Allmän lektion i ämnet:

"Integral och dess tillämpning".

Motto: "Precis som all konst tenderar till musik, tenderar alla vetenskaper till matematik."

George Santayana.

Lektionens mål:

Allmän utbildning: konsolidera, upprepa och generalisera kunskapen som erhållits genom att studera ämnet: "Integral och dess tillämpning", konsolidera praktiska färdigheter i att beräkna en viss integral, överväga den praktiska tillämpningen av detta ämne i fysik, geometri och i yrket "Ekonomi och redovisning", förbereda sig för praktiskt arbete.

Pedagogisk: utveckla förmågan att realisera möjligheter och potential i kreativa aktiviteter; utveckla kreativa beslutsfattande färdigheter.

Pedagogisk: odla intresse för ämnet, en ansvarsfull inställning till affärer och en beredskap för ömsesidig hjälp.

Lektionsformat: lektion - problemkonferens.

Lektionstyp: "Repetitivt – generalisera."

Lektionsutrustning: multimediaprojektor, datorer, datorprogram "Beräkning av en bestämd integral", miniräknare, affisch "Table of Antiderivatives", "Learn to Learn"-mappar, tester, kort med praktiska uppgifter.

Tvärvetenskapliga kopplingar:

Fysik : "Beräkna det arbete som utförs av en kropp," "Beräknar vägen som en kropp färdats."

Geometri: "Beräkning av volymer och områden av revolutionskroppar."

Yrkesanknytning: uppgifter med ekonomiskt innehåll.

Lektionsplanering.

Org. ögonblick – 2 min.

Genomförande av konferensen – 40 min.

a) Tal av historiker;

b) Tal av matematiker;

c) Tal av fysiker;

d) Tal av revisorer;

e) Tal av programmerare.

Sammanfattningsvis – 2 min.

Läxor – 1 min.

Under lektionerna.

Lärarens inledande kommentarer:

Idag har vi en allmän lektion om ämnet: "Integralen och dess tillämpning."

Epigrafen till denna lektion kan vara den amerikanske filosofen George Santayanas ord: "Precis som all konst tenderar till musik, tenderar alla vetenskaper till matematik."

Och idag i klassen kommer vi återigen att se sanningen i detta uttalande.

Syftet med vår lektion är inte bara att sammanfatta kunskapen som erhållits genom att studera detta ämne, att konsolidera praktiska färdigheter i att beräkna en viss integral, utan också att utöka idéer om den praktiska tillämpningen av integralen, för att visa betydelsen av detta ämne i andra vetenskapsområden och i ditt yrke. Och som det slutliga resultatet av att studera ämnet - praktiskt arbete.

Detta ämne är väldigt brett, men vi har redan diskuterat de flesta frågorna i tidigare lektioner. Vi genomför lektionen i form av en "problemkonferens".

Specialister involverade i utvecklingen av relaterade ämnen bjuds vanligtvis in till konferenser.

Flera specialister deltar i vår konferens:

* historiker;

* matematik;

* ekonomer;

*programmerare.

Det är elever i din grupp som har fått läxor – att samla in, systematisera material om en specifik fråga, och kanske hitta ytterligare material som vi inte har studerat.

Vår lektion inkluderar också en 3:e årsstudent med huvudämne i datorprogramvara och automatiserade system, Anna Belyaeva. Hon hjälper inte bara till att visa oss bilderna på skärmen, utan har också deltagit aktivt i vår konferens som programmerare.

Under vår konferens kan alla närvarande ställa frågor till talarna och ta aktiv del i dess arbete.

Och så, låt oss börja konferensen:

Historikern har ordet för att berätta om framväxten av integralkalkyl. (se bilaga 1)

Lärarens fråga: I ditt tal fanns det två sätt att definiera en bestämd integral. Vilket tillvägagångssätt använde vi för att introducera begreppet en bestämd integral i lektionerna?

Är det så här vi kommer att förstå det efter att ha lyssnat på matematikerns tal? (se bilaga 2)

Lärarens ord:

Efter att ha lyssnat på detta meddelande har var och en av er fräschat upp minnet av det teoretiska material som vi kommer att behöva för att framgångsrikt slutföra den praktiska delen av vår konferens.

Du har uppgifter på dina skrivbord som du ska utföra under vår konferens. Du kan göra dem med en grupp eller på egen hand.

Exempel 1.

Beräkna integral

A)∫ (6x 2 +4x-5)dx=(6 x 3 /3+4 x 2 /2-5x) =(2·3 3 +2·3 2 -5·3)-(2·1 3 +2·1 2 -5·1)=

=(54+18-15)-(2+2-5)=57+1=58

b)∫ (cos3x+synd½x)dx=(-⅓synd3x+2cos½x) =

π/2 π/2

=(-⅓ synd3π+2cos½π)-(-⅓ synd3π/2+2cos½π/2)=(-⅓·0+2·0)-(-⅓·(-1)+2·√2/2)

=0-(⅓+√2)=-⅓-√2.

Exempel 2.

Hitta arean av figuren som avgränsas av linjerna:

a)y=-(x+2) 2 +3, y=0.

Lösning:

Funktionsdiagram y=-x 2 +9 är en parabel vars grenar är riktade nedåt, koordinaterna för parabelns spets är (0;9).

Funktionsdiagram y=0är axeln Åh.

Låt oss bygga grafer över dessa funktioner i ett koordinatsystem.

3 0 3 x

Låt oss hitta koordinaterna för skärningspunkterna för funktionsgraferna för att göra detta, lös ekvationen:

-X 2 +9=0

-X 2 =-9

Genom att tillämpa Newton-Leibniz formel får vi:

S= ∫(- X 2 +9) dx=(-x 3 /3+9x)=(-(3) 3 /3+9·3)-(-(-3) 3 /3+9·(-3)=

-3 -3

= 18-(-18)=36 (kvadratenheter)

Svar:S=36 kvm enheter

Lärarens ord:

Jag hoppas att du kommer ihåg hur den bestämda integralen beräknas. Nu föreslår jag att testa dig själv och svara på testfrågorna.

Efter att ha avslutat arbetet kontrollerar eleverna att testet är korrekt med hjälp av de föreslagna bedömningskriterierna. (se bilaga 3)

Lärarens ord:

Den bestämda integralen används i stor utsträckning inte bara i matematik, utan också inom fysik, geometri och kemi. En fysiker kommer att berätta om detta. (se bilaga 4)

Lärarens ord:

Vi återkommer igen till den praktiska delen av vår konferens, jag inbjuder dig att lösa problem med fysiskt innehåll.

Uppgift 1.

Den elastiska kraften hos en sträckt fjäder 5 cm, lika med 3 N. Hur mycket arbete måste göras för att sträcka fjädern med 5 cm?

Enligt Hookes lag beräknas kraften F, som sträcker fjädern med ett belopp x, med formeln F=kx, där k är en konstant proportionalitetskoefficient. I fig. a) motsvarar punkt 0 fjäderns fria läge. Av villkoren för problemet följer att 3=k·0,05. Därför, k=60 och kraft F=60x, och med formeln finner vi:

0,05 0,05

A=∫ 60-taldx=30x 2 =30·0,05 2 -30·0 2 =0,075 J.

