Osnovni znaki deljivosti. Znaki deljivosti, ali je število deljivo Kako ugotoviti, s čim je število deljivo

Uporaba veščin deljivosti poenostavi izračune in sorazmerno poveča hitrost njihovega izvajanja. Oglejmo si podrobneje glavne značilnosti značilnosti deljivosti.

Najpreprostejši preizkus deljivosti za enote: vse številke so deljene z ena. Enako osnovno je z znaki deljivosti z dva, pet, deset. Z dvema lahko delite sodo število ali tisto, katerega končna števka je 0, s pet pa število, katerega končna števka je 5 ali 0. Z deset lahko delite samo tiste številke, katerih končna števka je 0. 100 - samo tiste številke, katerih zadnji dve števki sta ničli, na 1000 - samo tisti s tremi končnimi ničlami.

Na primer:

Število 79516 lahko delimo z 2, ker se konča na 6 – sodo število; 9651 ni deljivo z 2, ker je 1 liho število; 1790 je deljivo z 2, ker je zadnja številka nič. 3470 je deljivo s 5 (končna številka je 0); 1054 ni deljivo s 5 (končna številka je 4). 7800 je deljivo z 10 in 100; 542000 je deljivo z 10, 100, 1000.

Značilne so manj znane, a zelo priročne za uporabo značilnosti deljivosti na 3 in 9 , 4 , 6 in 8, 25 . Obstajajo tudi značilne lastnosti deljivosti na 7, 11, 13, 17, 19 in tako naprej, vendar se v praksi uporabljajo veliko redkeje.

Značilna lastnost deljenja s 3 in 9.

Vklopljeno tri in/ali na devet Tista števila, katerih rezultat seštevanja števk je večkratnik tri in/ali devet, bodo razdeljena brez ostanka.

Na primer:

Število 156321, rezultat seštevanja 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18, je deljivo s 3 oziroma deljivo z 9, samo število pa lahko delimo s 3 in 9. Število 79123 ni deljivo z 3 ali 9, torej kako vsote njegovih števk (22) ni mogoče deliti s temi številkami.

Značilna lastnost deljenja s 4, 8, 16 in tako naprej.

Številko lahko brez ostanka delimo z štiri, če sta njeni zadnji dve števki ničli ali je število, ki ga je mogoče deliti s 4. Pri vseh ostalih možnostih deljenje brez ostanka ni mogoče.

Na primer:

Število 75300 je deljivo s 4, ker sta zadnji dve števki ničli; 48834 ni deljivo s 4, saj zadnji dve števki dajeta število 34, ki ni deljivo s 4; 35908 je deljivo s 4, ker zadnji dve števki 08 dajeta število 8, ki je deljivo s 4.

Podoben princip je primeren za preizkus deljivosti z osem. Število je deljivo z osem, če so njegove zadnje tri števke ničle ali tvorijo število, deljivo z 8. V drugih primerih količnik, dobljen z deljenjem, ne bo celo število.

Enake lastnosti za deljenje z 16, 32, 64 itd., vendar se ne uporabljajo v vsakodnevnih izračunih.

Značilna lastnost deljivosti s 6.

Število je deljivo z šest, če je deljiv z dvema in s tremi, pri vseh drugih možnostih deljenje brez ostanka ni mogoče.

Na primer:

126 je deljivo s 6, ker je deljivo z 2 (končno sodo število je 6) in 3 (vsota števk 1 + 2 + 6 = 9 je deljiva s tri)

Značilna lastnost deljivosti s 7.

Število je deljivo z sedemče je razlika med njegovim podvojenim zadnjim številom in »številom, ki je ostalo brez zadnje števke« deljiva s sedem, potem je samo število deljivo s sedem.

Na primer:

Število je 296492. Vzemite zadnjo števko "2", jo podvojite, dobimo 4. Odštejte 29649 - 4 = 29645. Težavno je ugotoviti, ali je deljivo s 7, zato ga ponovno analiziramo. Nato podvojimo zadnjo številko "5", rezultat je 10. Odštejemo 2964 - 10 = 2954. Rezultat je enak, ni jasno, ali je deljiv s 7, zato nadaljujemo analizo. Analiziramo z zadnjo številko "4", jo podvojimo, dobimo 8. Odštejemo 295 - 8 = 287. Preverimo dvesto sedeminosemdeset - ni deljivo s 7, zato nadaljujemo z iskanjem. Po analogiji podvojimo zadnjo številko »7«, postane 14. Odštejemo 28 - 14 = 14. Število 14 delimo s 7, torej prvotno število delimo s 7.

