Ընդհանուր դաս թեմայի շուրջ.

«Ինտեգրալը և դրա կիրառումը».

Էպիգրաֆ: «Ինչպես բոլոր արվեստները հակված են երաժշտությանը, բոլոր գիտությունները հակված են մաթեմատիկային»:

Ջորջ Սանտայանա.

Դասի նպատակները.

Ընդհանուր կրթություն. համախմբել, կրկնել և ընդհանրացնել «Ինտեգրալը և դրա կիրառումը» թեմայի ուսումնասիրությունից ստացված գիտելիքները, համախմբել որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու գործնական հմտություններ, դիտարկել այս թեմայի գործնական կիրառումը ֆիզիկայում, երկրաչափությունում և «Տնտեսագիտություն և հաշվապահություն» մասնագիտության մեջ, պատրաստվել գործնական աշխատանքին.

Ուսումնական: զարգացնել ստեղծագործական գործունեության մեջ հնարավորություններն ու ներուժը իրացնելու ունակությունը. զարգացնել ստեղծագործական որոշումներ կայացնելու հմտություններ:

Ուսումնական: զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, բիզնեսի նկատմամբ պատասխանատու վերաբերմունք և փոխօգնության պատրաստակամություն:

Դասի ձևաչափ. դաս - պրոբլեմային կոնֆերանս.

Դասի տեսակը. «Կրկնվող – ընդհանրացնող»:

Դասի սարքավորումներ. մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, համակարգիչներ, համակարգչային ծրագիր «Հստակ ինտեգրալի հաշվարկ», հաշվիչներ, պաստառ «Հակաածանցյալների աղյուսակ», «Սովորիր սովորել» թղթապանակներ, թեստեր, քարտեր՝ գործնական առաջադրանքներով։

Միջառարկայական կապեր.

Ֆիզիկա «Մարմնի կատարած աշխատանքի հաշվարկ», «Մարմնի անցած ճանապարհի հաշվարկ»:

Երկրաչափություն: «Պտտման մարմինների ծավալների և տարածքների հաշվարկ».

Մասնագիտական ​​կապ. տնտեսական բովանդակությամբ առաջադրանքներ.

Դասի պլան.

Օրգ. պահ - 2 րոպե

Համաժողովի անցկացում – 40ր.

ա) Պատմաբանների ելույթը.

բ) մաթեմատիկոսների ելույթը.

գ) ֆիզիկոսների ելույթը.

դ) հաշվապահների ելույթը.

դ) ծրագրավորողների ելույթը.

Ամփոփում – 2ր.

Տնային աշխատանք – 1ր.

Դասերի ժամանակ.

Ուսուցչի բացման խոսքը.

Այսօր մենք ունենք ընդհանուր դաս՝ «Ինտեգրալը և դրա կիրառումը» թեմայով։

Այս դասի էպիգրաֆը կարող է լինել ամերիկացի փիլիսոփա Ջորջ Սանտայանայի խոսքերը. «Ինչպես բոլոր արվեստները հակված են երաժշտությանը, բոլոր գիտությունները հակված են մաթեմատիկային»:

Եվ այսօր դասարանում մենք ևս մեկ անգամ կհամոզվենք այս հայտարարության ճշմարտացիության մեջ։

Մեր դասի նպատակն է ոչ միայն ամփոփել այս թեմայի ուսումնասիրությունից ստացված գիտելիքները, համախմբել որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու գործնական հմտությունները, այլ նաև ընդլայնել ինտեգրալի գործնական կիրառման մասին պատկերացումները, ցույց տալ այս թեմայի նշանակությունը այլ հարցերում: գիտության ոլորտները և ձեր մասնագիտությունը: Իսկ որպես թեմայի ուսումնասիրության վերջնական արդյունք՝ գործնական աշխատանք։

Այս թեման շատ ընդարձակ է, բայց նախորդ դասերին մենք արդեն քննարկել ենք հարցերի մեծ մասը, դասը վարում ենք «խնդիրների կոնֆերանսի» տեսքով։

Համաժողովներին սովորաբար հրավիրվում են հարակից թեմաների մշակմամբ զբաղվող մասնագետներ:

Մեր գիտաժողովին մասնակցում են մի քանի մասնագետներ.

* պատմաբաններ;

* Մաթեմատիկա;

* տնտեսագետներ;

*ծրագրավորողներ.

Սրանք ձեր խմբի ուսանողներն են, ովքեր ստացել են տնային առաջադրանք՝ հավաքել, համակարգել նյութը կոնկրետ հարցի վերաբերյալ և միգուցե գտնել լրացուցիչ նյութ, որը մենք չենք ուսումնասիրել:

Մեր դասը ներառում է նաև Համակարգչային ծրագրեր և ավտոմատ համակարգեր մասնագիտությամբ 3-րդ կուրսի ուսանողուհի Աննա Բելյաևան: Նա ոչ միայն օգնում է մեզ ցուցադրել սլայդները էկրանին, այլև ակտիվորեն մասնակցել է մեր կոնֆերանսին որպես ծրագրավորող:

Մեր համաժողովի ընթացքում բոլոր ներկաները կարող են հարցեր ուղղել բանախոսներին և ակտիվորեն մասնակցել դրա աշխատանքներին։

Եվ այսպես, եկեք սկսենք համաժողովը.

Պատմաբանը խոսք ունի մեզ պատմելու ինտեգրալ հաշվարկի առաջացման մասին: (տես Հավելված 1)

Ուսուցչի հարց.Ձեր ելույթում կար որոշակի ինտեգրալ սահմանելու երկու մոտեցում. Ի՞նչ մոտեցում ենք կիրառել դասերին որոշակի ինտեգրալ հասկացությունը ներմուծելու համար:

Այսպե՞ս կհասկանանք մաթեմատիկոսի ելույթը լսելուց հետո։ (տես Հավելված 2)

Ուսուցչի խոսքը.

Այս հաղորդագրությունը լսելուց հետո ձեզանից յուրաքանչյուրը թարմացրեց տեսական նյութի հիշողությունը, որը մեզ անհրաժեշտ կլինի մեր գիտաժողովի գործնական մասը հաջողությամբ ավարտելու համար:

Դուք ունեք առաջադրանքներ ձեր սեղաններին, որոնք դուք պետք է կատարեք մեր համաժողովի ընթացքում: Դուք կարող եք դրանք անել խմբով կամ ինքնուրույն:

Օրինակ 1.

Հաշվել ինտեգրալը

Ա)∫ (6x 2 +4x-5)դx=(6 x 3 /3+4 x 2 /2-5x) =(2·3 3 +2·3 2 -5·3)-(2·1 3 +2·1 2 -5·1)=

=(54+18-15)-(2+2-5)=57+1=58

բ)∫ (cos3x+մեղք½х)դx=(-⅓մեղք3x+2cos½x) =

π/2 π/2

=(-⅓ մեղք3π+2cos½π)-(-⅓ մեղք3π/2+2cos½π/2)=(-⅓·0+2·0)-(-⅓·(-1)+2·√2/2)

=0-(⅓+√2)=-⅓-√2.

Օրինակ 2.

Գտեք գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը.

ա)y=-(x+2) 2 +3, y=0.

Լուծում:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=-x 2 +9 պարաբոլա է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, պարաբոլայի գագաթի կոորդինատներն են (0;9):

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=0առանցքն է Օ՜

Կառուցենք այս ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում։

3 0 3 x

Գտնենք ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերի կոորդինատները, դա անելու համար լուծեք հավասարումը.

-X 2 +9=0

-X 2 =-9

Կիրառելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը՝ ստանում ենք.

Ս= ∫(- X 2 +9) դx=(-x 3 /3+9x)=(-(3) 3 /3+9·3)-(-(-3) 3 /3+9·(-3)=

-3 -3

= 18-(-18)=36 (քառ. միավոր)

Պատասխան.Ս=36 քառ

Ուսուցչի խոսքը.

Հուսով եմ հիշում եք, թե ինչպես է հաշվարկվում որոշակի ինտեգրալը։ Այժմ ես առաջարկում եմ փորձարկել ինքներդ ձեզ և պատասխանել թեստի հարցերին:

Աշխատանքն ավարտելուց հետո ուսանողները ստուգում են թեստի ճիշտությունը՝ օգտագործելով գնահատման առաջարկվող չափանիշները: (տես Հավելված 3)

Ուսուցչի խոսքը.

Որոշակի ինտեգրալը լայնորեն կիրառվում է ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև ֆիզիկայի, երկրաչափության և քիմիայի մեջ։ Այս մասին մեզ կպատմի ֆիզիկոսը։ (տես Հավելված 4)

Ուսուցչի խոսքը.

Մենք կրկին վերադառնում ենք մեր գիտաժողովի գործնական մասին, հրավիրում եմ ձեզ լուծելու ֆիզիկական բովանդակության հետ կապված խնդիրներ։

Առաջադրանք 1.

Ձգված զսպանակի առաձգական ուժը 5 սմ, հավասար է 3 N. Որքա՞ն աշխատանք պետք է կատարվի աղբյուրը 5 սմ-ով ձգելու համար:

Համաձայն Հուկի օրենքի, F ուժը, որը ձգում է զսպանակը x չափով, հաշվարկվում է F=kx բանաձևով, որտեղ k-ը հաստատուն համաչափության գործակից է։ Նկ. ա), 0 կետը համապատասխանում է զսպանակի ազատ դիրքին: Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ 3=k·0.05. Հետևաբար, k=60 և ուժ F=60x, և օգտագործելով բանաձևը մենք գտնում ենք.

0,05 0,05

A=∫ 60-ական թթդx=30x 2 =30·0,05 2 -30·0 2 =0,075 Ջ.

0 0

Պատասխան՝ A=0,075 Ջ.

Առաջադրանք 2.

Գտե՛ք նյութական կետի անցած ուղին արագությամբ շարժման սկզբից 10 վրկ-ումv=0,1 տ 3 մ/վրկ.

Լուծում: տ 2

Որովհետեւ t 1 =0 և t 2 =10, ապա փոխարինելով բանաձևում Ս = ∫ v ( տ ) dt , ստանում ենք

t1

S=∫0.1t 3 dt=0.1t 4 /4 =250m.

Պատասխան՝ S=250մ.

Ուսուցչի խոսքը.