0 0

Svar: A=0,075 J.

Uppgift 2.

Hitta vägen som färdats av en materialpunkt på 10 s från början av rörelsen med hastighetv=0,1 t 3 Fröken.

Lösning: t 2

Därför att t 1 = 0 och t 2 = 10, ersätt sedan formeln S = ∫ v ( t ) dt , vi får

t1

S=∫0,1t 3 dt=0,1t 4 /4 =250m.

Svar: S=250m.

Lärarens ord:

Vi har övertygat dig om att integralen har bred tillämpning inom fysik. Är det möjligt att lösa problem med ekonomiskt innehåll med hjälp av en bestämd integral? En ekonomispecialist kommer att svara på denna fråga. (se bilaga 5)

Lärarens ord:

Och så, med hjälp av integralen kan du lösa ekonomiska problem.

Uppgift.

Arbetsproduktiviteten för en arbetare under dagen ges av funktionenf(t)=-0,00625 t 2 +0,05 t+0,5 (den. enheter/timme), därt– tid i timmar från arbetets början, 0≤t≤8. Hitta funktionF(t), som uttrycker produktionsvolymen (i värde) och dess värde per arbetsdag.

Genom att tillämpa formeln får vi:

F= ∫ (-0,00625 t 2 +0,05 t+0,5) dt=-0,00625 t 3 /3+0,05 t 2 /2+0,5 t=

=(-0,00625·8 3 /3+0,05 8 2 /2+0,5 8)-(-0,00625 0 3 /3+0,05 0 2 /2+0,5 0)=

=-3,2/3+1,6+4≈4,53(den.enheter)

Svar: F ≈4,53 den enheter

Lärarens ord:

Vi har sett sanningen i George Santayans uttalande. Faktum är att många vetenskaper och yrken strävar efter matematik. Men ibland måste vi fortfarande utföra ganska komplicerade beräkningar. Är det möjligt att lösa detta problem?

Kanske ja. I datorteknikens tidsålder kan detta problem framgångsrikt lösas. Ett ord från programmeraren - Anna Belyaeva.

Programmerarens tal:

Jag sammanställde ett datorprogram: "Beräkning av en bestämd integral." Detta program låter dig beräkna värdet på integralen på några sekunder och sparar oss tid.

(demonstration av programmet, se bilaga 6)

Lärarens ord:

Den första undergruppen tar plats vid datorerna och den andra förblir på plats. Löser vi samma problem, kommer vi att vara övertygade om fördelen med datorprogrammet.

(elever löser problemet med ett datorprogram)

Låt oss sammanfatta lektionen - vi sammanfattade kunskapen som erhållits genom att studera detta ämne, konsoliderade praktiska färdigheter i att beräkna en bestämd integral, utökade vår förståelse för den praktiska tillämpningen av integralen och visade betydelsen av detta ämne inom andra vetenskapsområden och i din yrke. Vi såg fördelarna med att använda datorteknik för att lösa matematiska problem och, hoppas jag, förberedde oss för praktiskt arbete.

Problem som förblir olösta måste lösas hemma.

Betygsättning.

Bilaga 1.

Tal av en historiker:

Jag försökte samla in historisk information om uppkomsten av integralkalkyl. För att göra detta vände jag mig till att studera livet och arbetet för sådana forskare som Newton, Leibniz, Euler, Bernoulli, Chebyshev. Var och en av dem spelade en viss roll i utvecklingen av integralkalkyl.

Ursprunget till integralkalkyl går tillbaka till den antika perioden av matematikens utveckling och härstammar från den utmattningsmetod som utvecklats av matematikerna i det antika Grekland, Euklides och Arkimedes.

De grundläggande begreppen och teorin om integral- och differentialkalkyl bygger på idéer som formulerades i början av 1600-talet av den store matematikern och astronomen Johannes Kepler.

I november 1613 köpte den kungliga matematikern och astrologen vid det österrikiska hovet I. Kepler, som förberedde sitt bröllop, flera fat med druvvin. När Kepler köpte blev Kepler förvånad över att säljaren bestämde trummans kapacitet genom att utföra en enda åtgärd - att mäta avståndet från påfyllningshålet till den punkt på botten som är längst bort från den. När allt kommer omkring tog en sådan mätning inte alls hänsyn till formen på tunnan! Kepler såg omedelbart att han stod inför ett intressant matematiskt problem - att beräkna kapaciteten på en tunna med hjälp av flera dimensioner. När han reflekterade över detta problem hittade han formler inte bara för volymen av fat, utan också för volymen av en mängd olika kroppar: citron, äpple, kvitten och till och med en turkisk turban. För var och en av kropparna var Kepler tvungen att skapa nya, ofta mycket geniala metoder, vilket var extremt obekvämt. Ett försök att hitta allmänna, och viktigast av allt, enkla metoder för att lösa sådana problem ledde till uppkomsten av modern integralkalkyl. Men detta var en helt annan matematikers förtjänst.

1665-1667 började Newton arbeta med att skapa en matematisk apparat med vilken fysikens lagar kunde utforskas och uttryckas. Newton var den förste som konstruerade differential- och integralkalkyl (han kallade det fluxionsmetoden). Detta gjorde det omedelbart möjligt att lösa en mängd olika matematiska och fysiska problem. Före Newton definierades många funktioner endast geometriskt, så det var omöjligt att tillämpa algebra och den nya flödeskalkylen på dem. Newton hittade en ny generell metod för analytisk representation av en funktion - han introducerade den i matematiken och började systematiskt tillämpa oändliga serier.

Ett exempel på en sådan serie är den geometriska progressionen som vi känner till.

Samtidigt som Newton kom en annan framstående vetenskapsman, Gottfried Wilhelm Leibniz, på liknande idéer.

Det fanns dock en allvarlig motsägelse i Newton-Leibniz synsätt.

Låt oss förklara detta med ett exempel.

Newton och Leibniz utvecklade två tolkningar av begreppet en vanlig bestämd integral.

Newton tolkade den bestämda integralen som skillnaden mellan motsvarande värden för antiderivatfunktionen:

Var F ` (x)=f(x).

För Leibniz var den bestämda integralen summan av alla infinitesimala differentialer.

Tolkningen av den vanliga bestämda integralen enligt Leibniz byggde på begreppet infinitesimals, från vilket matematiker på 1700-talet ville frigöra matematisk analys. Detta tjänade också till att stärka Newtons synvinkel.

Teorin om differentialkalkyl utvecklades vidare i Leonhard Eulers verk.

Eulers verk "Introduction to the Analysis of Infinitesimals", "Foundations of Differential Calculus" och "Foundations of Integral Calculus" var de första avhandlingarna där det redan omfattande men spridda materialet i den nya analysen kombinerades till en sammanhängande vetenskap. De utvecklade skelettet av modern analys, som har överlevt till denna dag.

Jag skulle vilja nämna ytterligare ett namn: Johann Bernoulli.

Johann Bernoullis roll, som en av skaparna, spridarna och utan tvekan experter på den då begynnande matematiska analysen, återspeglas av modern terminologi: namnet "integralräkning" (från latinets heltal - helhet), introducerades av Johann Bernoulli. Som bekant föredrog Leibniz att kalla integralen för en "summa". Detta gav sedan upphov till integraltecknet ∫, som är en långsträckt bokstav S - den första bokstaven i det latinska ordet summa.