Značilna lastnost deljivosti z 11.

Vklopljeno enajst Razdeljena so samo tista števila, pri katerih je rezultat seštevanja števk, ki se nahajajo na lihih mestih, bodisi enak vsoti števk, ki se nahajajo na sodih mestih, bodisi je drugačen od števila, deljivega z enajst.

Na primer:

Število 103.785 je deljivo z 11, ker je vsota števk na lihih mestih, 1 + 3 + 8 = 12, enaka vsoti števk na sodih mestih, 0 + 7 + 5 = 12. Število 9.163.627 je deljivo z 11, saj je vsota števk na lihih mestih 9 + 6 + 6 + 7 = 28, vsota števk na sodih mestih pa 1 + 3 + 2 = 6; razlika med številoma 28 in 6 je 22 in to število je deljivo z 11. Število 461.025 ni deljivo z 11, saj števili 4 + 1 + 2 = 7 in 6 + 0 + 5 = 11 nista enaki drug drugega, vendar njuna razlika 11 - 7 = 4 ni deljiva z 11.

Značilna lastnost deljivosti s 25.

Vklopljeno petindvajsetštevilke, katerih zadnji dve števki sta ničli ali tvorita število, ki ga je mogoče deliti s petindvajset (to je številke, ki se končajo na 00, 25, 50 ali 75), bodo deljene. V drugih primerih števila ni mogoče v celoti deliti s 25.

Na primer:

9450 je deljivo s 25 (konča se s 50); 5085 ni deljivo s 25.

Preizkusite deljivost s 3
Število je deljivo s 3, če in samo če je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Preizkusite deljivost s 4
Število je deljivo s 4, če in samo če sta zadnji dve števki števila ničli ali deljivo s 4.

Test deljivosti s 5
Število je deljivo s 5, če in samo če je zadnja številka deljiva s 5 (to je enako 0 ali 5).

Test deljivosti s 6
Število je deljivo s 6, če in samo če je deljivo z 2 in 3.

Preizkusite deljivost s 7
Število je deljivo s 7, če in samo če je rezultat dvakratnega odštevanja zadnje števke od tega števila brez zadnje števke deljiv s 7 (na primer, 259 je deljivo s 7, ker je 25 - (2 9) = 7 deljivo z 7).

Test deljivosti z 8
Število je deljivo z 8, če in samo če so njegove zadnje tri števke ničle ali tvorijo število, ki je deljivo z 8.

Test deljivosti z 9
Število je deljivo z 9, če in samo če je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Test deljivosti z 10
Število je deljivo z 10, če in samo če se konča na nič.

Test deljivosti z 11
Število je deljivo z 11, če in samo če je vsota števk z izmenjujočima se predznakoma deljiva z 11 (to pomeni, da je 182919 deljivo z 11, ker je 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 deljivo z 11) - posledica dejstva, da vsa števila oblike 10 n pri deljenju z 11 pustijo ostanek (-1) n .

Test deljivosti z 12
Število je deljivo z 12, če in samo če je deljivo s 3 in 4.

Test deljivosti s 13
Število je deljivo s 13, če in samo če je število njegovih desetic, prištetih štirikratnemu številu enic, večkratnik 13 (na primer, 845 je deljivo s 13, ker je 84 + (4 5) = 104 deljivo s 13).

Test deljivosti s 14
Število je deljivo s 14, če in samo če je deljivo z 2 in 7.

Test deljivosti s 15
Število je deljivo s 15, če in samo če je deljivo s 3 in 5.