Մենք ձեզ համոզեցինք, որ ինտեգրալը լայն կիրառություն ունի ֆիզիկայում։ Հնարավո՞ր է արդյոք որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով տնտեսական բովանդակության հետ կապված խնդիրները լուծել: Այս հարցին կպատասխանի տնտեսագիտության մասնագետը։ (տես Հավելված 5)

Ուսուցչի խոսքը.

Եվ այսպես, օգտագործելով ինտեգրալը կարող եք լուծել տնտեսական խնդիրներ։

Առաջադրանք.

Օրվա ընթացքում աշխատողի աշխատանքի արտադրողականությունը տրվում է ֆունկցիայի միջոցովզ(տ)=-0,00625 տ 2 +0,05 տ+0,5 (դեն. միավոր/ժամ), որտեղտ– աշխատանքի մեկնարկից ժամերով ժամանակը, 0≤տ≤8. Գտեք գործառույթըՔ(տ), արտահայտելով արտադրության ծավալը (արժեքային արտահայտությամբ) և դրա արժեքը աշխատանքային օրվա համար։

Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ք= ∫ (-0,00625 տ 2 +0,05 տ+0,5) dt=-0,00625 տ 3 /3+0,05 տ 2 /2+0,5 տ=

=(-0,00625·8 3 /3+0,05 8 2 /2+0,5 8)-(-0,00625 0 3 /3+0,05 0 2 /2+0,5 0)=

=-3,2/3+1,6+4≈4,53 (դենտ. միավոր)

Պատասխան՝ Ք ≈4.53 դ. միավոր

Ուսուցչի խոսքը.

Մենք տեսանք Ջորջ Սանտայանի հայտարարության իսկությունը. Իսկապես, շատ գիտություններ ու մասնագիտություններ ձգտում են դեպի մաթեմատիկան։ Բայց երբեմն մենք դեռ ստիպված ենք բավականին բարդ հաշվարկներ կատարել։ Հնարավո՞ր է լուծել այս խնդիրը:

Գուցե այո. Համակարգչային տեխնոլոգիաների դարաշրջանում այս խնդիրը կարող է հաջողությամբ լուծվել։ Խոսք ծրագրավորողից՝ Աննա Բելյաևա.

Ծրագրավորողի ելույթը.

Կազմեցի համակարգչային ծրագիր՝ «Հստակ ինտեգրալի հաշվարկ»։ Այս ծրագիրը թույլ է տալիս հաշված վայրկյանների ընթացքում հաշվարկել ինտեգրալի արժեքը և խնայում է մեզ ժամանակը:

(ծրագրի ցուցադրում, տես Հավելված 6)

Ուսուցչի խոսքը.

Առաջին ենթախումբը տեղի է ունենում համակարգիչների մոտ, իսկ երկրորդը մնում է տեղում: Լուծելով նույն խնդիրը՝ կհամոզվենք համակարգչային ծրագրի առավելությունում։

(ուսանողները խնդիրը լուծում են համակարգչային ծրագրի միջոցով)

Եկեք ամփոփենք դասը. մենք ամփոփեցինք այս թեմայի ուսումնասիրությունից ստացված գիտելիքները, համախմբեցինք որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու գործնական հմտությունները, ընդլայնեցինք ինտեգրալի գործնական կիրառման մեր պատկերացումները և ցույց տվեցինք այս թեմայի նշանակությունը գիտության այլ ոլորտներում և ձեր մեջ: մասնագիտություն. Մենք տեսանք համակարգչային տեխնոլոգիաների կիրառման առավելությունները մաթեմատիկական խնդիրների լուծման գործում և, հուսով եմ, պատրաստվեցինք գործնական աշխատանքի։

Խնդիրները, որոնք մնում են չլուծված, պետք է լուծվեն տանը։

Գնահատում.

Հավելված 1.

Պատմաբանի ելույթ.

Ես փորձեցի հավաքել պատմական տեղեկատվություն ինտեգրալ հաշվարկի առաջացման մասին: Դա անելու համար ես դիմեցի ուսումնասիրելու այնպիսի գիտնականների կյանքն ու աշխատանքը, ինչպիսիք են Նյուտոնը, Լայբնիցը, Էյլերը, Բեռնուլին, Չեբիշևը: Նրանցից յուրաքանչյուրը որոշակի դեր է խաղացել ինտեգրալ հաշվարկի մշակման գործում։

Ինտեգրալ հաշվարկի ակունքները գալիս են մաթեմատիկայի զարգացման հնագույն ժամանակաշրջանից և ծագում են հյուծման մեթոդից, որը մշակել են հին Հունաստանի մաթեմատիկոսները՝ Էվկլիդեսը և Արքիմեդը։

Ինտեգրալ և դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական հասկացությունները և տեսությունը հիմնված են 17-րդ դարի սկզբին մեծ մաթեմատիկոս և աստղագետ Յոհաննես Կեպլերի կողմից ձևակերպված գաղափարների վրա։

1613 թվականի նոյեմբերին ավստրիական արքունիքի թագավորական մաթեմատիկոս և աստղագուշակ Ի.Կեպլերը, նախապատրաստվելով իր հարսանիքին, գնեց մի քանի տակառ խաղողի գինի։ Գնման ժամանակ Կեպլերը զարմացավ, որ վաճառողը որոշեց տակառի տարողունակությունը՝ կատարելով մեկ գործողություն՝ չափելով լցման անցքից մինչև դրանից ամենահեռու ներքևի կետը: Ի վերջո, նման չափումը ընդհանրապես հաշվի չի առել տակառի ձևը: Կեպլերը անմիջապես տեսավ, որ իր առջեւ մի հետաքրքիր մաթեմատիկական խնդիր է դրված՝ հաշվարկել տակառի հզորությունը՝ օգտագործելով մի քանի չափսեր: Անդրադառնալով այս խնդրին, նա գտավ ոչ միայն տակառների ծավալի, այլ նաև տարբեր մարմինների ծավալի համար՝ կիտրոն, խնձոր, սերկևիլ և նույնիսկ թուրքական չալմա: Մարմիններից յուրաքանչյուրի համար Կեպլերը պետք է ստեղծեր նոր, հաճախ շատ հնարամիտ մեթոդներ, ինչը չափազանց անհարմար էր։ Նման խնդիրների լուծման ընդհանուր և ամենակարևորը պարզ մեթոդներ գտնելու փորձը հանգեցրեց ժամանակակից ինտեգրալ հաշվարկի առաջացմանը: Բայց սա բոլորովին այլ մաթեմատիկոսի արժանիքն էր։

1665-1667 թվականներին Նյուտոնը սկսեց աշխատել մաթեմատիկական ապարատի ստեղծման վրա, որով հնարավոր կլիներ ուսումնասիրել և արտահայտել ֆիզիկայի օրենքները։ Նյուտոնն առաջինն էր, ով կառուցեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ (նա անվանեց այն հոսքերի մեթոդ)։ Սա անմիջապես հնարավորություն տվեց լուծել մաթեմատիկական և ֆիզիկական խնդիրների լայն տեսականի: Մինչ Նյուտոնը շատ ֆունկցիաներ սահմանվում էին միայն երկրաչափական եղանակով, ուստի անհնար էր դրանցում կիրառել հանրահաշիվը և հոսքերի նոր հաշվարկը։ Նյուտոնը գտավ նոր ընդհանուր մեթոդ ֆունկցիայի վերլուծական ներկայացման համար. նա ներմուծեց այն մաթեմատիկա և սկսեց համակարգված կերպով կիրառել անվերջ շարքեր:

Նման շարքի օրինակ է մեզ հայտնի երկրաչափական պրոգրեսիան։

Նյուտոնի հետ միաժամանակ մեկ այլ ականավոր գիտնական՝ Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը նման գաղափարների հանգեց։

Սակայն Նյուտոն-Լայբնից մոտեցման մեջ կար լուրջ հակասություն։

Սա բացատրենք մեկ օրինակով.

Նյուտոնը և Լայբնիցը մշակել են սովորական որոշակի ինտեգրալի հայեցակարգի երկու մեկնաբանություն։

Նյուտոնը որոշակի ինտեգրալը մեկնաբանեց որպես հակաածանցյալ ֆունկցիայի համապատասխան արժեքների տարբերություն.

Որտեղ Ֆ ` (x)=f(x).

Լայբնիցի համար որոշակի ինտեգրալը բոլոր անվերջ փոքր դիֆերենցիալների գումարն էր։

Սովորական որոշակի ինտեգրալի մեկնաբանությունն ըստ Լայբնիցի հիմնված էր անվերջ փոքրերի հայեցակարգի վրա, որից 18-րդ դարի մաթեմատիկոսները ցանկանում էին ազատել մաթեմատիկական վերլուծությունը։ Սա նաև ծառայեց ամրապնդելու Նյուտոնի տեսակետը։

Դիֆերենցիալ հաշվարկի տեսությունը հետագայում զարգացավ Լեոնհարդ Էյլերի աշխատություններում։

Էյլերի «Անվերջ փոքրերի վերլուծության ներածություն», «Դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմքերը» և «Ինտեգրալ հաշվարկի հիմունքները» աշխատությունները առաջին տրակտատներն էին, որոնցում նոր վերլուծության արդեն ընդարձակ, բայց ցրված նյութը համակցված գիտության մեջ էր: Նրանք մշակեցին ժամանակակից վերլուծության կմախքը, որը պահպանվել է մինչ օրս:

Կցանկանայի նշել ևս մեկ անուն՝ Յոհան Բեռնուլի։

Յոհան Բերնուլիի դերը, որպես այն ժամանակվա նորածին մաթեմատիկական վերլուծության ստեղծողներից, տարածողներից և, անկասկած, փորձագետներից մեկը, արտացոլված է ժամանակակից տերմինաբանությամբ. Բեռնուլի. Ինչպես հայտնի է, Լայբնիցը գերադասեց ինտեգրալն անվանել «գումար»։ Դրանից հետո առաջացավ ∫ ինտեգրալ նշանը, որը երկարաձգված S տառ է՝ լատիներեն բառի առաջին տառը։ ամփոփում.

Հավելված 2.

Մաթեմատիկոսի ելույթը.

Ինչպես արդեն լսեցինք նախորդ ելույթից, որոշակի ինտեգրալ հասկացության նկատմամբ մոտեցումն այլ էր։ Ինտեգրալ հաշվարկի հիմնական խնդիրներից մեկը հակաածանցյալը գտնելն է։

ԳործառույթՖկոչվում է ֆունկցիայի հակաածանցյալզտրված միջակայքում, եթե բոլոր x-ի համար այս ընդմիջումից

Ֆ «(x)= զ (X).