Bilaga 2.

Tal av matematiker:

Som vi redan hörde från det föregående talet var inställningen till begreppet en bestämd integral annorlunda. En av huvuduppgifterna för integralkalkyl är att hitta antiderivatan.

FungeraFkallas antiderivatan av funktionenfpå ett givet intervall, om för alla x från detta intervall

F ´(x)= f (X).

Integrationens uppgift är att hitta alla dess antiderivator för en given funktion.

Alla antiderivator av en funktion f kan skrivas med en formel, som kallas den allmänna formen av antiderivat för en funktion f. Följande sats är sann (den huvudsakliga egenskapen hos antiderivat)

Vilken antiderivat som helst av en funktionfmellanjagkan skrivas som

F (x)+C,

VarF(x) – ett av antiderivaten för funktionenf(x) på intervalletjagoch C är en godtycklig konstant.

För att hitta antiderivat använde vi tabellen:

Det finns också tre regler för att hitta antiderivat:

Regel 1 . OmF f, AG– antiderivat förg, Den därF+ Gdet finns ett antiderivat förf+ g.

Regel 2 . OmFdet finns en antiderivata för funktionenf, Akär en konstant, sedan funktionenK F– antiderivat förK F.

Regel 3 . OmF(x) - det finns en antiderivata för funktionenf(x), akOchb- konstant, ochk≠0, sedan 1/k· F(kx+b) det finns ett antiderivat förf(kx+b).

Uttryck F(x)+C kallas den obestämda integralen

∫ f (X) d x= F (x)+C

Konceptet med en bestämd integral är förknippat med problemet med att beräkna arean av en kurvlinjär trapets.

En figur som begränsas av grafen för en funktionf(x), kontinuerligt och inte föränderligt tecken på segmentet [a;b], segment [a;b] och raka linjer x=a och x=bkalladböjd trapets .

a) kl b) på

0 abx 0 abX

CD)

a 0 b x

a 0 bX

För att beräkna arean av kurvlinjära trapezoider används följande sats:

Sats: Omf– kontinuerlig och icke-negativ på segmentet [a;b]funktion ochFär ett antiderivat på detta segment, sedan områdetSav motsvarande kurvlinjära trapets är lika med ökningen av antiderivatet på segmentet [a;b], dvs.S = F ( b )- F (A).

För varje kontinuerlig funktion f på intervallet [a;b] (inte nödvändigtvis icke-negativ), tenderar S till ett visst tal. Detta tal kallas integralen av funktionen f från a till b och betecknas:

b

∫ f (X) d X

A

a, b– gränser för integration (a – undre gräns,b- övre gräns);

f– integrand funktion;

x – integrationsvariabel;

∫ - integralens tecken.

b

∫ f (X) d x= F ( b )- F a) – Newton-Leibniz formel .

A

För enkel inspelning, skillnaden F ( b )- F (A) brukar förkortas som

b

F (x)|

A

Med denna notation skrivs Newton-Leibniz formel vanligtvis som:

b b

∫f (X) d x= F (x)|

A A

Baserat på ovanstående beräknas arean av en krökt trapets med hjälp av en bestämd integral, och för att beräkna en bestämd integral måste du kunna beräkna antiderivatan.

Bilaga 3.

Testa.

Alternativ 1.

En funktion F kallas antiderivata för en funktion f på ett givet intervall om för alla x från detta intervall gäller följande likhet: _________________________________________________.

Skriv ner Newton-Leibniz formel.

4.

a) S=∫(x 2-5)dx; b) S=∫(x2+11)dx; c) S=∫(5-х 2)dх.

5. Hitta sanna jämlikheter.

Testa.

Alternativ 2.

Skriv ner huvudegenskapen hos antiderivatet.

Skriv ner formeln för att beräkna arean av en krökt trapets.

Använd en integral, skriv ner arean av figuren som visas i figuren:

4. Vilken formel används för att beräkna arean av en given figur?

a) S=∫(-х 2 -5)dх; b) S=∫(-х 2 +3)dх; c) S=∫(5-х 2)dх.

5. Hitta sanna jämlikheter.

a) ∫х 3 dх=3х

Svar på testfrågor.

Alternativ 1.

∫f(x)dx=F(b)-F(a).

3. S=∫(-x 2 +4x)dx.

4. c) S=∫(5-х 2)dх.

Alternativ 2.

3. S=∫(3х+3)dх.

4. b) S=∫(-х 2 +3)dх.

5. b) ∫хdх=2.

Kriterium för utvärdering av testprestanda:

för 5 korrekt utförda uppgifter – poäng "5"

för 4 korrekt utförda uppgifter – poäng "4"

för 3 korrekt utförda uppgifter – poäng "3"

för 1-2 korrekt utförda uppgifter - inget betyg ges, du behöver ytterligare råd.

Bilaga 4.

Tal av en fysiker.

Den bestämda integralen används ofta för att lösa fysiska problem. Till exempel, för att beräkna en krafts arbete, den väg som färdats av en materialpunkt.

1. Arbete med variabel kraft.

Arbetet A som utförs av en variabel kraftf (x) när en materialpunkt flyttas längs Ox-axeln från x=a till x=b hittas av formeln:

b

A= ∫ f (X) d X

A

För att hitta kraften som verkar på en kropp används Hookes lag: F=kx, där k är proportionalitetskoefficienten.

2. Beräkning av vägen som färdats av en materialpunkt.

Om en punkt rör sig längs en viss linje och dess hastighet v=f(t) är en given funktion av tiden t, så beräknas den väg som punkten färdas under en tidsperiod med formeln:

t 2

S = ∫ v ( t ) dt

t 1

Den bestämda integralen används också när:

beräkning av volymerna av rotationskroppar i geometri;

hitta masscentrum i fysiken;

Bilaga 5.

Tal av en ekonom:

I lektionerna "Introduktion till specialiteten" blev vi bekanta med sådana ekonomiska begrepp som arbetsproduktivitet och produktionsvolym. Dessa begrepp avslöjar integralens ekonomiska innebörd.

Omf(t) – arbetsproduktivitet för tillfällett, Den där

T

F = ∫ f ( t ) dt

0

är volymen av produktion under perioden.

Bilaga 7.

Praktiska uppgifter.

Beräkna integralen.

2. Hitta arean av figuren som avgränsas av linjerna.

a) y=x2+4; y=5;

b) 0,5x+2; y=-x+5.

3. Uppgifter med fysiskt innehåll.

Uppgift 1.

Punktrörelsehastighet v=12 t-3 t 2 Fröken. Hitta den väg som punkten färdats från början av dess rörelse till dess stopp.

Uppgift 2.

Beräkna det arbete som utförs av kraften F när du trycker ihop en fjäder med 4 cm, om en kraft på 10 N behövs för att trycka ihop den med 1 cm.

Uppgift 3.

Punkten rör sig i en rak linje med hastighet v(t)=6 t 2 -4 t-1. Hitta rörelselagen för en punkt om vid tidpunkten t=1s punktens koordinat var lika med 4 m.

Problem med ekonomiskt innehåll.