Test deljivosti s 17
Število je deljivo s 17, če in samo če je število njegovih desetic, sešteto z 12-kratnim številom enot, večkratnik 17 (na primer 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. Ker je 34 deljivo s 17, je 29053 deljivo s 17). Znak ni vedno priročen, vendar ima določen pomen v matematiki. Obstaja nekoliko enostavnejši način – Število je deljivo s 17, če in samo če je razlika med številom desetic in petkratnikom števila enot večkratnik 17 (na primer 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15, ker 15 ni deljivo s 17, potem 32952 ni deljivo s 17).

Test deljivosti z 19
Število je deljivo z 19, če in samo če je število njegovih desetic, prištetih dvakratnemu številu enic, večkratnik 19 (na primer, 646 je deljivo z 19, ker je 64 + (6 2) = 76 deljivo z 19). ).

Preizkusite deljivost s 23
Število je deljivo s 23, če in samo če je število stotic, dodano za potrojitev števila desetic, večkratnik 23 (na primer, 28842 je deljivo s 23, saj se 288 + (3 * 42) = 414 nadaljuje 4 + (3 * 14) = 46 je očitno deljivo s 23).

Preizkusite deljivost s 25
Število je deljivo s 25, če in samo če sta njegovi zadnji dve števki deljivi s 25 (to je 00, 25, 50 ali 75) ali pa je število večkratnik števila 5.

Test deljivosti z 99
Število razdelimo na skupine po 2 števki od desne proti levi (skrajno leva skupina ima lahko eno števko) in poiščemo vsoto teh skupin, pri čemer jih obravnavamo kot dvomestna števila. Ta vsota je deljiva z 99, če in samo če je število samo deljivo z 99.

Preizkusite deljivost s 101
Število razdelimo v skupine po 2 števki od desne proti levi (skrajno leva skupina ima lahko eno števko) in poiščemo vsoto teh skupin z izmeničnimi predznaki in jih štejemo kot dvomestna števila. Ta vsota je deljiva s 101, če in samo če je število samo deljivo s 101. Na primer, 590547 je deljivo s 101, ker je 59-05+47=101 deljivo s 101).

Preizkus deljivosti z 2

Število je deljivo z dve, če zadnja številka je soda ali nič. V drugih primerih se ne deli.

Na primer:

Številka 52 73 8 je deljivo z 2, saj je zadnja cifra 8 soda.
7 691 ni deljivo z 2, zato je 1 liho število.
1 250 je deljivo z 2, ker je zadnja številka nič.

Preizkusi deljivosti s 3

Samo ta števila so deljiva s 3, če vsota števil se deli s 3

Na primer:

Število 17.835 je deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk enaka

\[ 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 \]

je deljivo s 3.

Preizkusite deljivost s 4

Število je deljivo s 4, če njegovi zadnji dve števki sta ničli ali tvorita deljivo število s 4. V drugih primerih se ne deli.

Primeri:

31.700 je deljivo s 4, ker se konča z dvema ničlama.
4.215.634 ni deljivo s 4, ker zadnji dve števki pomenita število 34, ki ni deljivo s 4.
16608 je deljivo s 4, ker zadnji dve števki 08 dajeta število 8, ki je deljivo s 4.

Test deljivosti s 5

Števila so deljiva s 5 zadnja številka tega 0 ali 5. Drugi ne delijo.

primer:

240 je deljivo s 5 (zadnja številka je 0).
554 ni deljivo s 5 (zadnja številka je 4).

Test deljivosti s 6

Število je deljivo s 6, če je deli hkrati tako 2 kot 3. V nasprotnem primeru se ne deli.

Na primer:

126 je deljivo s 6, ker je deljivo z 2 in 3.

Test deljivosti z 8

Podobno kot pri preizkusu deljivosti s 4. Število je deljivo z 8, če njegove zadnje tri števke so ničle ali tvorijo deljivo število do 8. V drugih primerih se ne deli.

Primeri:

125.000 je deljivo z 8 (tri ničle na koncu).
170.004 ni deljivo z 8 (zadnje tri števke dajo število 4, ki ni deljivo z 8).
111 120 je deljivo z 8 (zadnje tri števke dajo število 120, deljivo z 8).

Opombe. Lahko navedete podobne znake za deljenje s 16, 32, 64 itd., Vendar nimajo praktičnega pomena.