Ինտեգրման խնդիրն է՝ գտնել նրա բոլոր հակաածանցյալները տվյալ ֆունկցիայի համար։

F ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալները կարելի է գրել մեկ բանաձևով, որը կոչվում է f ֆունկցիայի հակաածանցյալների ընդհանուր ձև: Հետևյալ թեորեմը ճիշտ է (հակածանցյալների հիմնական հատկությունը)

Ֆունկցիայի ցանկացած հակաածանցյալզմիջեւԻկարելի է գրել որպես

Ֆ (x)+C,

ՈրտեղՖ(x) – ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկըզ(x) ընդմիջման վրաԻ, իսկ C-ն կամայական հաստատուն է։

Հակածանցյալներ գտնելու համար մենք օգտագործեցինք աղյուսակը.

Գոյություն ունեն նաև հակաածանցյալներ գտնելու երեք կանոն.

Կանոն 1 . ԵթեՖ զ, ԱԳ– հակաածանցյալ համարէ, ԴաՖ+ Գհամար կա հակաածանցյալզ+ է.

Կանոն 2 . ԵթեՖֆունկցիայի հակաածանցյալ կազ, Ակհաստատուն է, ապա ֆունկցիանկՖ– հակաածանցյալ համարկֆ.

Կանոն 3 . ԵթեՖ(x) - ֆունկցիայի հակաածանցյալ կազ(x), ակԵվբ- մշտական, ևկ≠0, ապա 1/կ· Ֆ(կx+բ) կա հակաածանցյալզ(կx+բ).

Արտահայտություն Ֆ(x)+C կոչվում է անորոշ ինտեգրալ

∫ զ (X) դ x= Ֆ (x)+C

Որոշակի ինտեգրալի հայեցակարգը կապված է կորագիծ տրապիզոիդի տարածքը հաշվարկելու խնդրի հետ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված պատկերզ(x), շարունակական և չփոփոխվող նշան հատվածի վրա [a;բ], հատված[a;բ] և ուղիղներ x=a և x=բկանչեցկոր trapezoid .

ա) ժամըբ) ժամը

0 աբx 0 աբX

գ) դ)

ա 0 բ x

ա 0 բX

Կորագիծ տրապիզոիդների մակերեսները հաշվարկելու համար օգտագործվում է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ. Եթեզ– շարունակական և ոչ բացասական հատվածի վրա [a;բ]գործառույթ, ևՖհակաածանցյալ է այս հատվածի վրա, այնուհետև տարածքըՍհամապատասխան կորագիծ trapezoid-ը հավասար է հատվածի վրա հակաածանցյալի աճին [a;բ], այսինքն.Ս = Ֆ ( բ )- Ֆ (Ա).

Ցանկացած շարունակական f ֆունկցիայի համար [a;b] միջակայքում (պարտադիր չէ, որ ոչ բացասական), S-ը հակված է որոշակի թվի: Այս թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի ինտեգրալ a-ից b և նշվում է.

բ

∫ զ (X) դ X

Ա

ա, բ– ինտեգրման սահմանները (ա – ստորին սահման,բ- վերին սահմանը);

զ- ինտեգրացիոն ֆունկցիա;

x – ինտեգրման փոփոխական;

∫ - ինտեգրալի նշան.

բ

∫ զ (X) դ x= Ֆ ( բ )- Ֆ ա) – Նյուտոն-Լայբնից բանաձև .

Ա

Ձայնագրման հեշտության համար տարբերությունը Ֆ ( բ )- Ֆ (Ա) սովորաբար կրճատվում է որպես

բ

Ֆ (x)|

Ա

Օգտագործելով այս նշումը, Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը սովորաբար գրվում է հետևյալ կերպ.

բ բ

∫զ (X) դ x= Ֆ (x)|

Ա Ա

Ելնելով վերը նշվածից՝ կորագիծ տրապեզոիդի մակերեսը հաշվարկվում է որոշակի ինտեգրալի միջոցով, իսկ որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար դուք պետք է կարողանաք հաշվարկել հակաածանցյալը:

Հավելված 3.

Փորձարկում.

Տարբերակ 1.

F ֆունկցիան կոչվում է հակաածանցյալ f ֆունկցիայի համար տրված միջակայքում, եթե այս միջակայքի բոլոր x-երի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.

Գրի՛ր Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

4.

ա) S=∫(x 2 -5)dx; բ) S=∫(x 2 +11)dх; գ) S=∫(5-х 2)dх.

5. Գտեք իրական հավասարություններ:

Փորձարկում.

Տարբերակ 2.

Գրի՛ր հակաածանցյալի հիմնական հատկությունը:

Գրեք կոր trapezoid-ի մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը:

Օգտագործելով ինտեգրալ, գրեք նկարում ներկայացված նկարի տարածքը.

4. Ի՞նչ բանաձև է օգտագործվում տվյալ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար:

ա) S=∫(-х 2 -5)dх; բ) S=∫(-х 2 +3)dх; գ) S=∫(5-х 2)dх.

5. Գտեք իրական հավասարություններ:

ա) ∫х 3 dх=3х

Թեստի հարցերի պատասխանները.

Տարբերակ 1.

∫f(x)dx=F(b)-F(a).

3. S=∫(-x 2 +4x)dx.

4. գ) S=∫(5-х 2)dх.

Տարբերակ 2.

3. S=∫(3х+3)dх.

4. բ) S=∫(-х 2 +3)dх.

5. բ) ∫хdх=2.

Թեստի կատարողականի գնահատման չափանիշ.

5 ճիշտ կատարված առաջադրանքների համար՝ «5» միավոր

4 ճիշտ կատարված առաջադրանքների համար՝ «4» միավոր

3 ճիշտ կատարված առաջադրանքների համար՝ «3» միավոր

1-2 ճիշտ կատարված առաջադրանքների համար՝ գնահատական ​​չի տրվում, դուք լրացուցիչ խորհուրդներ եք պահանջում:

Հավելված 4.

Ֆիզիկոսի ելույթը.

Որոշակի ինտեգրալը լայնորեն կիրառվում է ֆիզիկական խնդիրների լուծման ժամանակ։ Օրինակ՝ ուժի աշխատանքը հաշվարկելու համար նյութական կետի անցած ճանապարհը:

1. Փոփոխական ուժի աշխատանք.

A աշխատանքը, որը կատարվում է փոփոխական ֆորսֆ (x) կողմից Ox առանցքի երկայնքով նյութական կետը x=a-ից x=b տեղափոխելիս, գտնում ենք բանաձևով.

բ

A= ∫ զ (X) դ X

Ա

Մարմնի վրա ազդող ուժը գտնելու համար օգտագործվում է Հուկի օրենքը՝ F=kx, որտեղ k-ը համաչափության գործակիցն է։

2. Նյութական կետի անցած ճանապարհի հաշվարկը:

Եթե ​​կետը շարժվում է որոշակի գծով, և դրա արագությունը v=f(t) t ժամանակի տրված ֆունկցիան է, ապա որոշակի ժամանակահատվածում կետի անցած ճանապարհը հաշվարկվում է բանաձևով.

տ 2

Ս = ∫ v ( տ ) dt

տ 1

Որոշակի ինտեգրալն օգտագործվում է նաև, երբ.

երկրաչափության մեջ պտտվող մարմինների ծավալների հաշվարկ;

ֆիզիկայում զանգվածի կենտրոնի հայտնաբերում;

Հավելված 5.

Տնտեսագետի ելույթը.

«Մասնագիտության ներածություն» դասերին մենք ծանոթացանք այնպիսի տնտեսական հասկացությունների հետ, ինչպիսիք են աշխատանքի արտադրողականությունը և արտադրանքի ծավալը: Այս հասկացությունները բացահայտում են ինտեգրալի տնտեսական նշանակությունը.

Եթեզ(տ) – աշխատանքի արտադրողականություն տվյալ պահինտ, Դա

Տ

Ք = ∫ զ ( տ ) dt

0

տվյալ ժամանակահատվածում արտադրանքի ծավալն է.

Հավելված 7.

Գործնական առաջադրանքներ.

Հաշվիր ինտեգրալը։

2. Գտե՛ք գծերով սահմանափակված պատկերի մակերեսը:

ա) y=x 2 +4; y=5;

բ) 0,5x+2; y=-x+5.

3. Ֆիզիկական բովանդակությամբ առաջադրանքներ.

Առաջադրանք 1.

Կետային շարժման արագություն v=12 տ-3 տ 2 մ/վրկ. Գտեք կետի անցած ուղին իր շարժման սկզբից մինչև կանգառը:

Առաջադրանք 2.

Հաշվե՛ք F ուժով կատարված աշխատանքը զսպանակը 4 սմ-ով սեղմելիս, եթե այն 1 սմ-ով սեղմելու համար անհրաժեշտ է 10 Ն ուժ։

Առաջադրանք 3.

Կետը արագությամբ շարժվում է ուղիղ գծով v(տ)=6 տ 2 -4 տ-1. Գտե՛ք կետի շարժման օրենքը, եթե t=1s պահին կետի կոորդինատը հավասար էր 4 մ-ի։

Տնտեսական բովանդակության հետ կապված խնդիրներ.

Առաջադրանք 1.

Աշխատողի աշխատանքի արտադրողականությունը օրվա ընթացքում տրվում է բանաձևով զ(տ)=0,00625 տ 4 +0,05 տ+0,5 որջ. միավոր/ժամ,որտեղ t-ն աշխատանքի մեկնարկից ժամերով ժամ է, այսինքն. 0≤t≤8. Գտե՛ք Q(t) ֆունկցիան՝ արտադրության ծավալը և դրա արժեքը աշխատանքային օրվա համար:

Առաջադրանք 2.

Պահեստում որոշակի ապրանքի պաշարը 100 միավոր է, իսկ օրական մուտքային ապրանքն արտահայտվում է բանաձևով. զ(տ)=22-0,5 տ+0,06 տ 2 , որտեղ t-ն օրերի թիվն է: Որոշեք ապրանքների քանակը 40 օր հետո։

Համակարգչով լուծելու խնդիրներ.

Առաջադրանք 1.

