kan finnas 5·4 sådana par. Det finns 3 böcker och en plats kvar. En bok av 3 kan väljas på 3 sätt och placeras bredvid ett av de möjliga 5·4 paren. Du får 5·4·3 olika trillingar. Det betyder att det totala antalet sätt att placera 3 böcker av 5 är 5·4·3 = 60. Detta är ett placeringsproblem.

Ett arrangemang av n element med k (k≤n) är en uppsättning som består av k element tagna i en viss ordning från de givna n elementen.

Uppgift. Elever i andra klass läser 9 ämnen. På hur många sätt kan man skapa ett schema för en dag så att det innehåller 4 olika ämnen? A 4 9 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

Bestäm själv: Det är 27 elever i klassen. Du måste skicka en elev för att hämta krita, den andra för att vara i tjänst i cafeterian och den tredje för att ringa till tavlan. På hur många sätt kan detta göras?

Kombinationsproblem: Problem. På hur många sätt kan 3 volymer ordnas i en bokhylla om du väljer dem bland de 5 externt oskiljbara böcker som finns tillgängliga? Böckerna är till det yttre omöjliga att urskilja. Men de skiljer sig åt, och avsevärt! Dessa böcker har olika innehåll. En situation uppstår när sammansättningen av provelementen är viktig, men ordningen på deras arrangemang är oviktig. 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 svar: 10 Detta är ett kombinationsproblem

En kombination av n element med k är vilken uppsättning som helst som består av k element valda från de givna n elementen.

Uppgift. Det är 7 personer i klassen som framgångsrikt gör matematik. På hur många sätt kan du välja två av dem att delta i den matematiska olympiaden? C72 = = 21

Bestäm själv: I klass 7 går eleverna bra i matematik. På hur många sätt kan två av dem väljas ut att skickas för att delta i den matematiska olympiaden?

En speciell egenskap hos kombinatoriska problem är en fråga som kan formuleras så att den börjar med orden "På hur många sätt..." eller "Hur många alternativ..."

Permutationer Placeringar Kombinationer av n element n celler n element k celler n element k celler Ordningsfrågor Ordningsfrågor Ordning spelar ingen roll Låt oss göra en tabell:

Lös problemen själv: 1. Det finns 10 vita och 6 svarta bollar i lådan. På hur många sätt kan en boll av valfri färg tas ur en låda? 2. Olga minns att hennes väns telefonnummer slutar med tre nummer 5, 7, 8, men hon glömde i vilken ordning dessa nummer är placerade. Ange det största antalet alternativ som hon måste gå igenom för att komma fram till sin vän. 3. Filatelibutiken säljer 8 olika uppsättningar frimärken dedikerade till sportteman. På hur många sätt kan du välja 3 set från dem?

Element av kombinatorik 9-11 årskurser, MBOU Kochnevskaya gymnasielärare Gryaznova A.K. Huvudfrågor:

• Vad är kombinatorik?
Vilka problem anses vara kombinatoriska?
• Omarrangemang
• Placeringar
• Kombinationer

• Kombinatorik– en gren av matematiken som behandlar problem med att räkna antalet kombinationer gjorda enligt vissa regler.

• Kombinatorik– från det latinska ordet kombinera, vilket betyder "att ansluta, kombinera."
• Kombinatoriska metoder används i stor utsträckning inom fysik, kemi, biologi, ekonomi och andra kunskapsområden.
• Kombinatorik kan betraktas som en del av mängdteorin - vilket kombinatoriskt problem som helst kan reduceras till ett problem om ändliga mängder och deras avbildningar.

• 3. Tredje nivån.
Lösningar på detta kombinatoriska problem skiljer sig från varandra i vissa parametrar. I det här fallet uppstår frågan om att hitta optimal möjlighet att lösa ett sådant problem. Till exempel: En resenär vill lämna stad A, besöka städerna B, C och D och sedan återvända till stad A.

I fig. visar ett diagram över de rutter som förbinder dessa städer. Olika resealternativ skiljer sig från varandra i den ordning de besöker städerna B, C och D. Det finns sex resealternativ. Tabellen visar alternativen och längderna för varje väg:

• Kombinatoriska optimeringsproblem måste lösas av en arbetsledare som strävar efter snabbast slutförande av en uppgift, en agronom som strävar efter högsta skörd i givna fält, etc.

• Vi kommer bara att överväga problem med att räkna antalet lösningar på ett kombinatoriskt problem.
Denna gren av kombinatorik, kallad uppräkningsteori, är nära besläktad med sannolikhetsteorin.

• 1. Hur många olika cocktails kan göras av fyra drinkar, blanda dem i lika stora mängder av två?
• AB, AC, AD, BC, BD, CD – 6 cocktails totalt
Den första siffran i ett tvåsiffrigt nummer kan vara en av siffrorna 1, 2, 3 (siffran 0 kan inte vara den första). Om den första siffran väljs kan den andra vara vilken som helst av siffrorna 0, 1, 2, 3. Eftersom Varje vald först motsvarar fyra sätt att välja den andra, sedan totalt finns det 4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 olika tvåsiffriga tal.