Uppgift 1.

En arbetares arbetsproduktivitet under dagen ges av formeln f(t)=0,00625 t 4 +0,05 t+0,5 håla. enheter/timme, där t är tiden i timmar från arbetets början, d.v.s. 0≤t≤8. Hitta funktionen Q(t) – produktionsvolymen och dess värde per arbetsdag.

Uppgift 2.

I ett lager är lagret av en viss produkt 100 enheter, och den dagliga inkommande produkten uttrycks med formeln f(t)=22-0,5 t+0,06 t 2 , där t är antalet dagar. Bestäm mängden varor efter 40 dagar.

Problem att lösa på en dator.

Uppgift 1.

Arbetsproduktiviteten för arbetare i ett tekniskt skifte när de producerar bromsok bestäms av formeln f(t)=2,53 t 2 , där t är arbetstid i timmar. Beräkna volymen av produkter som produceras under 6 timmars arbetstid.

Uppgift 2.

Befolkningstillväxten i Voronezh-regionen beskrivs av funktionen f(t)=35825 t 2 , där t är tid i år. Bestäm befolkningsökningen om 15 år.

Och integralkalkyl för att lösa fysiska problem” syftar till att studera en fysikkurs baserad på matematisk analys.

Denna kurs fördjupar materialet i algebra- och analyskurserna i årskurserna tionde och elfte och avslöjar möjligheter till praktisk konsolidering av material om ämnen som ingår i skolfysikkursen. Dessa är ämnena "Mekanik", "Elektrostatik", "Termodynamik" i fysik, och några ämnen i algebra och början av analys. Som ett resultat implementerar denna valbara kurs den tvärvetenskapliga kopplingen av algebra och matematisk analys med fysik.

Valbara kursens mål.

1. Utbildning: genomför praktisk förstärkning i ämnena "Mekanik", "Elektrostatik", "Termodynamik", illustrera implementeringen av den tvärvetenskapliga kopplingen mellan matematisk analys och fysik.

2. Pedagogiskt: skapa förutsättningar för framgångsrikt professionellt självbestämmande av elever genom att lösa svåra problem, vårda en världsbild och ett antal personliga egenskaper, genom fördjupade studier av fysik.

3. Utvecklingsmässigt: vidga elevernas vyer, utveckla matematiskt tänkande, bilda ett aktivt kognitivt intresse för ämnet, utveckla elevernas yrkesintressen, utveckla självständighet och forskningsförmåga, utveckla elevernas reflektion (medvetenhet om deras böjelser och förmågor som är nödvändiga för framtida yrkesverksamma aktiviteter).

Exempel på att lösa problem i fysik med hjälp av matematiska verktyg.

Differentiell tillämpning kalkyl för att lösa några problem inom mekanik.

1. Jobb. Låt oss hitta det arbete som utförs av en given kraft F när du rör dig längs ett axelsegment X. Om styrka F är konstant, sedan arbeta A lika med produkten F för banans längd. Om kraften ändras kan den betraktas som en funktion av X:F = F(x). Arbetsökning A på segmentet [X,x+ dx] kan inte beräknas exakt som en produkt F(x) dx, eftersom kraften ändras i detta segment. Dock med små dx vi kan anta att kraften ändras något och produkten representerar huvuddelen, dvs det är skillnaden i arbetet ( dA = = F(x) dx). Sålunda kan våld betraktas som derivatet av arbete med förskjutning.

2. Avgift. Låta q - laddning som överförs av elektrisk ström genom en ledares tvärsnitt under tiden t. Om strömstyrkan / är konstant, då i tid dt strömmen kommer att ha en laddning lika med Idt. När strömstyrkan ändras med tiden enligt lagen / = /(/), produkten jag(t) dt ger huvuddelen av laddningsökningen på kort tid [ t, t+- dt], dvs - är laddningsskillnaden: dq = jag(t) dt. Därför är strömmen tidsderivatan av laddningen.

3. Massan av en tunn stav. Låt det finnas en ojämn tunn stav. Om du anger koordinaterna som visas i fig. 130, sedan funktionen t= t(1)- massan av ett stångstycke från en punkt HANDLA OM att peka /. Stavens heterogenitet gör att dess linjära täthet inte är konstant, utan beror på punktens position / enligt någon lag p = p(/). Om vi ​​på ett litet segment av staven antar att densiteten är konstant och lika med p(/), så ger produkten p(/)d/ massdifferentialen dm. Detta betyder att linjär densitet är derivatan av massa med avseende på längd.

4. Värme. Låt oss överväga processen att värma ett ämne och beräkna mängden värme F{ T), vilket är nödvändigt för att värma 1 kg av ett ämne från 0 °C till T. Missbruk F= F(T) mycket komplex och experimentellt bestämd. Om värmekapaciteten Med av detta ämne inte berodde på temperaturen, då produkten CDT skulle ge en förändring i mängden värme. Räknar med ett litet segment [ T, T+ dT] värmekapaciteten är konstant, får vi den differentiella mängden värme dQ = c(T) dT. Därför är värmekapacitet derivatet av värme med avseende på temperatur.

5. Tillbaka till arbetet. Se arbetet som en funktion av tiden. Vi känner till egenskapen hos arbete som bestämmer dess hastighet över tid - det här är kraft. Vid drift med konstant effekt N arbeta för tid dt lika med Ndt. Detta uttryck representerar arbetsdifferentialen, dvs. dA = N(t) dt, och makt fungerar som ett derivat av arbete med hänsyn till tid.

Alla de angivna exemplen var konstruerade enligt samma principer som vi känner till från fysikkursen: arbete, förskjutning, kraft; laddning, tid, ström; massa, längd, linjär densitet; etc. Varje gång fungerade en av dessa storheter som en proportionalitetskoefficient mellan skillnaderna mellan de andra två, d.v.s. varje gång en relation av formen dy = k(x) dx. Detta förhållande kan ses som ett sätt att bestämma värdet k(x). Sedan k(x) hittas (eller definieras) som derivatan på Förbi X. Vi antecknade denna slutsats i varje exempel. Den omvända formuleringen av frågan är också möjlig: hur man hittar beroendet på från X från ett givet förhållande mellan deras skillnader.

Tillämpningar av en bestämd integral till lösningen av vissa problem inom mekanik.

1.Moment och massacentrum för plankurvor. Om bågen för en kurva ges av ekvationen y= f(x), a≤ x≤ b, och har en densitet = (x) , sedan de statiska momenten för denna båge Mx Och Min i förhållande till koordinataxlar Oxe Och O y är lika

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">och koordinaterna för massacentrum och - enligt formlerna Var l- bågmassa, dvs.

2. Fysiska uppgifter. Vissa tillämpningar av den bestämda integralen för att lösa fysiska problem illustreras i exemplen nedan.

Hastighet för rätlinjig kroppsrörelse uttryckt med formeln (m/s). Hitta den väg som kroppen färdats på 5 sekunder från början av rörelsen.

Eftersom vägen täcks av kroppen med hastighet ( t) under en tidsperiod, uttrycks av en integral, då har vi:

Ekvation för mekanisk rörelse. Låt materialet peka på massan T rör sig under inflytande av våld F längs axeln X. Låt oss beteckna t tiden för dess rörelse, Och- fart, A- acceleration. Newtons andra lag, Am = F kommer att ha formen av en differentialekvation om vi skriver ner accelerationen, A som den andra derivatan: a= x’’.