Test deljivosti z 9

Samo tista števila, ki so deljiva z 9 vsota števil se deli ob 9.

Primeri:

Število 106.499 ni deljivo z 9, saj vsota njegovih števk (29) ni deljiva z 9. Število 52632 je deljivo z 9, saj je vsota njegovih števk (18) deljiva z 9.

Znaki deljivosti na 10, 100 in 1000

Samo ta števila so deljiva z 10 zadnja številka je nič, s 100 - samo tista števila, katerih zadnji dve števki sta ničli, s 1000 - samo tista števila, katerih zadnje tri števke so ničle.

Primeri:

8200 je deljivo z 10 in 100.
542.000 je deljivo z 10, 100, 1000.

Test deljivosti z 11

Z 11 so deljiva samo tista števila, pri katerih je vsota števk, ki zasedajo liha mesta, enaka vsoti števk, ki zasedajo soda mesta, ali se od nje razlikuje za število, deljivo z 11.

Primeri:

Število 103.785 je deljivo z 11, saj je vsota števk na lihih mestih

Serija člankov o merilih deljivosti se nadaljuje preizkus deljivosti s 3. Ta članek najprej podaja formulacijo testa deljivosti s 3 in podaja primere uporabe tega testa za ugotavljanje, katera od danih celih števil so deljiva s 3 in katera ne. Spodaj je dokaz testa deljivosti s 3. Upoštevani so tudi pristopi k ugotavljanju deljivosti s 3 števil, podanih kot vrednost nekega izraza.

Navigacija po strani.

Preizkus deljivosti s 3, primeri

Začnimo z formulacije testa deljivosti s 3: celo število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3, če pa vsota števk danega števila ni deljiva s 3, potem samo število ni deljivo s 3.

Iz zgornje formulacije je jasno, da preizkusa deljivosti s 3 ni mogoče uporabiti brez sposobnosti izvedbe. Če želite uspešno uporabiti test deljivosti s 3, morate vedeti, da so od vseh števil 3, 6 in 9 deljiva s 3, števila 1, 2, 4, 5, 7 in 8 pa niso deljiva s 3. .

Zdaj lahko razmislimo o najpreprostejšem primeri uporabe testa deljivosti s 3. Ugotovimo, ali je število −42 deljivo s 3. Da bi to naredili, izračunamo vsoto števk števila −42, ki je enaka 4+2=6. Ker je 6 deljivo s 3, lahko zaradi testa deljivosti s 3 rečemo, da je tudi število −42 deljivo s 3. Toda pozitivno celo število 71 ni deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 7+1=8, 8 pa ni deljivo s 3.

Ali je 0 deljivo s 3? Za odgovor na to vprašanje ne boste potrebovali lastnosti deljivosti s 3; tukaj se morate spomniti ustrezne lastnosti deljivosti, ki pravi, da je nič deljiva s katerim koli celim številom. Torej je 0 deljivo s 3.

V nekaterih primerih je treba preizkus deljivosti s 3 uporabiti večkrat zaporedoma, da bi dokazali, ali je dano število deljivo s 3 ali ne. Dajmo primer.

Primer.

Pokažite, da je število 907.444.812 deljivo s 3.

rešitev.

Vsota števk števila 907 444 812 je 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Da ugotovimo, ali je 39 deljivo s 3, izračunajmo njegovo vsoto števk: 3+9=12. In da ugotovimo, ali je 12 deljivo s 3, poiščemo vsoto števk števila 12, imamo 1+2=3. Ker smo prejeli število 3, ki je deljivo s 3, potem je na podlagi preizkusa deljivosti s 3 število 12 deljivo s 3. Zato je 39 deljivo s 3, saj je vsota njegovih števk 12, 12 pa je deljivo s 3. Končno je 907.333.812 deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 39, 39 pa je deljivo s 3.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev drugega primera.

Primer.

Ali je −543 205 deljivo s 3?

rešitev.

Izračunajmo vsoto števk tega števila: 5+4+3+2+0+5=19. Po drugi strani je vsota števk števila 19 enaka 1+9=10, vsota števk števila 10 pa 1+0=1. Ker smo prejeli število 1, ki ni deljivo s 3, iz testa deljivosti s 3 sledi, da 10 ni deljivo s 3. Zato 19 ni deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 10, 10 pa ni deljivo s 3. Zato prvotno število −543.205 ni deljivo s 3, saj vsota njegovih števk, enaka 19, ni deljiva s 3.

odgovor:

št.