Տեխնիկական հերթափոխով աշխատողների աշխատանքի արտադրողականությունը տրամաչափեր արտադրելիս որոշվում է բանաձևով զ(տ)=2,53 տ 2 , որտեղ t աշխատանքային ժամանակը ժամերով է: Հաշվարկել արտադրված արտադրանքի ծավալը 6 ժամ աշխատաժամանակում:

Առաջադրանք 2.

Վորոնեժի շրջանի բնակչության աճը բնութագրվում է գործառույթով զ(տ)=35825 տ 2 , որտեղ t-ը ժամանակն է տարիներով: Որոշեք բնակչության աճը 15 տարում:

Եվ ինտեգրալ հաշվարկ ֆիզիկական խնդիրների լուծման համար» նպատակն է ուսումնասիրել ֆիզիկայի դասընթացը՝ հիմնված մաթեմատիկական վերլուծության վրա։

Այս դասընթացը խորացնում է տասներորդ և տասնմեկերորդ դասարանների հանրահաշիվ և վերլուծության դասընթացների նյութը և բացահայտում դպրոցական ֆիզիկայի դասընթացում ներառված թեմաների վերաբերյալ նյութի գործնական համախմբման հնարավորությունները: Սրանք ֆիզիկայում «Մեխանիկա», «Էլեկտրաստատիկա», «Ջերմոդինամիկա» թեմաներն են, հանրահաշվի որոշ թեմաներ և վերլուծության սկիզբ: Արդյունքում այս ընտրովի դասընթացը իրականացնում է հանրահաշվի և մաթեմատիկական վերլուծության միջառարկայական կապը ֆիզիկայի հետ։

Ընտրովի դասընթացի նպատակները.

1. Ուսումնական. իրականացնել գործնական ամրապնդում «Մեխանիկա», «Էլեկտրաստատիկա», «Թերմոդինամիկա» թեմաներով, ցույց տալ մաթեմատիկական վերլուծության և ֆիզիկայի միջառարկայական կապի իրականացումը:

2. Ուսումնական. պայմանների ստեղծում ուսանողների մասնագիտական ​​հաջող ինքնորոշման համար՝ բարդ խնդիրների լուծման, աշխարհայացքի և մի շարք անձնական որակների սնուցման, ֆիզիկայի խորը ուսումնասիրության միջոցով:

Ուսանողների մտահորիզոնների ընդլայնում, մաթեմատիկական մտածողության զարգացում, առարկայի նկատմամբ ակտիվ ճանաչողական հետաքրքրության ձևավորում, ուսանողների մասնագիտական ​​հետաքրքրությունների զարգացում, ինքնուրույն և հետազոտական ​​հմտությունների զարգացում, ուսանողների արտացոլման զարգացում (հետագա մասնագիտական ​​գործունեության համար անհրաժեշտ նրանց հակումների և կարողությունների գիտակցում): )

Մաթեմատիկական գործիքների միջոցով ֆիզիկայի խնդիրների լուծման օրինակներ.

Դիֆերենցիալ կիրառություն մեխանիկայի որոշ խնդիրների լուծման հաշվարկ:

1. Աշխատանք.Գտնենք տվյալ ուժի կատարած աշխատանքը Ֆ առանցքի հատվածով շարժվելիս X.Եթե ​​ուժ Ֆ մշտական ​​է, հետո աշխատիր Աարտադրանքին հավասար Ֆ ճանապարհի երկարության համար. Եթե ​​ուժը փոխվում է, ապա այն կարելի է համարել որպես ֆունկցիա X:Ֆ = Ֆ(x). Աշխատանքի ավելացում Ահատվածի վրա [X,x+ dx] չի կարող ճշգրիտ հաշվարկվել որպես արտադրանք Ֆ(x) dx, քանի որ ուժը փոխվում է այս հատվածում: Այնուամենայնիվ, փոքրի հետ dx կարելի է ենթադրել, որ ուժը մի փոքր փոխվում է, և արտադրյալը ներկայացնում է հիմնական մասը, այսինքն՝ դա աշխատանքի դիֆերենցիալն է ( dA = = Ֆ(x) dx). Այսպիսով, ուժը կարելի է համարել տեղաշարժի աշխատանքի ածանցյալը:

2. Լիցքավորում.Թող ք - ժամանակի ընթացքում էլեկտրական հոսանքի միջոցով հաղորդիչի խաչմերուկով փոխանցվող լիցք տ. Եթե ​​ընթացիկ ուժը / հաստատուն է, ապա ժամանակի ընթացքում dt հոսանքը կկրի հավասար լիցք Idt. Երբ ընթացիկ ուժը փոխվում է ժամանակի հետ համաձայն օրենքի / = /(/), արտադրանքը Ի(տ) dt կարճ ժամանակահատվածում տալիս է լիցքի ավելացման հիմնական մասը [ տ, տ+- dt], այսինքն - լիցքի դիֆերենցիալն է. դք = Ի(տ) dt. Հետեւաբար, հոսանքը լիցքի ժամանակային ածանցյալն է:

3. Բարակ ձողի զանգվածը.Թող լինի ոչ միատեսակ բարակ ձող: Եթե ​​մուտքագրեք կոորդինատները, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 130, ապա ֆունկցիան t= t(1)- մի կտոր ձողի զանգված մի կետից ՄԱՍԻՆմատնանշել /. Ձողի տարասեռությունը նշանակում է, որ նրա գծային խտությունը հաստատուն չէ, այլ կախված է կետի դիրքից / որոշ օրենքի համաձայն p = p(/): Եթե ​​ձողի փոքր հատվածի վրա ենթադրենք, որ խտությունը հաստատուն է և հավասար է p(/-ին), ապա p(/)d/ արտադրյալը տալիս է զանգվածի դիֆերենցիալ. դմ. Սա նշանակում է, որ գծային խտությունը զանգվածի ածանցյալն է երկարության նկատմամբ։

4. Ջերմություն.Դիտարկենք նյութի տաքացման գործընթացը և հաշվարկենք ջերմության քանակը Ք{ Տ), որն անհրաժեշտ է 1 կգ նյութը 0 °C-ից մինչև տաքացնելու համար Տ.Կախվածություն Ք= Ք(Տ) շատ բարդ և փորձնականորեն որոշված: Եթե ​​ջերմային հզորությունը Հետայս նյութը կախված չէր ջերմաստիճանից, ապա արտադրանքը CDT կտա ջերմության քանակի փոփոխություն։ Հաշվելով փոքր հատվածի վրա [ Տ, Տ+ dT] ջերմային հզորությունը հաստատուն է, մենք ստանում ենք ջերմության դիֆերենցիալ քանակություն dQ = գ(Տ) dT. Հետևաբար, ջերմային հզորությունը ջերմության ածանցյալն է ջերմաստիճանի նկատմամբ:

5. Վերադառնալ աշխատանքի.Աշխատանքը դիտարկեք որպես ժամանակի ֆունկցիա: Մենք գիտենք աշխատանքի առանձնահատկությունը, որը ժամանակի ընթացքում որոշում է դրա արագությունը՝ սա է ուժը: Մշտական ​​հզորությամբ աշխատելիս Նաշխատել ժամանակի համար dt հավասար է Ndt. Այս արտահայտությունը ներկայացնում է աշխատանքի դիֆերենցիալը, այսինքն. dA = Ն(տ) dt, իսկ ուժը ժամանակի նկատմամբ գործում է որպես աշխատանքի ածանցյալ։

Բերված բոլոր օրինակները կառուցվել են ֆիզիկայի դասընթացից մեզ ծանոթ նույն սկզբունքներով՝ աշխատանք, տեղաշարժ, ուժ; լիցքավորում, ժամանակ, ընթացիկ; զանգված, երկարություն, գծային խտություն; և այլն: Ամեն անգամ, երբ այս մեծություններից մեկը հանդես է եկել որպես համաչափության գործակից մյուս երկուսի դիֆերենցիալների միջև, այսինքն՝ ամեն անգամ dy = ձևի հարաբերություն: կ(x) dx. Այս հարաբերությունը կարելի է դիտարկել որպես արժեքը որոշելու միջոց կ(x). Հետո կ(x) գտնվում է (կամ սահմանվում) որպես ածանցյալ ժամըԸստ X.Մենք արձանագրել ենք այս եզրակացությունը յուրաքանչյուր օրինակում: Հարցի հակառակ ձևակերպումը նույնպես հնարավոր է՝ ինչպես գտնել կախվածությունը ժամը-ից Xնրանց դիֆերենցիալների միջև տրված հարաբերությունից:

Որոշակի ինտեգրալի կիրառություններ մեխանիկայի որոշ խնդիրների լուծման համար:

1. Հարթ կորերի զանգվածի մոմենտները և կենտրոնները: Եթե ​​կորի աղեղը տրված է հավասարմամբ y= զ(x), ա≤ x≤ բ, և ունի խտություն = (x) , ապա այս աղեղի ստատիկ պահերը MxԵվ Իմկոորդինատային առանցքների համեմատ ԵզԵվ Օ y հավասար են

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">և զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները և - ըստ բանաձևերի. Որտեղ լ- աղեղային զանգված, այսինքն.

2. Ֆիզիկական առաջադրանքներ. Որոշակի ինտեգրալի որոշ կիրառություններ ֆիզիկական խնդիրների լուծման մեջ ներկայացված են ստորև բերված օրինակներում:

Մարմնի ուղղագիծ շարժման արագությունարտահայտված բանաձևով (մ/վ): Գտեք մարմնի անցած ճանապարհը շարժման սկզբից 5 վայրկյանում:

Քանի որ մարմնի կողմից արագությամբ ծածկված ճանապարհը ( տ) որոշակի ժամանակահատվածի համար, արտահայտվում է ինտեգրալով, ապա ունենք.

Մեխանիկական շարժման հավասարում.Թող նյութի զանգվածի կետը Տշարժվում է ուժի ազդեցության տակ Ֆ առանցքի երկայնքով X.Նշենք տ նրա շարժման ժամանակը, Եվ- արագություն, Ա- արագացում. Նյուտոնի երկրորդ օրենքը, Ամ = Ֆ կընդունի դիֆերենցիալ հավասարման ձև, եթե գրենք արագացումը, Աորպես երկրորդ ածանցյալ. ա= x’’.

Բաց դաս հանրահաշիվ և հիմնական վերլուծություն 11-րդ դասարանում՝ մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի ընդլայնված ուսումնասիրությամբ

«Մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդների կիրառում գործնական խնդիրների լուծման մեջ».