Öppen lektion om algebra och grundläggande analys i årskurs 11 med utökade studier i matematik och fysik

"Tillämpning av metoder för matematisk analys för att lösa praktiska problem."

Lärare: Vishnevskaya N.V.

Lektionens mål: 1. Gå igenom huvudtyperna av problem lösta med metoder för matematisk analys.

2. Upprepa lösningsalgoritmerna.

3. Analysera lösningen på problem med ökad svårighetsgrad.

4. Lös ekonomiska problem.

Lektionsplanering:

Två problem med ökad svårighet analyseras på tavlan (kort nr 7 och nr 5). Medan killarna förbereder sig svarar klassen muntligt på frågorna:

a) Områden där metoder för matematisk analys tillämpas;

b) en algoritm för att lösa problem genom att söka efter de största och minsta värdena för en funktion;

c) en algoritm för att lösa problem med hjälp av en bestämd integral.

Samtidigt arbetar 6 personer med kort (nr 3, 4, 6, 8, 9, 10).

Tabeller håller på att fyllas i.

Problemen på tavlan kontrolleras, läraren kontrollerar att lösningarna på problemen på korten är korrekta.

Ett ekonomiskt problem analyseras på tavlan (kort nr 1, 2).

Hemtest.

En algoritm för att lösa problem genom att söka efter de största och minsta värdena för en funktion.

Algoritm för beräkning av geometriska och fysiska storheter med hjälp av en bestämd integral.

Uttryck önskad kvantitet som ett värde någon gång i funktionen F .

Hitta derivatan f denna funktion.

Expressfunktion F i form av en bestämd integral av f och räkna ut det.

Ersätter värdet X = b hitta önskat värde.

Läxor (på tavlan):

Kort nr 7

Två fartyg rör sig längs två vinkelräta linjer som skär varandra vid en punkt HANDLA OM, mot HANDLA OM. Någon gång i tiden ligger båda 65 km från HANDLA OM, hastigheten för den första är 15 km/h, den andra är 20 km/h. En motorbåt avgår från det första fartyget och rör sig med en hastighet av 25 km/h.

a) På vilken kortaste tid kan båten segla från det första fartyget till det andra?

b) På vilken kortaste tid kan båten segla från det första fartyget till det andra och återvända tillbaka till det första fartyget?

V 1 = 15 km/h

65 km S 1 HANDLA OM

S 3 S 2

65 km

V l = 25 km/h

V 2 = 20 km/h

Lösning:

X– tid som har gått från det ögonblick då båda fartygen var 65 km från HANDLA OM, tills båten avgår.

– den tid det tar för båten att resa från 1:a fartyget till 2:a.

I det ögonblick då båten avgick var det första fartyget på avstånd
km från HANDLA OM; i det ögonblick båten anländer till 2:a fartyget, avståndet mellan det och HANDLA OM var lika med km; båtens väg är
. Sedan genom Pythagoras sats

.

Låt oss skilja på X:

;

;

Svar: a) 1 timme; b) 3 timmar.

Kort nr 5

Pannan har formen av en rotationsparaboloid. Radie av dess bas R= 3 m djup N= 5 m Pannan är fylld med vätska, vars specifika vikt är 0,8 G/cm3. Beräkna det arbete som behöver göras för att pumpa ut vätska ur pannan.

på

A R I

dy N

på

Åh x x

R= 3 m

N= 5 m

slå vikt = 0,8 g/cm3

Beräkna det arbete som behöver göras för att pumpa ut vätska ur pannan.

Lösning:

I sektionsplanet xOy AOBär en parabel vars ekvation är
. Låt oss hitta parametern A.

Punktkoordinater I måste uppfylla denna ekvation, dvs.

,

, därav
.

Låt oss dela paraboloiden i lager med plan parallella med vätskans yta. Låt lagrets tjocklek på djupet ( N – y) lika med dy. Sedan, med skiktet ungefär som en cylinder, får vi dess volym
.

Från parabelekvationen
, Då
, dvs. vätskeskiktets vikt är
.

Därför för att pumpa ut vätska från djupet
, kommer du att behöva spendera lite grundläggande arbete
,
. Sedan

, Sedan .

Svar:
.

Arbeta i klassrummet.

Kortnummer 6

Hur mycket arbete måste göras för att sträcka en fjäder med 6 cm om en kraft på 1 kg sträcker den med 1 cm?

Lösning:

Enligt Hookes lag, kraften F kg, sträcker fjädern med X, är jämställd
, k – proportionalitetskoefficient.

X= 0,01 m

F= 1 kg

Sedan
, därav
.

Jobb du söker
.

Svar: 0,18 kgm.

Kort nr 8

Beräkna det arbete kraften utför F när en fjäder komprimeras med 5 cm, om en kraft på 1 kg behövs för att komprimera den med 1 cm.

Lösning:

Enligt Hookes lag
.

X= 0,01 m

F= 1 kg

Sedan
, därav
.

Jobb du söker
.

Svar: 0,125 kgm.

Kort nr 9

Tvinga F, med vilken den elektriska laddningen stöter bort laddning (av samma tecken), belägen på avstånd från den r, uttrycks med formeln

,

Var k– konstant.

Bestäm det arbete som utförs av en kraft F när du flyttar en laddning från punkt , långt ifrån på distans , exakt , långt ifrån på distans , förutsatt att avgiften placeras vid en punkt , taget som utgångspunkt.

Lösning:

Arbetet bestäms av formeln
,
. Sedan

.

På
vi får
.

Svar:
.

Kort nr 3

Bestäm kraften av vattentrycket på en vertikal vägg formad som en halvcirkel med radie R= 6 m, vars diameter är på vattenytan.

Lösning:

Vätsketryckets kraft på ett område av S på nedsänkningsdjup X lika med
, – vätskans specifik vikt.

HANDLA OM

x C

dx

A B

Vi delar halvcirkeln i remsor med parallella linjer, som vi tar som en rektangel. Låt den skuggade remsan ha längd AB, bredd dx och ligger på ett djup X
.

Vattentryck på en remsa som ligger på djupet X, kommer att vara lika.

Härifrån

,

,

,

.

Vattnets specifika vikt är 1 cm 3 = 1 G, därför är vikten 1 m 3 = 1000 kg.

;

1 kg 9,81 n

1 bar = 0,987 atm.

Svar: 144000 kg.

Kort nr 4

Punktrörelsehastighet
m/sek. Hitta vägen s genomkorsas av en tidpunkt T= 8 sekunder efter rörelsens början. Vad är den genomsnittliga rörelsehastigheten under denna period?

Lösning:

, därav
,
,
.

Därav
.

.

Svar: 512 m; 64 m/sek.

Kort nr 1 (löses i klassen på tavlan)

Genomsnittlig totalkostnad för tvålproduktion (i tusen rubel per ton) vid Mukhinsky tvålfabrik varierar beroende på volymen av årlig produktion F(i ton) enligt lagen:

.