Omeniti velja, da neposredno deljenje danega števila s 3 omogoča tudi sklepanje, ali je dano število deljivo s 3 ali ne. S tem želimo povedati, da ne smemo zanemariti deljenja v korist kriterija deljivosti s 3. V zadnjem primeru, 543.205 krat 3, bi se prepričali, da 543.205 ni enakomerno deljivo s 3, iz česar bi lahko rekli, da −543.205 ni deljivo s 3.

Dokaz testa deljivosti s 3

Naslednja predstavitev števila a nam bo pomagala dokazati preizkus deljivosti s 3. Vsako naravno število a lahko, po katerem nam omogoča, da dobimo predstavitev v obliki , kjer so a n, a n−1, ..., a 0 števke od leve proti desni v zapisu števila a. Zaradi jasnosti podajamo primer takšne predstavitve: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Zdaj pa zapišimo številne dokaj očitne enakosti: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 itd. .

Nadomeščanje v enakost a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 namesto 10, 100, 1000 in tako naprej, izrazi 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 in tako naprej, dobimo
.

In omogočajo, da se nastala enakost prepiše na naslednji način:

Izraz je vsota števk števila a. Zaradi jedrnatosti in udobja ga označimo s črko A, torej sprejemamo. Nato dobimo predstavitev števila a oblike, ki jo bomo uporabili za dokazovanje testa deljivosti s 3.

Tudi za dokazovanje testa deljivosti s 3 potrebujemo naslednje lastnosti deljivosti:

• Da je celo število a deljivo s celim številom b, je potrebno in zadostuje, da je a deljivo z modulom b;
• če so v enačbi a=s+t vsi členi razen enega deljivi z nekim celim številom b, potem je tudi ta člen deljiv z b.

Zdaj smo popolnoma pripravljeni in lahko izpeljemo dokaz deljivosti s 3, za udobje oblikujemo ta kriterij v obliki potrebnega in zadostnega pogoja za deljivost s 3.

Izrek.

Da je celo število a deljivo s 3, je nujno in zadostno, da je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Dokaz.

Za a=0 je izrek očiten.

če a različen od nič, potem je modul števila a naravno število, potem je predstavitev možna, kjer je vsota števk števila a.

Ker sta vsota in zmnožek celih števil celo število, potem je celo število, potem je po definiciji deljivosti zmnožek deljiv s 3 za poljubno a 0, a 1, ..., a n.

Če je vsota števk števila a deljiva s 3, torej je A deljivo s 3, potem je zaradi lastnosti deljivosti, navedene pred izrekom, deljivo s 3, torej je a deljivo s 3. Torej je zadostnost dokazana.

če a je deljivo s 3, potem je deljivo s 3, potem je zaradi enake lastnosti deljivosti število A deljivo s 3, torej je vsota števk števila a deljiva s 3. Nujnost je dokazana.

Drugi primeri deljivosti s 3

Včasih cela števila niso podana eksplicitno, temveč kot vrednost določene vrednosti za dano vrednost spremenljivke. Na primer, vrednost izraza za neko naravno število n je naravno število. Jasno je, da pri navajanju števil na ta način neposredno deljenje s 3 ne bo pomagalo ugotoviti njihove deljivosti s 3, testa deljivosti s 3 pa ni mogoče vedno uporabiti. Zdaj bomo razmislili o več pristopih k reševanju takšnih težav.

Bistvo teh pristopov je, da prvotni izraz predstavimo kot zmnožek več faktorjev, in če je vsaj eden od faktorjev deljiv s 3, potem bo zaradi pripadajoče lastnosti deljivosti mogoče sklepati, da je celoten produkt je deljivo s 3.

Včasih vam ta pristop omogoča izvedbo. Poglejmo primer rešitve.

Primer.

Ali je vrednost izraza deljiva s 3 za poljubno naravno število n?

rešitev.