Ուսուցիչ՝ Վիշնևսկայա Ն.Վ.

Դասի նպատակները. 1. Վերանայեք մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդներով լուծված խնդիրների հիմնական տեսակները:

2. Կրկնել լուծման ալգորիթմները:

3. Վերլուծել ավելացած դժվարության խնդիրների լուծումը:

4. Լուծել տնտեսական խնդիրները.

Դասի պլան:

Գրատախտակի վրա վերլուծվում են բարձրացած դժվարության երկու խնդիր (թիվ 7 և թիվ 5 քարտեր): Մինչ տղաները պատրաստվում են, դասարանը բանավոր պատասխանում է հարցերին.

ա) ոլորտներ, որտեղ կիրառվում են մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդները.

բ) ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքների որոնման միջոցով խնդիրների լուծման ալգորիթմ.

գ) որոշակի ինտեգրալի միջոցով խնդիրների լուծման ալգորիթմ:

Միաժամանակ 6 հոգի աշխատում են քարտերի միջոցով (թիվ 3, 4, 6, 8, 9, 10):

Աղյուսակները լրացվում են։

Ստուգվում են գրատախտակի խնդիրները, ուսուցիչը ստուգում է քարտերի խնդիրների լուծումների ճիշտությունը:

Տախտակի վրա վերլուծվում է տնտեսական խնդիր (քարտ թիվ 1, 2):

Տնային թեստ.

Գործառույթի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքների որոնման միջոցով խնդիրների լուծման ալգորիթմ:

Որոշակի ինտեգրալի միջոցով երկրաչափական և ֆիզիկական մեծությունների հաշվարկման ալգորիթմ:

Ցանկալի մեծությունն արտահայտեք որպես արժեք ֆունկցիայի ինչ-որ կետում Ֆ .

Գտի՛ր ածանցյալը զայս գործառույթը:

Էքսպրես ֆունկցիա Ֆ-ի որոշակի ինտեգրալի տեսքով զև հաշվարկիր այն:

Արժեքի փոխարինում X = բգտնել անհրաժեշտ արժեքը.

Տնային աշխատանք (գրատախտակի վրա).

Քարտ թիվ 7

Երկու նավ շարժվում են մի կետում հատվող երկու ուղղահայաց գծերով ՄԱՍԻՆ, դեպի ՄԱՍԻՆ. Ժամանակի ինչ-որ պահի երկուսն էլ գտնվում են 65 կմ հեռավորության վրա ՄԱՍԻՆ, առաջինի արագությունը 15 կմ/ժ է, երկրորդը՝ 20 կմ/ժ։ Առաջին նավից շարժվում է 25 կմ/ժ արագությամբ մոտորանավակ։

ա) Որքա՞ն կարճ ժամանակում կարող է նավը նավարկել առաջին նավից դեպի երկրորդը:

բ) Որքա՞ն կարճ ժամանակում կարող է նավը նավարկել առաջին նավից դեպի երկրորդ և վերադառնալ առաջին նավ:

Վ 1 = 15 կմ/ժ

65 կմ Ս 1 ՄԱՍԻՆ

Ս 3 Ս 2

65 կմ

Վ l = 25 կմ/ժ

Վ 2 = 20 կմ/ժ

Լուծում:

X– ժամանակ, որն անցել է այն պահից, երբ երկու նավերը գտնվում էին 65 կմ հեռավորության վրա ՄԱՍԻՆ, մինչև նավը մեկնի։

– այն ժամանակը, որը տևում է նավը 1-ին նավից 2-րդ նավի ճանապարհորդության համար:

Այն պահին, երբ նավը մեկնել էր, 1-ին նավը գտնվում էր հեռավորության վրա
կմ-ից ՄԱՍԻՆ; այն պահին, երբ նավը հասնում է 2-րդ նավը, նրա և ՄԱՍԻՆհավասար էր կմ; նավակի ճանապարհն է
. Հետո՝ Պյութագորասի թեորեմով

.

Տարբերենք ըստ X:

;

;

Պատասխան՝ ա) 1 ժամ; բ) 3 ժամ.

Քարտ թիվ 5

Կաթսան ունի պտտման պարաբոլոիդի ձև: Նրա հիմքի շառավիղը Ռ= 3 մ խորություն Ն= 5 մ Կաթսան լցված է հեղուկով, որի տեսակարար կշիռը 0,8 Գ/սմ3 է։ Հաշվեք այն աշխատանքը, որը պետք է կատարվի, որպեսզի հեղուկը դուրս մղվի կաթսայից:

ժամը

Ա Ռ IN

դի Ն

ժամը

Oh x x

Ռ= 3 մ

Ն= 5 մ

ծեծել քաշը = 0,8 գ/սմ 3

Հաշվեք այն աշխատանքը, որը պետք է կատարվի, որպեսզի հեղուկը դուրս մղվի կաթսայից:

Լուծում:

Հատվածի հարթությունում xOy ԱՕԲպարաբոլա է, որի հավասարումը
. Եկեք գտնենք պարամետրը Ա.

Կետերի կոորդինատները INպետք է բավարարի այս հավասարումը, այսինքն.

,

, հետևաբար
.

Եկեք պարաբոլոիդը բաժանենք շերտերի հեղուկի մակերեսին զուգահեռ հարթություններով։ Թող շերտի հաստությունը խորությամբ ( Ն – y)հավասար է դի. Այնուհետև շերտը վերցնելով մոտավորապես որպես գլան, ստանում ենք դրա ծավալը
.

Պարաբոլայի հավասարումից
, Հետո
, այսինքն. հեղուկ շերտի քաշը
.

Հետեւաբար, հեղուկը խորքից դուրս մղելու համար
, ձեզ հարկավոր կլինի մի քանի տարրական աշխատանք ծախսել
,
. Հետո

, Հետո .

Պատասխան.
.

Աշխատեք դասարանում.

Քարտ թիվ 6

Որքա՞ն աշխատանք պետք է կատարվի զսպանակը 6 սմ-ով ձգելու համար, եթե 1 կգ ուժը այն ձգում է 1 սմ-ով:

Լուծում:

Ըստ Հուկի օրենքի՝ ուժը Ֆկգ՝ ձգելով աղբյուրը X, հավասար է
, k – համաչափության գործակից.

X= 0,01 մ

Ֆ= 1 կգ

Հետո
, հետևաբար
.

Աշխատանք, որը փնտրում եք
.

Պատասխան՝ 0.18 կգ.

Քարտ թիվ 8

Հաշվիր ուժի կատարած աշխատանքը Ֆերբ զսպանակը սեղմվում է 5 սմ-ով, եթե այն 1 սմ-ով սեղմելու համար անհրաժեշտ է 1 կգ ուժ։

Լուծում:

Հուկի օրենքի համաձայն
.

X= 0,01 մ

Ֆ= 1 կգ

Հետո
, հետևաբար
.

Աշխատանք, որը փնտրում եք
.

Պատասխան՝ 0,125 կգ.

Քարտ թիվ 9

Ուժ Ֆ, որով էլեկտրական լիցքը վանում է լիցքը (նույն նշանի), որը գտնվում է նրանից հեռավորության վրա r, արտահայտվում է բանաձևով

,

Որտեղ կ- մշտական.

Որոշեք ուժի կատարած աշխատանքը Ֆլիցք տեղափոխելիս կետից , հեռու հեռավորության վրա , հենց , հեռու հեռավորության վրա , ենթադրելով, որ մեղադրանքը տեղադրված է մի կետում , որպես ելակետ։

Լուծում:

Աշխատանքը որոշվում է բանաձևով
,
. Հետո

.

ժամը
մենք ստանում ենք
.

Պատասխան.
.

Քարտ թիվ 3

Որոշեք ջրի ճնշման ուժը ուղղահայաց պատի վրա, որը նման է շառավղով կիսաշրջանի Ռ= 6 մ, որի տրամագիծը ջրի մակերեսին է։

Լուծում:

Հեղուկի ճնշման ուժը տարածքի վրա Սընկղմման խորության վրա Xհավասար է
, - հեղուկի տեսակարար կշիռը.

ՄԱՍԻՆ

x Գ

dx

Ա Բ

Կիսաշրջանը զուգահեռ գծերով բաժանում ենք շերտերի, որոնք վերցնում ենք որպես ուղղանկյուն։ Թող ստվերավորված շերտը երկարություն ունենա ԱԲ, լայն dxև գտնվում է խորության վրա X
.

Ջրի ճնշումը շերտի վրա, որը գտնվում է խորության վրա X, հավասար կլինի։

Այստեղից

,

,

,

.

Ջրի տեսակարար կշիռը 1 սմ 3 = 1 Գ է, հետևաբար 1 մ 3 = 1000 կգ քաշը։

;

1 կգ 9.81 n

1 բար = 0,987 ատմ.

Պատասխան՝ 144000 կգ։

Քարտ թիվ 4

Կետային շարժման արագություն
մ/վրկ. Գտեք ճանապարհը սանցած ժամանակի մի կետով Տ= Շարժման մեկնարկից 8 վայրկյան հետո: Որքա՞ն է այս ժամանակահատվածում շարժման միջին արագությունը:

Լուծում:

, հետևաբար
,
,
.

Ուստի
.

.

Պատասխան՝ 512 մ; 64 մ/վրկ.

Քարտ թիվ 1 (լուծվում է դասարանում գրատախտակին)

Օճառի արտադրության միջին ընդհանուր արժեքը (հազար ռուբլով մեկ տոննայի դիմաց) Մուխինսկու օճառի գործարանում տարբերվում են՝ կախված տարեկան արտադրության ծավալից Ք(տոննայով)՝ ըստ օրենքի.

.

Տարեկան վաճառքի հարաբերությունը հավասար է տարեկան արտադրանքին Ք, իսկ օճառի գինը Ռ(հազար ռուբլով մեկ տոննայի դիմաց) նկարագրված է բանաձևով

.

Տարվա ընթացքում եփած ողջ օճառը ֆիքսված գնով վաճառելով՝ գործարանը ստացավ առավելագույն հնարավոր շահույթ։ Որքա՞ն է եղել ընկերության եկամուտը:

Լուծում:

Եկեք դա արտահայտենք միջոցով Քնախ օճառի գինը բանաձեւից
.

.

Հետո շահույթ Գկարելի է արտահայտել.

Եկեք գտնենք այս ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը.

,
.