Förhållandet mellan årlig försäljning lika med årlig produktion F, och priset på tvål R(i tusen rubel per ton) beskrivs av formeln

.

Genom att sälja all tvål som bryggts under året till ett fast pris fick anläggningen högsta möjliga vinst. Vad var företagets intäkter?

Lösning:

Låt oss uttrycka det genom F först priset på tvål från formeln
.

.

Sedan vinst G kan uttryckas:

Låt oss hitta de kritiska punkterna för denna funktion:

,
.

Kritiska poäng 100, –340, –120.

Negativa rötter saknar ekonomisk mening.

F

G

;

.

Detta betyder att den optimala årliga mängden tvål är
t, sedan priset
(tusen rubel/t).

Sedan den årliga inkomsten R kommer att vara: (tusen rubel).

Svar: 1 miljon rubel.

Kortnummer 10

Hitta mängden vattentryck på en rektangel vertikalt nedsänkt i vatten, om det är känt att dess bas är 8 m, dess höjd är 12 m, dess övre bas är parallell med vattenytan och ligger på ett djup av 5 m.

Lösning:

5 m

8 m

X

dx 12 m

,
,
m.

kHm.

.

Svar:
kHm.

Kort nr 2 (valfritt)

Produktionskapaciteten gör att Linotron-företaget inte kan producera mer än 600 ton bomull per år. Beroende av totala kostnader (i tusen rubel) från den årliga produktionsvolymen F(i ton) har formen

.

Förhållandet mellan den årliga försäljningen av bomullsull, som sammanfaller med volymen av den årliga produktionen, och priset på bomullsull R(i tusen rubel per ton) beskrivs av funktionen

Priset på bomullsull är satt till den 1 januari 1995 och revideras först den 1 januari följande år.

Hitta, med en noggrannhet på 1%, pom företaget 1995 får maximal vinst.

Lösning:

Använder beroenden
och låt oss uttrycka.

y y

a 0b c x a 0b c x

Lektionsmotto: "Matematik är det språk som talas av alla exakta vetenskaper" N.I. Lobatsjovskij

Syftet med lektionen: att sammanfatta elevernas kunskaper om ämnet "Integral", "Tillämpning av integralen" vidga sina horisonter, kunskap om möjlig tillämpning av integralen för beräkning av olika kvantiteter; konsolidera färdigheter i att använda integraler för att lösa tillämpade problem; ingjuta kognitivt intresse för matematik, utveckla en kommunikationskultur och en kultur av matematiskt tal; kunna lära sig tala inför elever och lärare.

Lektionstyp: upprepning-sammanfattande.

Typ av lektion: lektion – försvar av projektet ”Tillämpning av integralen”.

Utrustning: magnettavla, "Application of the Integral" affischer, kort med formler och uppgifter för självständigt arbete.

Lektionsplanering:

1. Projektskydd:

1. från integralkalkylens historia;
2. integralens egenskaper;
3. tillämpning av integral i matematik;
4. tillämpning av integralen i fysik;

2. Lösning av övningar.

Under lektionerna

Lärare: Ett kraftfullt forskningsverktyg inom matematik, fysik, mekanik och andra discipliner är den definitiva integralen - ett av grundbegreppen för matematisk analys. Den geometriska betydelsen av integralen är området för en kurvlinjär trapets. Den fysiska betydelsen av integralen är 1) massan av en inhomogen stav med densitet, 2) förskjutningen av en punkt som rör sig i en rät linje med hastighet över en tidsperiod.

Lärare: Killarna i vår klass gjorde mycket arbete de valde ut problem där en bestämd integral används. De har ordet.

Elev 2: Integralens egenskaper

Elev 3: Applicering av integralen (tabell på magnetkortet).

Elev 4: Vi överväger användningen av integraler i matematik för att beräkna arean av figurer.

Arean av vilken plan figur som helst, betraktad i ett rektangulärt koordinatsystem, kan bestå av områdena med kurvlinjära trapetser intill axeln Åh och axlar OU. Area av en krökt trapets som avgränsas av en kurva y = f(x), axel Åh och två raka linjer x=a Och x=b, Var a x b, f(x) 0 beräknas med formeln centimeter. ris. Om en krökt trapets är intill axeln OU, då beräknas dess area med formeln , centimeter. ris. Vid beräkning av figurers area kan följande fall uppstå: a) Figuren är placerad ovanför Ox-axeln och begränsas av Ox-axeln, kurvan y = f (x) och två räta linjer x = a och x = b . (Ser. ris.) Arean av denna figur hittas av formel 1 eller 2. b) Figuren är placerad under Ox-axeln och begränsas av Ox-axeln, kurvan y=f(x) och två räta linjer x=a och x=b (se. ris.). Området hittas av formeln . c) Figuren är placerad ovanför och under Ox-axeln och begränsas av Ox-axeln, kurvan y=f(x) och två räta linjer x=a och x=b( ris.). d) Arean begränsas av två korsande kurvor y = f (x) och y = (x) ( ris.)

Elev 5: Låt oss lösa problemet

x-2y+4=0 och x+y-5+0 och y=0

Elev 7: En integral, flitigt använd i fysik. Ord till fysiker.

1. BERÄKNING AV VÄGEN TAGET AV EN PUNKT

Den väg som en punkt färdats under ojämn rörelse i en rak linje med variabel hastighet över tidsperioden från till beräknas med formeln.

Exempel:

1. Hastighet för punktrörelse Fröken. Hitta vägen som punkten färdats på 4 sekunder.

Lösning: enligt tillståndet, . Därav,

2. Två kroppar började röra sig samtidigt från en punkt i en riktning i en rak linje. Den första kroppen rör sig med hastighet m/s, den andra - med hastighet v = (4t+5) Fröken. Hur långt ifrån varandra kommer de att vara efter 5 sekunder?

Lösning: det är uppenbart att det önskade värdet är skillnaden i avstånden som täcks av den första och andra kroppen på 5 s:

3. En kropp kastas vertikalt uppåt från jordytan med en hastighet u = (39,2-9,8^) m/s. Hitta den maximala höjden på kroppslyftet.

Lösning: kroppen når sin maximala lyfthöjd vid en tidpunkt t då v = 0, d.v.s. 39,2- 9,8t = 0, därav I= 4 s. Med formel (1) hittar vi

2. BERÄKNING AV TRYCKARBETE

Arbete utfört av variabel kraft f(x) när man rör sig längs en axel Åh materialpunkt från x = A innan x=b, hittas av formeln När man löser problem med att beräkna kraftarbetet används Hucks lag ofta: F=kx, (3) där F - kraft N; X- absolut förlängning av fjädern, m, orsakad av kraft F, A k- Proportionalitetskoefficient, N/m.

Exempel:

1. En fjäder i vila har en längd på 0,2 m En kraft på 50 N sträcker fjädern med 0,01 m. Hur mycket arbete måste göras för att sträcka den från 0,22 till 0,32 m?

Lösning: med hjälp av likhet (3) har vi 50 = 0,01k, dvs kK = 5000 N/m. Vi finner integrationens gränser: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b=0,32- 0,2 = 0,12(m). Nu, med hjälp av formel (2), får vi

3. BERÄKNING AV UTFÖRT ARBETE VID LYFTNING AV LAST

Uppgift. En cylindrisk tank med en basradie på 0,5 m och en höjd av 2 m fylls med vatten. Beräkna det arbete som krävs för att pumpa ut vatten ur tanken.