Enakopravnost je očitna. Uporabimo Newtonovo binomsko formulo:

V zadnjem izrazu lahko vzamemo 3 iz oklepajev in dobimo . Dobljeni produkt delimo s 3, saj vsebuje faktor 3, vrednost izraza v oklepaju za naravni n pa predstavlja naravno število. Zato je za vsako naravno število n deljivo s 3.

odgovor:

ja

V mnogih primerih je mogoče dokazati deljivost s 3. Oglejmo si njegovo uporabo pri reševanju primera.

Primer.

Dokaži, da je za vsako naravno število n vrednost izraza deljiva s 3.

rešitev.

Da bi to dokazali, bomo uporabili metodo matematične indukcije.

pri n=1 vrednost izraza je , 6 pa je deljeno s 3.

Recimo, da je vrednost izraza deljiva s 3, ko je n=k, torej deljiva s 3.

Glede na to, da je deljiv s 3, bomo pokazali, da je vrednost izraza za n=k+1 deljiva s 3, kar pomeni, da je deljivo s 3.

Matematika v 6. razredu se začne s preučevanjem pojma deljivosti in znakov deljivosti. Pogosto so omejeni na kriterije deljivosti z naslednjimi številkami:

• Vklopljeno 2 : zadnja številka mora biti 0, 2, 4, 6 ali 8;
• Vklopljeno 3 : vsota števk števila mora biti deljiva s 3;
• Vklopljeno 4 : število, ki ga tvorita zadnji dve števki, mora biti deljivo s 4;
• Vklopljeno 5 : zadnja številka mora biti 0 ali 5;
• Vklopljeno 6 : število mora imeti znaka deljivosti z 2 in 3;
• Test deljivosti za 7 pogosto zgrešen;
• Redko govorijo tudi o preizkusu deljivosti z 8 , čeprav je podoben kriterijem za deljivost z 2 in 4. Da je število deljivo z 8, je nujno in dovolj, da je trimestna končnica deljiva z 8.
• Test deljivosti za 9 Vsi vedo: vsota števk števila mora biti deljiva z 9. Kar pa ne razvije imunitete proti vsem vrstam trikov z datumi, ki jih uporabljajo numerologi.
• Test deljivosti za 10 , verjetno najenostavnejši: številka se mora končati z ničlo.
• Včasih šestošolce učijo o preizkusu deljivosti z 11 . Številke števila, ki so na sodih mestih, morate sešteti in od rezultata odšteti števila, ki so na lihih mestih. Če je rezultat deljiv z 11, potem je samo število deljivo z 11.

Vzemimo številko. Razdelimo ga na bloke po 3 števke (skrajni levi blok lahko vsebuje eno ali 2 števki) in te bloke izmenično seštevamo/odštevamo.

Če je rezultat deljiv s 7, 13 (ali 11), potem je samo število deljivo s 7, 13 (ali 11).

Ta metoda, tako kot številni matematični triki, temelji na dejstvu, da je 7x11x13 = 1001. Vendar, kaj storiti s trimestnimi števili, za katera tudi vprašanja deljivosti ni mogoče rešiti brez delitve same.

Z uporabo univerzalnega testa deljivosti je mogoče sestaviti razmeroma preproste algoritme za ugotavljanje, ali je število deljivo s 7 in drugimi »neprimernimi« številkami.

Izboljšan preizkus deljivosti s 7
Če želite preveriti, ali je število deljivo s 7, morate zavreči zadnjo števko števila in to številko dvakrat odšteti od dobljenega rezultata. Če je rezultat deljiv s 7, potem je samo število deljivo s 7.

Primer 1:
Ali je 238 deljivo s 7?
23-8-8 = 7. Torej je število 238 deljivo s 7.
Dejansko je 238 = 34x7

To dejanje je mogoče izvajati večkrat.
Primer 2:
Ali je 65835 deljivo s 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 je deljivo s 7 (če tega ne bi opazili, bi lahko naredili še en korak: 6-3-3 = 0, 0 pa je zagotovo deljivo s 7).

To pomeni, da je število 65835 deljivo s 7.

Na podlagi univerzalnega kriterija deljivosti je mogoče kriterije deljivosti izboljšati s 4 in z 8.