Կրիտիկական կետեր 100, –340, –120:

Բացասական արմատները տնտեսական իմաստ չունեն:

Ք

Գ

;

.

Սա նշանակում է, որ օճառի տարեկան օպտիմալ ծավալն է
t, ապա գինը
(հազար ռուբլի / տ):

Հետո տարեկան եկամուտը Ռկլինի՝ (հազար ռուբլի):

Պատասխան՝ 1 միլիոն ռուբլի:

Քարտի համարը 10

Գտե՛ք ջրի մեջ ուղղահայաց ընկղմված ուղղանկյունի ջրի ճնշման չափը, եթե հայտնի է, որ դրա հիմքը 8 մ է, բարձրությունը՝ 12 մ, վերին հիմքը զուգահեռ է ջրի մակերեսին և գտնվում է 5 խորության վրա։ մ.

Լուծում:

5 մ

8 մ

X

dx 12 մ

,
,
մ.

կՀմ.

.

Պատասխան.
կՀմ.

Քարտ թիվ 2 (ըստ ցանկության)

Արտադրական հզորությունները թույլ են տալիս Linotron ձեռնարկությանը տարեկան արտադրել ոչ ավելի, քան 600 տոննա բամբակյա բուրդ։ Ընդհանուր ծախսերի կախվածությունը (հազար ռուբլով) արտադրության տարեկան ծավալից Ք(տոննայով) ունի ձևը

.

Բամբակյա բրդի վաճառքի տարեկան ծավալի կապը, որը համընկնում է տարեկան արտադրության ծավալի հետ, և բամբակի գնի միջև. Ռ(հազար ռուբլով մեկ տոննայի դիմաց) նկարագրվում է գործառույթով

Բամբակի բրդի գինը սահմանվում է 1995 թվականի հունվարի 1-ից և վերանայվում է միայն հաջորդ տարվա հունվարի 1-ից։

Գտեք 1% ճշգրտությամբ արտադրության ծախսարդյունավետությունը, եթե 1995 թվականին ձեռնարկությունը ստանում է առավելագույն հնարավոր շահույթ։

Լուծում:

Կախվածության օգտագործումը
և, եկեք արտահայտենք.

y y

ա 0b c x a 0b c x

Դասի կարգախոսը. «Մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում են բոլոր ճշգրիտ գիտությունները» Ն.Ի. Լոբաչևսկին

Դասի նպատակն է ամփոփել ուսանողների գիտելիքները «Ինտեգրալ», «Ինտեգրալի կիրառում» թեմայով, ընդլայնել նրանց մտահորիզոնները, տարբեր քանակությունների հաշվարկում ինտեգրալի հնարավոր կիրառման մասին գիտելիքները. համախմբել ինտեգրալների օգտագործման հմտությունները կիրառական խնդիրների լուծման համար. զարգացնել ճանաչողական հետաքրքրություն մաթեմատիկայի նկատմամբ, զարգացնել հաղորդակցության մշակույթը և մաթեմատիկական խոսքի մշակույթը. կարողանալ սովորել խոսել ուսանողների և ուսուցիչների առջև.

Դասի տեսակը՝ կրկնություն-ամփոփում:

Դասի տեսակը՝ դաս – «Ինտեգրալի կիրառում» նախագծի պաշտպանություն։

Սարքավորումներ՝ մագնիսական տախտակ, «Ինտեգրալի կիրառում» պաստառներ, բանաձևերով և ինքնուրույն աշխատանքի առաջադրանքներով քարտեր:

Դասի պլան:

1. Ծրագրի պաշտպանություն.

1. ինտեգրալ հաշվարկի պատմությունից;
2. ինտեգրալի հատկությունները;
3. ինտեգրալի կիրառում մաթեմատիկայի մեջ;
4. ինտեգրալի կիրառումը ֆիզիկայում;

2. Վարժությունների լուծում.

Դասերի ժամանակ

Ուսուցիչ. Մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի, մեխանիկայի և այլ առարկաների հետազոտական ​​հզոր գործիքը որոշակի ինտեգրալն է՝ մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից մեկը: Ինտեգրալի երկրաչափական իմաստը կորագիծ տրապիզոիդի տարածքն է: Ինտեգրալի ֆիզիկական իմաստը 1) խտությամբ անհամասեռ ձողի զանգվածն է, 2) որոշակի ժամանակահատվածում արագությամբ ուղիղ գծով շարժվող կետի տեղաշարժը։

Ուսուցիչ. Մեր դասարանի տղաները շատ աշխատանք կատարեցին, նրանք ընտրեցին խնդիրներ, որտեղ օգտագործվում է որոշակի ինտեգրալ: Նրանք ունեն հատակ:

Ուսանող 2. Ինտեգրալի հատկությունները

Ուսանող 3. Ինտեգրալի կիրառում (աղյուսակ մագնիսական տախտակի վրա):

Ուսանող 4. Մենք դիտարկում ենք ինտեգրալների օգտագործումը մաթեմատիկայի մեջ՝ թվերի մակերեսը հաշվարկելու համար:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում դիտարկված ցանկացած հարթ պատկերի տարածքը կարող է կազմված լինել առանցքի հարակից կորագիծ տրապիզոիդների տարածքներից: Օ՜և առանցքների OU.Կոր տրապիզոնի տարածքը, որը սահմանափակվում է կորով y = f(x),առանցք Օ՜և երկու ուղիղ գիծ x=aԵվ x=b,Որտեղ ա x բ, f(x) 0հաշվարկված բանաձևով սմ. բրինձ.Եթե ​​առանցքին կից է կոր trapezoid OU, ապա դրա մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով , սմ. բրինձ.Նկարների մակերեսները հաշվարկելիս կարող են առաջանալ հետևյալ դեպքերը. ա) Նկարը գտնվում է Ox առանցքից վեր և սահմանափակվում է Ox առանցքով, կորով y = f (x) և երկու ուղիղ x = a և x = b. . (Տեսնել. բրինձ.) Այս նկարի մակերեսը գտնում ենք 1 կամ 2 բանաձևով: բ) Նկարը գտնվում է Ox առանցքի տակ և սահմանափակվում է Ox առանցքով, կորով y=f(x) և երկու ուղիղ գծերով x=a և x=b (տես. բրինձ.) Տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով . գ) Նկարը գտնվում է Ox առանցքի վերևում և ներքևում և սահմանափակված է Ox առանցքով, y=f(x) կորով և երկու ուղիղ x=a և x=b( բրինձ.) դ) Տարածքը սահմանափակված է երկու հատվող կորերով y = f (x) և y = (x) ( բրինձ.)

5 ուսանող. Եկեք լուծենք խնդիրը

x-2y+4=0 և x+y-5+0 և y=0

Ուսանող 7. Ինտեգրալ, որը լայնորեն կիրառվում է ֆիզիկայում: Խոսք ֆիզիկոսներին.

1. ԿԵՏՈՎ ԸՆԹԱՑՎԱԾ ՈՒՂԻ ՀԱՇՎԱՐԿ

Մի կետի անցած ուղին ուղիղ գծով փոփոխական արագությամբ անհավասար շարժման ընթացքում ժամանակի ընթացքում սկսած մինչև հաշվարկվում է բանաձևով:

Օրինակներ.

1. Կետերի շարժման արագություն մ/վրկ. Գտեք կետի անցած ճանապարհը 4 վայրկյանում:

Լուծում` ըստ պայմանի, . Հետևաբար,

2. Երկու մարմին միաժամանակ մեկ կետից սկսեցին շարժվել մեկ ուղղությամբ ուղիղ գծով: Առաջին մարմինը շարժվում է արագությամբ մ/վրկ, երկրորդը՝ v = արագությամբ (4տ+5)մ/վրկ. Որքա՞ն հեռավորություն կունենան դրանք միմյանցից 5 վայրկյան հետո:

Լուծում. ակնհայտ է, որ ցանկալի արժեքը 5 վրկ-ում առաջին և երկրորդ մարմինների անցած հեռավորությունների տարբերությունն է.

3. Երկրի մակերևույթից մարմինը նետվում է դեպի վեր՝ u = (39,2-9,8^) մ/վ արագությամբ։ Գտեք մարմնի բարձրացման առավելագույն բարձրությունը:

Լուծում. մարմինը կհասնի իր բարձրացման առավելագույն բարձրությանը t այն պահին, երբ v = 0, այսինքն. 39.2- 9,8տ = 0, որտեղից ես= 4 վ. Օգտագործելով բանաձևը (1) մենք գտնում ենք

2. ՈՒԺԱՅԻՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՇՎԱՐԿ

F(x) փոփոխական ուժով կատարված աշխատանք առանցքի երկայնքով շարժվելիս Օ՜նյութական կետ x =-ից Անախքան x=b,հայտնաբերվում է բանաձևով Ուժի աշխատանքի հաշվարկման խնդիրներ լուծելիս հաճախ օգտագործվում է Հեքի օրենքը. F=kx, (3)որտեղ Ֆ - ուժ N; X- ուժով առաջացած աղբյուրի բացարձակ երկարացում, մ Ֆ, Ա կ- համամասնության գործակից, N/m.

Օրինակ:

1. Հանգիստ վիճակում գտնվող աղբյուրը ունի 0,2 մ երկարություն, 50 Ն ուժը ձգում է զսպանակը 0,01 մ-ով, որքա՞ն աշխատանք պետք է կատարվի այն 0,22-ից 0,32 մ ձգելու համար:

Լուծում. օգտագործելով հավասարությունը (3), մենք ունենք 50 = 0.01k, այսինքն՝ kK = 5000 Ն/մ: Մենք գտնում ենք ինտեգրման սահմանները՝ a = 0.22 - 0,2 = 0,02 (մ), b=0,32- 0,2 = 0,12 (մ): Այժմ, օգտագործելով բանաձևը (2), մենք ստանում ենք

3. ԿԱՏԱՐՎԱԾ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՇՎԱՐԿ ԲԵՌՆ ԲԵՌՆԵԼՈՒ ՀԱՄԱՐ.