2. Hur många olika tvåsiffriga nummer kan göras av siffrorna 0, 1, 2, 3?

• 2. Hur många olika tvåsiffriga nummer kan göras av siffrorna 0, 1, 2, 3?
4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 olika tvåsiffriga nummer.
• Första siffran andra siffran

• Om element A kan väljas från en uppsättning element på n sätt och för varje sådant val kan element B väljas på t sätt, då kan två element (par) A och B väljas på n sätt.

• På hur många sätt kan de 4 deltagarna i finalloppet placeras på fyra löpband?

R n = 4 3 2 1= 24 sätt (permutationer av 4 element)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 spår

4·3·2·1 = 4! sätt

• Permutation från P- element är kombinationer som skiljer sig från varandra endast i ordningen av elementen
• Pn - antal permutationer (P är den första bokstaven i det franska ordet permutation - permutation)
Рп= n·( n- 1)·( n- 2)·( n- 3)·( n- 4)·. . .·3 ·2 ·1= n! Rp= n!

• Fyra medresenärer bestämde sig för att byta visitkort. Hur många kort användes totalt?
Jag fick 12 kort. Var och en av de fyra medresenärerna gav ett visitkort till var och en av de tre medresenärerna 4 3 = 12

Kombinationer gjorda av k element hämtade från n element, och som skiljer sig från varandra antingen i sammansättning eller i ordningsföljden för elementens arrangemang, kallas placeringar från n element av k(0< k ≤n ).

Boende från n element av k element. Och första bokstaven

Franska ord arrangemang: "placering",

"sätta i ordning"

• Det finns 4 tomma bollar och 3 tomma celler. Låt oss beteckna bollarna med bokstäver a, b, c, d. Tre bollar från detta set kan placeras i de tomma cellerna på olika sätt.
• Genom att välja första, andra och tredje bollen olika kommer vi att få olika beordrade tre bollar
• Varje beordrade en trippel som kan bestå av fyra element kallas placering av fyra element, tre vardera

• Hur många placeringar kan göras från 4 element ( abcd) tre?
• abc abd acb acd adb adc
• bac dåligt bca bcd bda bdc
• cab cad cba cbd cda cdb
• dab dac dba dbc dca dcb

Det beslutades att se över alternativen

• Du kan lösa detta utan att skriva ut själva placeringarna:
• först ett element kan väljas på fyra sätt, så det kan vara vilket element av fyra som helst;
• för varje första andra kan väljas på tre sätt;
• för varje första två finns det två sätt att välja tredje element från de återstående två.
Vi får

Lös med multiplikationsregeln

• En kombination av P element av kär vilken uppsättning som helst som består av k element valda från P element

Till skillnad från placeringar i kombinationer ordningen på elementen spelar ingen roll. Två kombinationer skiljer sig från varandra i minst ett element

2. Markerad på cirkeln P poäng. Hur många trianglar finns det med hörn i dessa punkter?

Informationskällor

• V.F.Butuzov, Yu.M.Kolyagin, G.L. Lukankin, E.G. Poznyak och andra. "Matematik" lärobok för utbildningsinstitutioner i 11:e klass / rekommenderad av Ryska federationens utbildningsministerium / M., Prosveshchenie, 1996.
• E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev: "Sannolikhet och statistik", en handbok för allmänna utbildningsinstitutioner betyg 5 – 9 / godkänd av Ryska federationens utbildningsministerium // Bustard Moscow 2002
• Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk "Algebra: element i statistik och sannolikhetsteori, betyg 7 – 9" Redigerat av S.A. Telyakovsky M: Prosveshchenie, 2006
• Trianglar http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

Resten av ritningarna skapades av A.K. Gryaznova.

Bild 2

Kombinatorik är en gren av matematiken ägnad åt problemen med att välja och ordna objekt från sektionen av uppsättningar. Ett typiskt problem inom kombinatorik är problemet med att räkna upp kombinationer som består av flera objekt.

Bild 3

Låt oss titta på några exempel på sådana problem.

1. Flera länder har beslutat att använda en flagga i form av 3 horisontella ränder av samma bredd och färg som en symbol för deras tillstånd: blå, röd och vit. Hur många länder kan uppleva sådan symbolik, förutsatt att varje land har sin egen flagga? Vi kommer att leta efter en lösning med hjälp av ett träd med möjliga alternativ.

Bild 4

Svar: 6 kombinationer

Bild 5

2. Hur många jämna tvåsiffriga nummer kan göras av talen 0,1,2,4,5,9.

Låt oss göra en tabell: till vänster om den 1: a kolumnen placerar vi de första siffrorna i de nödvändiga siffrorna, överst - de andra siffrorna i dessa siffror (jämna siffror, då kommer det att finnas tre kolumner).

Bild 6

Så kolumnen listar alla möjliga alternativ, därför finns det lika många av dem som det finns celler i kolumnen, dvs. 15.