Lösning: välj ett horisontellt lager med höjd dх på djup x ( ris.). Arbetet A som måste göras för att höja ett vattenlager som väger P till en höjd x är lika med Px.

En förändring i djup x med en liten mängd dx kommer att orsaka en förändring i volym V med mängden dV = pr 2 dx och förändring i vikt P med * dP = 9807 r 2 dx; i detta fall kommer arbetet A som utförs att ändras med värdet dA = 9807пr 2 xdx. Genom att integrera denna likhet när x ändras från 0 till H får vi

4. BERÄKNING AV VÄTSKETRYCKKRAFT

Styrka värde R vätskans tryck på den horisontella plattformen beror på nedsänkningsdjupet X av detta område, dvs från områdets avstånd till vätskans yta.

Tryckkraften (N) på den horisontella plattformen beräknas med formeln P = 9807Sx,

Var - vätskedensitet, kg/m3; S - område av webbplatsen, m2; X - plattformens nedsänkningsdjup, m.

Om plattformen som upplever vätsketryck inte är horisontell, är trycket på den olika på olika djup, därför är tryckkraften på plattformen en funktion av djupet av dess nedsänkning P(x).

5. BÅGSLÄNGD

Låt planet kurva AB(ris.) ges av ekvationen y =f(x) (axb), och f(x) Och f?(x)- kontinuerliga funktioner i intervallet [a,b]. Sedan differentialen dl båglängd AB uttrycks med formeln eller , och båglängd AB beräknat med formel (4)

där a och b är värdena för den oberoende variabeln X vid punkterna A och B. Om kurvan ges av ekvationen x =(y) (med y)d), då beräknas längden på bågen AB med formeln (5) var Med Och d oberoende variabelvärden på på punkter A och V.

6. MASSCENTRUM

Använd följande regler när du hittar massans centrum:

1) x koordinat ? masscentrum för ett system av materialpunkter A 1, A 2,..., A n med massorna m 1, m 2, ..., m n, belägen på en rät linje vid punkter med koordinater x 1, x 2, ..., x n , hittas av formeln

(*); 2) När du beräknar koordinaterna för massacentrum kan du ersätta vilken del av figuren som helst med en materialpunkt, placera den i denna dels masscentrum och tilldela den en massa som är lika med massan av delen av siffran i fråga. Exempel. Låt en massa med densitet (x) fördelas längs stavsegmentet [a;b] på Ox-axeln, där (x) är en kontinuerlig funktion. Låt oss visa det a) stavens totala massa M är lika med; b) koordinat för masscentrum x " lika med .

Låt oss dela upp segmentet [a; b] till n lika stora delar med punkterna a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (ris.). På vart och ett av de n av dessa segment kan densiteten anses vara konstant för stort n och ungefär lika med (x k - 1) på det k:te segmentet (på grund av kontinuiteten i (x). Då är massan av k- segmentet är ungefär lika med och massan av hela staven är lika med

Om vi ​​betraktar vart och ett av n små segment som en materialpunkt med massa m k placerad vid punkt, får vi från formel (*) att koordinaten för masscentrum ungefär hittas enligt följande

Nu återstår att notera att som n -> tenderar täljaren till integralen, och nämnaren (som uttrycker massan av hela staven) tenderar mot integralen

För att hitta koordinaterna för masscentrum för ett system av materialpunkter på ett plan eller i rymden använder vi också formeln (*)

Lärare: Du har en tabell och uppgifter på dina bord. Använd tabellen för att hitta: a) mängden el. b) stavens massa baserat på dess densitet.

Kvantiteter

Derivatberäkning

Beräkning av integralen Alternativ 1 Alternativ 2 Lektionssammanfattning: Vi slutförde ämnet "Integral", lärde oss att beräkna antiderivat, integraler, siffror, övervägde tillämpningen av integralen i praktiken, dessa problem kan dyka upp på Unified State Exam, jag tror att du kan hantera dem.

Visa dokumentinnehåll
"MR kombinerad lektion för läraren "Fundamentals of integral calculus.

STATENS AUTONOM UTBILDNING

INSTITUTIONEN FÖR YRKESUTBILDNING

NOVOSIBIRSK REGIONEN

"BARABINSKY MEDICAL COLLEGE"

METODISK UTVECKLING

kombinerad lektion för lärare

DISCIPLINER "MATEMATIK"

Sektion 1.Matematisk analys

Ämne1.6. Grunderna för integralkalkyl. Definitiv integral

Specialitet

060101 Allmänmedicin

Väl- först

Metodblad

Bildande av krav på statliga standarder när man studerar ämnet

« Grunderna för integralkalkyl. Definitiv integral"

måste veta:

vikten av matematik i professionell verksamhet och för att bemästra ett professionellt utbildningsprogram;

grundläggande matematiska metoder för att lösa tillämpade problem;

grunderna för integral- och differentialkalkyl.

Som ett resultat av att studera ämnet, studenten borde kunna:

lösa tillämpade problem inom området yrkesverksamhet;

Lektionens mål:

Utbildningsmål: upprepa och konsolidera färdigheterna att beräkna den obestämda och bestämda integralen, överväga metoder för att beräkna bestämda integraler, konsolidera färdigheten att hitta den bestämda integralen

Utbildningsmål: att främja bildandet av en kultur av kommunikation, uppmärksamhet, intresse för ämnet, att främja elevens förståelse för essensen och sociala betydelsen av sitt framtida yrke, och manifestationen av ett hållbart intresse för det.

Utvecklingsmål:

bidra

utveckla förmågan att använda tekniker för jämförelse, generalisering och belysa det viktigaste;

utveckling av matematiska horisonter, tänkande och tal, uppmärksamhet och minne.

Typ av aktivitet: kombinerad lektion

Lektionens längd: 90 minuter

Tvärvetenskapliga kopplingar: fysik, geometri och alla ämnen där matematik används

Litteratur:

Gilyarova M.G. Matematik för medicinska högskolor. – Rostov n/d: Phoenix, 2011. – 410, sid. - (Medicin)

Matematik: lärobok. bidrag / V.S. Mikheev [och andra]; redigerad av N.M. Demina. – Rostov n/d: Phoenix, 2009. – 896 sid. – (gymnasial yrkesutbildning).

Lektionsutrustning:

Handout

Lektionens framsteg

Bilaga 1

Uppdatering av referenskunskaper

Matematisk diktering

1 alternativ

jag.

II.

Alternativ 2

jag. Beräkna obestämda integraler

II. Nämn metoden för att beräkna integraler

Bilaga 2

Information och referensmaterial

Definitiv integral

Begreppet en integral är relaterat till det omvända problemet med att differentiera en funktion. Det är bekvämt att överväga konceptet med en bestämd integral för att lösa problemet med att beräkna arean av en krökt trapets.

För att hitta arean av en figur avgränsad på båda sidor av vinkelräta punkter återställda A Och b, på toppen av en kontinuerlig kurva y =f(X) och under axeln Åh, låt oss dela upp segmentet [A,b] för små sektioner:

a = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b.