Առաջադրանք. 0,5 մ բազային շառավղով և 2 մ բարձրությամբ գլանաձև բաքը լցված է ջրով։ Հաշվարկեք այն աշխատանքը, որն անհրաժեշտ է տանկից ջուրը մղելու համար:

Լուծում․ ընտրեք dх ​​բարձրության հորիզոնական շերտ x խորության վրա ( բրինձ.) A աշխատանքը, որը պետք է կատարվի P կշռող ջրի շերտը x բարձրության վրա բարձրացնելու համար, հավասար է Px-ի:

x խորության փոփոխությունը փոքր քանակությամբ dx կառաջացնի V ծավալի փոփոխություն dV = քանակով pr 2 dx և P քաշի փոփոխություն * dP = 9807 r 2 dx; այս դեպքում կատարած Ա աշխատանքը կփոխվի dA = 9807пr 2 xdx արժեքով։ Ինտեգրելով այս հավասարությունը, երբ x-ը 0-ից H է փոխվում, մենք ստանում ենք

4. ՀԵՂՈՒՔԻ ՃՆՇՄԱՆ ՈՒԺԻ ՀԱՇՎԱՐԿ

Ուժի արժեքը ՌՀեղուկի ճնշումը հորիզոնական հարթակի վրա կախված է ընկղմման խորությունից Xայս տարածքի, այսինքն՝ տարածքի հեռավորությունից մինչև հեղուկի մակերեսը:

Հորիզոնական հարթակի վրա ճնշման ուժը (N) հաշվարկվում է բանաձևով P = 9807Սքս,

Որտեղ - հեղուկի խտություն, կգ/մ3; S - կայքի տարածքը, m2; X -հարթակի ընկղմման խորությունը, մ.

Եթե ​​պլատֆորմը, որն ապրում է հեղուկի ճնշումը, հորիզոնական չէ, ապա դրա վրա ճնշումը տարբեր է տարբեր խորություններում, հետևաբար հարթակի վրա ճնշման ուժը կախված է դրա ընկղմման խորությունից: P(x).

5. ԿԱՐԻ ԵՐԿՈՒՅԹ

Թող ինքնաթիռը կորի ԱԲ(բրինձ.)տրված է հավասարմամբ y =f(x) (axբ),և f(x)Եվ զ?(x)- շարունակական ֆունկցիաներ [a,b] միջակայքում: Հետո դիֆերենցիալը դլաղեղի երկարությունը ԱԲարտահայտված բանաձևով կամ , և աղեղի երկարությունը ԱԲհաշվարկված բանաձևով (4)

որտեղ a-ն և b-ն անկախ փոփոխականի արժեքներն են X A և B կետերում. Եթե կորը տրված է հավասարմամբ x =(y) (y-ի հետ)դ),ապա AB աղեղի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով (5) որտեղ ՀետԵվ դանկախ փոփոխական արժեքներ ժամըկետերում Աև Վ.

6. ԶԱՆԳՎԱԾՔԻ ԿԵՆՏՐՈՆ

Զանգվածի կենտրոնը գտնելիս օգտագործեք հետևյալ կանոնները.

1) x կոորդինատ ? A 1, A 2,..., A n նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոն m 1, m 2, ..., m n զանգվածներով, որոնք գտնվում են ուղիղ գծի վրա x 1, x 2 կոորդինատներով կետերում, ..., x n , գտնում ենք բանաձեւով

(*); 2) Զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները հաշվարկելիս կարող եք պատկերի ցանկացած մասը փոխարինել նյութական կետով՝ տեղադրելով այս մասի զանգվածի կենտրոնում և դրան վերագրել մասի զանգվածին հավասար զանգված։ դիտարկվող գործիչը։ Օրինակ. Թող խտության զանգվածը (x) բաշխված լինի Ox առանցքի ձողային հատվածի [a;b] երկայնքով, որտեղ (x)-ը շարունակական ֆունկցիա է: Եկեք դա ցույց տանք ա) ձողի M ընդհանուր զանգվածը հավասար է. բ) x զանգվածի կենտրոնի կոորդինատը " հավասար է .

Եկեք բաժանենք հատվածը [a; b] n հավասար մասերի` a= x 0 կետերով< х 1 < х 2 < ... <х n = b (բրինձ.) Այս հատվածներից յուրաքանչյուրի n-ի վրա խտությունը կարելի է համարել հաստատուն մեծ n-ի համար և մոտավորապես հավասար (x k - 1) k-րդ հատվածում ((x-ի շարունակականության պատճառով): Այնուհետև k-ի զանգվածը: -րդ հատվածը մոտավորապես հավասար է և ամբողջ ձողի զանգվածը հավասար է

Դիտարկելով n փոքր հատվածներից յուրաքանչյուրը որպես m k զանգվածի նյութական կետ, որը տեղադրված է , բանաձևից (*) մենք ստանում ենք, որ զանգվածի կենտրոնի կոորդինատը մոտավորապես հետևյալն է.

Այժմ մնում է նշել, որ քանի որ n -> համարիչը ձգտում է դեպի ինտեգրալը, իսկ հայտարարը (արտահայտելով ամբողջ ձողի զանգվածը) դեպի ինտեգրալը։

Նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները հարթության վրա կամ տարածության մեջ գտնելու համար օգտագործում են նաև (*) բանաձևը։

Ուսուցիչ. Դուք ունեք սեղան և խնդիրներ ձեր սեղանների վրա, օգտագործելով աղյուսակը, գտե՛ք՝ ա) էլեկտրաէներգիայի քանակը. բ) ձողի զանգվածը՝ ելնելով նրա խտությունից.

Քանակներ

Ածանցյալ հաշվարկ

Ինտեգրալի հաշվարկ Տարբերակ 1 Տարբերակ 2 Դասի ամփոփում. Մենք ավարտեցինք «Ինտեգրալ» թեման, սովորեցինք հաշվարկել հակաածանցյալներ, ինտեգրալներ, թվերի տարածքներ, դիտարկեցինք ինտեգրալի կիրառումը գործնականում, այս խնդիրները կարող են հայտնվել միասնական պետական ​​քննության ժամանակ, կարծում եմ, դուք կարող եք դրանք լուծել:

Դիտեք փաստաթղթի բովանդակությունը
«ՄՌ համակցված դաս ուսուցչի համար «Ինտեգրալ հաշվարկի հիմունքներ. Որոշակի ինտեգրալ».

ՊԵՏԱԿԱՆ ԻՆՔՆԱՎՈՐ ԿՐԹԱԿԱՆ

ՄԻՋՆԱԿԱՐԳ ՄԻՋՆԱԿԱՐԳ ՄԻՋՆԱԿԱՐԳ ՄԻՋԻՆ ՄԻՋԻՆ ՄԻՋԻՆ ՄԻՋԻՆ ՄԻՋԻՆ ՄԻՋԻՆ ՄԻՋՆԱԿԱՐԳ ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆ

ՆՈՎՈՍԻԲԻՐՍԿԻ ՇՐՋԱՆ

«ԲԱՐԱԲԻՆՍԿՈՒ ԲԺՇԿԱԿԱՆ ՔՈԼԵՋ»

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ԶԱՐԳԱՑՈՒՄ

համակցված դաս ուսուցչի համար

ԴԻՍԿԻՊԼԻՆԱ «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ»

Բաժին 1.Մաթեմատիկական վերլուծություն

Առարկա1.6. Ինտեգրալ հաշվարկի հիմունքները. Որոշակի ինտեգրալ

Մասնագիտություն

060101 Ընդհանուր բժշկություն

Դե,- առաջին

Մեթոդական թերթիկ

Պետական ​​ստանդարտների պահանջների ձևավորում թեման ուսումնասիրելիս

« Ինտեգրալ հաշվարկի հիմունքները. Որոշակի ինտեգրալ»

պետք է իմանա.

մաթեմատիկայի կարևորությունը մասնագիտական ​​գործունեության և մասնագիտական ​​կրթական ծրագրի յուրացման գործում.

կիրառական խնդիրների լուծման հիմնական մաթեմատիկական մեթոդներ;

ինտեգրալ և դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմունքները:

Թեմայի ուսումնասիրության արդյունքում սովորող պետք է կարողանա՝

լուծել մասնագիտական ​​գործունեության ոլորտում կիրառական խնդիրները.

Դասի նպատակները.

Կրթական նպատակներ.կրկնել և համախմբել անորոշ և որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու հմտությունները, դիտարկել որոշակի ինտեգրալների հաշվարկման մեթոդներ, համախմբել որոշակի ինտեգրալը գտնելու հմտությունները.

Կրթական նպատակներՆպաստել հաղորդակցության, ուշադրության, առարկայի նկատմամբ հետաքրքրության մշակույթի ձևավորմանը, նպաստել ուսանողի ըմբռնմանը իր ապագա մասնագիտության էության և սոցիալական նշանակության և դրա նկատմամբ կայուն հետաքրքրության դրսևորմանը:

Զարգացման նպատակներ.

աջակցել

համեմատության, ընդհանրացման և հիմնականը ընդգծելու տեխնիկայի օգտագործման ունակության զարգացում.

մաթեմատիկական հորիզոնների, մտածողության և խոսքի, ուշադրության և հիշողության զարգացում:

Գործունեության տեսակըՀամակցված դաս

Դասի տևողությունը 90 րոպե

Միջառարկայական կապեր.ֆիզիկա, երկրաչափություն և բոլոր առարկաները, որտեղ կիրառվում է մաթեմատիկա

Գրականություն:

Գիլյարովա Մ.Գ. Մաթեմատիկա բժշկական քոլեջների համար. – Ռոստով n/d: Phoenix, 2011. – 410, p. - (Դեղ)

Մաթեմատիկա՝ դասագիրք. նպաստ / V.S. Միխեև [և ուրիշներ]; խմբագրել է Ն.Մ. Դեմինա. – Ռոստով n/d: Phoenix, 2009. – 896 p. – (Միջին մասնագիտական ​​կրթություն).

Դասի սարքավորումներ.

Ձեռնարկ

Դասի առաջընթացը

Հավելված 1

Տեղեկատվական գիտելիքների թարմացում

Մաթեմատիկական թելադրություն

1 տարբերակ

Ի.

II.

Տարբերակ 2

Ի.Հաշվիր անորոշ ինտեգրալները

II. Անվանեք ինտեգրալների հաշվարկման եղանակը

Հավելված 2

Տեղեկատվություն և տեղեկատու նյութ

Որոշակի ինտեգրալ

Ինտեգրալի հասկացությունը կապված է ֆունկցիայի տարբերակման հակադարձ խնդրի հետ։ Հարմար է դիտարկել որոշակի ինտեգրալի հայեցակարգը կորագիծ trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու խնդիրը լուծելու համար:

Երկու կողմից սահմանափակված գործչի տարածքը գտնելու համար, որոնք վերականգնված են կետերում վերականգնված ուղղահայացներով ԱԵվ բ, շարունակական կորի գագաթին y =զ(X)իսկ առանցքից ներքեւ Օ՜, եկեք բաժանենք հատվածը [Ա,բ] փոքր հատվածների համար.