Izboljšan preizkus deljivosti s 4
Če je polovica števila enot in števila desetic sodo število, potem je število deljivo s 4.

Primer 3
Ali je število 52 deljivo s 4?
5+2/2 = 6, število je sodo, kar pomeni, da je število deljivo s 4.

Primer 4
Ali je število 134 deljivo s 4?
3+4/2 = 5, število je liho, kar pomeni, da 134 ni deljivo s 4.

Izboljšan preizkus deljivosti z 8
Če seštejete dvakrat število stotin, število desetic in polovico števila enot in je rezultat deljiv s 4, potem je samo število deljivo z 8.

Primer 5
Ali je število 512 deljivo z 8?
5*2+1+2/2 = 12, je število deljivo s 4, kar pomeni, da je 512 deljivo z 8.

Primer 6
Ali je število 1984 deljivo z 8?
9*2+8+4/2 = 28, število je deljivo s 4, kar pomeni, da je 1984 deljivo z 8.

Test deljivosti z 12- to je zveza znakov deljivosti s 3 in 4. Enako velja za vsak n, ki je zmnožek soprostih p in q. Da bi bilo število deljivo z n (kar je enako zmnožku pq,actih, tako da je gcd(p,q)=1), mora biti eno deljivo s p in q.

Vendar bodite previdni! Da merila sestavljene deljivosti delujejo, morajo biti faktorji števila sopraštevilni. Ne morete reči, da je število deljivo z 8, če je deljivo z 2 in 4.

Izboljšan preizkus deljivosti s 13
Če želite preveriti, ali je število deljivo s 13, morate zavreči zadnjo števko števila in jo štirikrat dodati dobljenemu rezultatu. Če je rezultat deljiv s 13, potem je samo število deljivo s 13.

Primer 7
Ali je 65835 deljivo z 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Število 43 ni deljivo s 13, kar pomeni, da število 65835 ni deljivo s 13.

Primer 8
Ali je 715 deljivo s 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 je deljivo s 13, kar pomeni, da je število 715 deljivo s 13.

Znaki deljivosti s 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 in druga sestavljena števila, ki niso potence praštevil, so podobni testom deljivosti z 12. Deljivost preverjamo s soprostimi faktorji teh števil.

• Za 14: za 2 in za 7;
• Za 15: za 3 in za 5;
• Za 18: na 2 in 9;
• Za 21: na 3 in 7;
• Za 20: za 4 in za 5 (oz. z drugimi besedami, zadnja številka mora biti nič, predzadnja pa soda);
• Za 24: za 3 in za 8;
• Za 26: na 2 in 13;
• Za 28: za 4 in za 7.

Primer 9
Ali je število 1984 deljivo s 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 ni deljivo s 16, kar pomeni, da 1984 ni deljivo s 16.

Primer 10
Ali je število 1526 deljivo s 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 ni deljivo s 16, kar pomeni, da 1526 ni deljivo s 16.

Izboljšan test za deljivost s 17.
Če želite preveriti, ali je število deljivo s 17, morate zavreči zadnjo števko števila in petkrat odšteti to števko od nastalega rezultata. Če je rezultat deljiv s 13, potem je samo število deljivo s 13.

Primer 11
Ali je število 59772 deljivo s 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 je deljivo s 17, kar pomeni, da je število 59772 deljivo s 17.

Primer 12
Ali je število 4913 deljivo s 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 je deljivo s 17, kar pomeni, da je število 4913 deljivo s 17.

Izboljšan test za deljivost z 19.
Če želite preveriti, ali je število deljivo z 19, morate številu, ki ostane po zavrženju zadnje števke, dvakrat dodati zadnjo števko.

Primer 13
Ali je število 9044 deljivo z 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 je deljivo z 19, kar pomeni, da je število 9044 deljivo z 19.

Izboljšan test za deljivost s 23.
Če želite preveriti, ali je število deljivo s 23, morate številu, ki ostane po zavrženju zadnje številke, dodati zadnjo številko, povečano za 7-krat.

Primer 14
Ali je število 208012 deljivo s 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Pravzaprav že lahko opazite, da je 253 23,