Låt oss återställa vinkelräta från dessa punkter till skärningspunkten med kurvan y =f(X). Då kommer hela figurens yta att vara ungefär lika med summan av elementära rektanglar som har en bas lika med  X i = x i -X i -1 , och höjden är lika med värdet på funktionen f(X) inuti varje rektangel. Ju mindre värde  X i, desto mer exakt kommer området på figuren att bestämmas S . Därav:

Definition.Om det finns en gräns för integralsumman som inte beror på hur segmentet [a,b] och välja punkter, då kallas denna gräns för funktionens bestämda integralf(X) på segmentet [a,b] och beteckna:

Varf(x) är integrandfunktionen, x är integrationsvariabeln ochb- gränser för integration (läs: bestämd integral avado bef från x de x).

Således, geometrisk betydelse bestämd integral är associerad med att bestämma arean av en krökt trapets som avgränsas ovanifrån av funktionen y =f(X), nedre axeln Åh, och på sidorna - vinkelräta återställda vid punkterna A Och b.

Processen att beräkna en bestämd integral kallas integration. Tal a ochb kallas i enlighet därmed nedre och övre gränserna för integration.

Egenskaper hos en bestämd integral

Om gränserna för integration är lika, då är den bestämda integralen lika med noll:



Om du ordnar om gränserna för integration kommer integralens tecken att ändras till det motsatta:



Den konstanta faktorn kan tas ur den bestämda integralens tecken:



Bestämd integral av summan av ett ändligt antal kontinuerliga funktionerf 1 (x), f 2 (x)... f n (x), givet på intervallet [a,b], är lika med summan av bestämda integraler av summan av funktionerna:

Integrationssegmentet kan delas in i delar:



Om en funktion alltid är positiv eller alltid negativ på intervallet [a,b], så är den bestämda integralen ett tal med samma tecken som funktionen:

Newton-Leibniz formel

Newton-Leibniz-formeln etablerar sambandet mellan de bestämda och obestämda integralen.

Sats.Värdet av funktionens bestämda integralf(X) på segmentet [a,b] är lika med ökningen av någon av antiderivaten för denna funktion på ett givet segment:

Av detta teorem följer att en bestämd integral är ett tal, medan en obestämd integral är en uppsättning antiderivata funktioner. Således, enligt formeln, för att hitta en bestämd integral är det nödvändigt:

1. Hitta den obestämda integralen för denna funktion genom att sätta C = 0.

2. Ersätt antiderivatan istället för argumentet i uttrycket Xövre gränsen först b, sedan nedre gränsen A, och subtrahera det andra från det första resultatet.

Beräkning av bestämda integraler med olika metoder

När du beräknar bestämda integraler, använd de metoder som diskuterats för att hitta obestämda integraler.

Direkt integrationsmetod

Denna metod är baserad på användningen av tabellintegraler och de grundläggande egenskaperna hos den bestämda integralen.

EXEMPEL:

1) Hitta

Lösning:

2) Hitta

Lösning:

3) Hitta

Lösning:

Integrationsvariabel ersättningsmetod

EXEMPEL:

Lösning. För att hitta integralen använder vi metoden för förändring av variabel. Inför en ny variabel

u=3 x ‑ 1 , Då du = 3 dx, dx = . När man inför en ny variabel är det nödvändigt att ersätta integrationsgränserna, eftersom den nya variabeln kommer att ha andra förändringsgränser. De hittas med hjälp av formeln för variabelersättning. Så den övre gränsen kommer att vara lika med Och b = 32 ‑ 1 = 5 , lägre - Och A =31 ‑ 1 = 2 . Genom att ersätta variabeln och integrationens gränser får vi:

Metod för integrering av delar

Denna metod är baserad på användningen av integrationen av delar-formeln för en bestämd integral:

EXEMPEL:

1) Hitta

Lösning:

Låta u = ln x, dv = xdx, Då

Tillämpning av en bestämd integral för beräkning av olika kvantiteter.

Beräkna arean av en platt figur

Det har tidigare visat sig att en bestämd integral kan användas för att beräkna arean av en figur som är innesluten mellan grafen för en funktion y =f(x), axel Åh och två raka linjer X = a och x =b.

Om funktionen y =f(x) ligger under abskisslinjen, dvs. f(x)

Om funktionen y =f(x) korsar axeln flera gånger Åh, då är det nödvändigt att separat hitta områdena för tomterna när f(x) 0, och lägg till dem till de absoluta värdena för områdena när funktionen f(x)

EXEMPEL 1. Hitta arean av en figur som avgränsas av en funktion y = syndX och axel Åh Plats på 0  X 2.

Lösning. Arean av figuren kommer att vara lika med summan av ytorna:

S = S 1 + | S 2 |,

där S1-; område kl på0 ; S 2 - område kl vid 0.

S=2 + 2 = 4 kvm enheter

EXEMPEL 2. Hitta arean av figuren som är innesluten mellan kurvan y = x 2 , axel Åh och rak x = 0, x = 2.

Lösning. Låt oss bygga funktionsgrafer på= x 2 Och x = 2.

Det skuggade området kommer att vara det önskade området i figuren. Därför att f(x) 0, då

Beräkna båglängden för en plan kurva

Om kurvan y =f(X) på segmentet [A,b] har en kontinuerlig derivata, så hittas båglängden för denna kurva av formeln:

EXEMPEL

Hitta båglängden på en kurva y 2 = x 3 på segmentet (y0)

Lösning

Kurvans ekvation är y = x 3/2, då y’ = 1,5 x 1/2.

Genom att göra ersättningen 1+ får vi:

Låt oss återgå till den ursprungliga variabeln:

Beräkning volymen av en rotationskropp

Om en krökt trapets som begränsas av en kurva y =f(x) och rak x=a Och x=b, roterar runt en axel Åh, då beräknas rotationsvolymen med formeln:

EXEMPEL

Hitta volymen av en kropp som bildas genom rotation runt en axel Åh halvvågs sinusform
y= synd x, på 0≤ x≤.

Lösning

Enligt formeln har vi:

För att beräkna denna integral kommer vi att göra följande transformationer:

Bilaga 3

Primär konsolidering av det studerade materialet

1. Beräkning av bestämda integraler

2. Tillämpningar av den bestämda integralen

Arean av figuren

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna:

Den väg som en kropp (punkt) färdats under rätlinjig rörelse under en tidsperiod frånt 1 innant 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (ti s,vi m/s). Hitta avståndet som kroppen tillryggalagt på 10 s från början av rörelsen.

Hastigheten för en punkt varierar enligt lagen v =6 t 2 +4 (ti s,vi m/s). Hitta vägen som punkten färdats på 5s från början av rörelsen.

Punktrörelsehastighet v =12 t -3 t 2 (ti s,vi m/s). Hitta den väg som punkten färdats från början av dess rörelse till dess stopp.

Två kroppar började röra sig samtidigt från en punkt i en riktning i en rak linje. Den första kroppen rör sig med hastighet v =6 t 2 +2 t(Fröken), andra
v =4 t+5 (m/s). På vilket avstånd från varandra kommer de att vara efter 5s?

Bilaga 4

Egenkontroll på ämnet

"Definitiv integral och dess tillämpning"