ա = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = բ.

Վերականգնենք ուղղահայացներն այս կետերից մինչև կորի հատման կետը y =զ(X). Այնուհետև ամբողջ գործչի մակերեսը մոտավորապես հավասար կլինի տարրական ուղղանկյունների գումարին, որոնց հիմքը հավասար է.  X ես = x ես -X ես -1 , իսկ բարձրությունը հավասար է ֆունկցիայի արժեքին զ(X)յուրաքանչյուր ուղղանկյունի ներսում: Որքան փոքր է արժեքը  X ես, այնքան ավելի ճշգրիտ կորոշվի գործչի մակերեսը Ս . Հետևաբար.

Սահմանում.Եթե ​​ինտեգրալ գումարի սահմանափակում կա, որը կախված չէ հատվածի ձևից [a,բ] և ընտրելով կետերը, ապա այս սահմանը կոչվում է ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալզ(X) հատվածի վրա [a,բ] և նշել.

Որտեղզ(x) ինտեգրման ֆունկցիան է, x-ը ինտեգրման փոփոխականն է, ևբ- ինտեգրման սահմանները (կարդացեք՝ որոշակի ինտեգրալադo բef x de x-ից):

Այսպիսով, երկրաչափական իմաստորոշակի ինտեգրալը կապված է ֆունկցիայով վերևից սահմանափակված կորագիծ տրապիզոնի տարածքի որոշման հետ. y =զ(X), ներքևի առանցք Օ՜, իսկ կողքերում՝ կետերում վերականգնված ուղղահայացները ԱԵվ բ.

Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկման գործընթացը կոչվում է ինտեգրում։Թվեր ա ևբ կոչված են համապատասխանաբար ինտեգրման ստորին և վերին սահմանները:

Որոշակի ինտեգրալի հատկությունները

Եթե ​​ինտեգրման սահմանները հավասար են, ապա որոշակի ինտեգրալը հավասար է զրոյի.



Եթե ​​վերադասավորեք ինտեգրման սահմանները, ապա ինտեգրալի նշանը կփոխվի հակառակը.



Որոշակի ինտեգրալի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.



Վերջավոր թվով շարունակական ֆունկցիաների գումարի որոշակի ինտեգրալզ 1 (x), զ 2 (x)... զ n (x), տրված միջակայքում [a,բ], հավասար է ֆունկցիաների գումարելիների որոշակի ինտեգրալների գումարին.

Ինտեգրման հատվածը կարելի է բաժանել մասերի.



Եթե ​​ֆունկցիան միշտ դրական է կամ միշտ բացասական [a,բ], ապա որոշակի ինտեգրալը նույն նշանի մի թիվ է, ինչ ֆունկցիան.

Նյուտոն-Լայբնից բանաձև

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը կապ է հաստատում որոշյալ և անորոշ ինտեգրալների միջև։

Թեորեմ.Ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալի արժեքըզ(X) հատվածի վրա [a,բ] հավասար է տվյալ հատվածում այս ֆունկցիայի հակաածանցյալներից որևէ մեկի աճին.

Այս թեորեմից հետևում է, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է, իսկ անորոշ ինտեգրալը հակաածանցյալ ֆունկցիաների բազմություն է։ Այսպիսով, ըստ բանաձևի, որոշակի ինտեգրալ գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտե՛ք այս ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը՝ դնելով C = 0.

2. Փոխարինեք հակաածանցյալը փաստարկի փոխարեն արտահայտության մեջ Xվերին սահմանը նախ բ, ապա ստորին սահմանը Ա,իսկ երկրորդը հանել առաջին արդյունքից։

Որոշակի ինտեգրալների հաշվարկ տարբեր մեթոդներով

Որոշակի ինտեգրալներ հաշվարկելիս օգտագործեք անորոշ ինտեգրալներ գտնելու քննարկված մեթոդները:

Ուղղակի ինտեգրման մեթոդ

Այս մեթոդը հիմնված է աղյուսակային ինտեգրալների և որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունների օգտագործման վրա։

ՕՐԻՆՆԵՐ.

1) Գտեք

Լուծում:

2) Գտեք

Լուծում:

3) Գտեք

Լուծում:

Ինտեգրման փոփոխական փոխարինման մեթոդ

ՕՐԻՆԱԿ:

Լուծում.Ինտեգրալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք փոփոխականի փոփոխության մեթոդը։ Ներկայացրե՛ք նոր փոփոխական

u=3 x ‑ 1 , Հետո դու = 3 dx, dx = . Նոր փոփոխական ներմուծելիս անհրաժեշտ է փոխարինել ինտեգրման սահմանները, քանի որ նոր փոփոխականը կունենա փոփոխության տարբեր սահմաններ։ Դրանք հայտնաբերվում են փոփոխական փոխարինման բանաձևի միջոցով: Այսպիսով, վերին սահմանը հավասար կլինի Եվ բ = 32 ‑ 1 = 5 , ավելի ցածր - Եվ Ա =31 ‑ 1 = 2 . Փոխարինելով ինտեգրման փոփոխականը և սահմանները՝ մենք ստանում ենք.

Մասերի ինտեգրման եղանակը

Այս մեթոդը հիմնված է որոշակի ինտեգրալի համար մասերով ինտեգրման բանաձևի օգտագործման վրա.

ՕՐԻՆԱԿ:

1) Գտեք

Լուծում:

Թող u = ln x, dv = xdx, Հետո

Որոշակի ինտեգրալի կիրառում տարբեր մեծությունների հաշվարկում:

Հարթ գործչի մակերեսի հաշվարկ

Նախկինում ցույց էր տրվել, որ որոշակի ինտեգրալը կարող է օգտագործվել ֆունկցիայի գրաֆիկի միջև պարփակված գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար։ y =զ(x), առանցք Օ՜և երկու ուղիղ գիծ X = a և x =բ.

Եթե ​​ֆունկցիան y =զ(x) գտնվում է abscissa գծից ցածր, այսինքն. զ(x)

Եթե ​​ֆունկցիան y =զ(x) մի քանի անգամ հատում է առանցքը Օ՜, ապա անհրաժեշտ է առանձին գտնել հողամասերի համար նախատեսված տարածքները, երբ զ(x) 0 և ավելացրեք դրանք այն տարածքների բացարձակ արժեքներին, երբ գործառույթը զ(x)

ՕՐԻՆԱԿ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայով սահմանափակված գործչի մակերեսը y = մեղքXև առանցք Օ՜Տեղադրությունը միացված է 0  X 2.

Լուծում.Նկարի մակերեսը հավասար կլինի տարածքների գումարին.

Ս = Ս 1 + | Ս 2 |,

որտեղ S 1 - ; տարածքը ժամը ժամը0 ; Ս 2 - տարածքը ժամը 0-ին:

S=2 + 2 = 4 քառ.

ՕՐԻՆԱԿ 2.Գտեք կորի միջև ընկած գործչի տարածքը y = x 2 , առանցք Օ՜և ուղիղ x = 0, x = 2:

Լուծում.Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկներ ժամը= x 2 Եվ x = 2.

Ստվերավորված տարածքը կլինի նկարի ցանկալի տարածքը: Որովհետեւ զ(x) 0, ապա

Հարթ կորի աղեղի երկարության հաշվարկ

Եթե ​​կորը y =զ(X)հատվածի վրա [Ա,բ] ունի շարունակական ածանցյալ, ապա այս կորի աղեղի երկարությունը հայտնաբերվում է բանաձևով.

ՕՐԻՆԱԿ

Գտեք կորի աղեղի երկարությունը y 2 = x 3 հատվածի վրա (y0)

Լուծում

Կորի հավասարումը y = x 3/2 է, ապա y’ = 1,5 x 1/2:

Փոխարինումը կատարելով 1+ մենք ստանում ենք.

Եկեք վերադառնանք սկզբնական փոփոխականին.

Հաշվարկ հեղափոխության մարմնի ծավալը

Եթե ​​կոր trapezoid սահմանափակված է կորի y =զ(x) և ուղիղ x=aԵվ x=բ, պտտվում է առանցքի շուրջ Օ՜, ապա պտտման ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով.

ՕՐԻՆԱԿ

Գտե՛ք առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած մարմնի ծավալը Օ՜կիսաալիքային սինուսոիդ
y= մեղք x, ժամը 0≤ x≤.

Լուծում

Բանաձևի համաձայն մենք ունենք.

Այս ինտեգրալը հաշվարկելու համար մենք կկատարենք հետևյալ փոխակերպումները.

Հավելված 3

Ուսումնասիրված նյութի առաջնային համախմբում

1. Որոշակի ինտեգրալների հաշվարկ

2. Որոշակի ինտեգրալի կիրառություններ

Նկարի տարածքը

Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը.

Մարմնի (կետի) անցած ուղին ուղղագիծ շարժման ընթացքում որոշակի ժամանակահատվածում սկսածտ 1 նախքանտ 2 (

v =3 տ 2 +2 տ -1 (տգ-ում,vմ/վ):Գտե՛ք մարմնի անցած տարածությունը շարժման սկզբից 10 վրկ-ում:

Մի կետի արագությունը տատանվում է ըստ օրենքի v =6 տ 2 +4 (տգ-ում,vմ/վ):Գտե՛ք շարժման սկզբից 5 վրկ-ով անցած կետը:

Կետային շարժման արագություն v =12 տ -3 տ 2 (տգ-ում,vմ/վ):Գտեք կետի անցած ուղին իր շարժման սկզբից մինչև կանգառը:

Երկու մարմին սկսեցին միաժամանակ շարժվել մեկ կետից մեկ ուղղությամբ ուղիղ գծով։ Առաջին մարմինը շարժվում է արագությամբ v =6 տ 2 +2 տ(մ/վ),երկրորդ
v =4 տ+5 (մ/վ):Ի՞նչ հեռավորության վրա կլինեն նրանք միմյանցից 5 վրկ հետո:

Հավելված 4

Թեմայի վերաբերյալ ինքնուրույն մոնիտորինգ

«Հստակ ինտեգրալ և դրա կիրառումը».