Svar: 15 nummer

Bild 7

3. Till frukost kan Vova välja en bulle, en smörgås, pepparkaka eller en muffins och kan skölja ner den med kaffe, juice eller kefir. Hur många frukostalternativ kan Vova välja mellan?

Låt oss lösa problemet genom att gå igenom alla möjliga alternativ genom att koda frukostalternativ Lösning: KP KB KPr KK SP SB SPr SK K-rP K-rB K-rPr K-rK Svar: 12 alternativ.

Bild 8

I alla uppgifter söktes alla möjliga alternativ eller kombinationer. Därför kallas dessa problem kombinatoriska. Ordet kombination kommer från latinets combino – jag kombinerar. När vi skaffar vilken kombination som helst, komponerar vi den från enskilda element genom att sekventiellt koppla dem till varandra. Ur denna synvinkel: ett nummer är en kombination av siffror, ett ord är en kombination av bokstäver, en meny är en kombination av rätter. I alla föreslagna uppgifter, för att räkna antalet kombinationer, använde vi en enkel metod för att räkna - direkt uppräkning (baserat på ett "träd med möjliga alternativ", en tabell, kodning). Men metoden för att räkna upp möjliga alternativ är inte alltid tillämplig, eftersom antalet kombinationer kan vara i miljoner. Det är här flera underbara kombinatoriska regler kommer till undsättning, som låter dig räkna antalet kombinationer utan att direkt lista dem.

Bild 9

Vi tittade på exempel på 3 olika problem, men fick exakt samma lösningar, som bygger på den allmänna multiplikationsregeln: Låt det finnas n element och du måste välja k element från dem ett efter ett. Om det första elementet m1 väljs på n1 sätt, varefter det andra elementet m2 väljs på n2 sätt från de återstående, så väljs det tredje elementet m3 på n3 sätt från de återstående, etc., då antalet sätt alla k element kan väljas är lika med produkten av Tillämpa denna regel på vart och ett av lösta problem. 1:a uppgiften: att välja den översta randen - från 3 färger, dvs. n1=3; den mittersta randen är gjord av 2 färger, dvs n2=2; den nedre randen är från 1:a färgen, dvs. n3=1. n1 n2 n3 = 3 * 2 * 1 = 6 2:a problemet: observera att detta problem involverar två oberoende utfall, så mn = 5 *3 = 15

Bild 10

Lösa problem i klassen: nr 714, 716,718(a),721

nr 714. Caféet erbjuder två förrätter: borsjtj, rassolnik - och fyra andrarätter: gulasch, kotletter, korv, dumplings. Inkludera alla första- och andrarättsmåltider som en besökare kan beställa. Illustrera ditt svar genom att konstruera ett träd med möjliga alternativ.

Bild 11

Lösning. För att ange alla tvårätters måltider kommer vi att tänka så här. Låt oss välja en maträtt (borsjtj) och lägga till olika huvudrätter till den en efter en och få par: B g; b k; b s; bp (4 par). Nu kommer vi att välja inläggningssoppa som första rätt och kommer att lägga till olika andra rätter till den en efter en: Pr; rk; p s; rp (4 par). Enligt regeln om kombinatorisk multiplikation av totala luncher: 2*4=8. Efter att ha byggt ett träd av möjligheter får vi 8 alternativ. Svar: b g; b k; b s; b p; rg; rk; p s; r p.; vi får åtta olika tvårätters.

Bild 12

Nr 716 Stadion har fyra ingångar: A, B, C och D. Ange alla möjliga sätt på vilka en besökare kan komma in genom en ingång och gå ut genom en annan. Hur många sådana sätt finns det?

Bild 13

Lösning. Av villkoret framgår att valordningen har betydelse: AB betyder att besökaren gick in genom A och gick ut genom B, och BA menar att han gick in genom B och gick ut genom A. För att lista alla alternativ för att välja två ingångar, kommer att följa följande regel. Låt oss skriva ner beteckningarna för alla ingångar i raden: A, B, C, D. Ta den första ingången och lägg till var och en av de andra ingångarna till den i tur och ordning, vi får 3 par: A B, A C, A D. Ta den andra ingången och lägg till var och en till den i tur och ordning från de återstående ingångarna, utom för sig själv, med början från början av raden, d.v.s. från den första ingången: VA, BC, VD. Genom att välja den tredje och sedan den fjärde ingången får vi SA, SV, SD; JA, DV, DS. Totalt antal urvalsmetoder: 4*3=12 (vi lade till 3 andra till var och en av de 4 ingångarna). Kommentar. Du kan räkna antalet sätt att välja utan att göra ett par med hjälp av produktregeln: det första valet (vilken ingång att gå in genom) kan göras på 4 sätt (A, eller B, eller C eller D); efter det kan det andra valet (vilken ingång att gå in genom) göras på 3 sätt (vilken som helst annan ingång än den du gick in genom). Det totala antalet val är 4*3=12. Svar: 12 sätt.