Ključne besede povzetka:Cela števila. Aritmetične operacije nad naravnimi števili. Deljivost naravnih števil. Praštevila in sestavljena števila. Razlaganje naravnega števila na prafaktorje. Znaki deljivosti z 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Največji skupni delitelj (GCD) in najmanjši skupni večkratnik (LCD). Deljenje z ostankom.
Cela števila- to so številke, ki se uporabljajo za štetje predmetov - 1, 2, 3, 4 , ... Toda številka 0 ni naravno!
Množica naravnih števil je označena z n. Zapis "3 ∈ N" pomeni, da število tri spada v množico naravnih števil, in zapis "0 ∉ N" pomeni, da število nič ne pripada tej množici.
Decimalni številski sistem- položajni radiksni številski sistem 10 .
Aritmetične operacije z naravnimi števili
Za naravna števila so definirana naslednja dejanja: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, potenciranje, ekstrakcija korenin. Prva štiri dejanja so aritmetika.
Naj bodo torej a, b in c naravna števila
1. SEŠTEVANJE. Člen + člen = vsota
Lastnosti dodajanja
1. Sporazumevalni a + b = b + a.
2. Veznik a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.
2. ODŠTEVAJ. Minuend – odštejanec = razlika
Lastnosti odštevanja
1. Odštevanje vsote od števila a - (b + c) = a - b - c.
2. Odštevanje števila od vsote (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.
3. MNOŽENJE. Množitelj * Množitelj = zmnožek
Lastnosti množenja
1. Komunikativni a*b = b*a.
2. Veznik a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Distributivni (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.
4. DELITEV. Dividenda: delitelj = količnik
Lastnosti deljenja
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Ne moreš deliti z nič!
3. 0: a = 0.
Postopek
1. Najprej dejanja v oklepajih.
2. Nato množenje, deljenje.
3. In šele na koncu seštevanje in odštevanje.
Deljivost naravnih števil. Praštevila in sestavljena števila.
Delitelj naravnega števila A je naravno število, kateremu A razdeljeno brez ostanka. številka 1 je delitelj poljubnega naravnega števila.
Naravno število imenujemo preprosto, če le ima dva delitelj: ena in samo število. Na primer, števila 2, 3, 11, 23 so praštevila.
Število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno. Na primer, števila 4, 8, 15, 27 so sestavljena števila.
Test deljivosti dela več števil: če je vsaj eden od faktorjev deljiv z določenim številom, potem je s tem številom deljiv tudi produkt. delo 24 15 77 deljeno s 12 , saj je množitelj tega števila 24 deljeno s 12 .
Preizkus deljivosti vsote (razlike)števila: če je vsak člen deljiv z določenim številom, potem je celotna vsota deljena s tem številom. če a: b in c:b, To (a + c) : b. In če a: b, A c ni deljivo z b, To a+c ni deljivo s številom b.
če a: c in c:b, To a: b. Glede na to, da je 72:24 in 24:12, sklepamo, da je 72:12.
Imenuje se predstavitev števila kot produkta potenc praštevil razlaganje števila na prafaktorje.
Temeljni izrek aritmetike: poljubno naravno število (razen 1 ) ali je preprosto, ali pa ga je mogoče faktorizirati samo na en način.
Pri razgradnji števila na prafaktorje se uporabljajo znaki deljivosti in zapis "stolpec". V tem primeru se delitelj nahaja desno od navpične črte, količnik pa je zapisan pod dividendo.
Na primer, naloga: razloži število na prafaktorje 330 . rešitev:
Znaki deljivosti na 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 in 11.
Obstajajo znaki deljivosti na 6, 15, 45 itd., torej v števila, katerih produkt je mogoče faktorizirati 2, 3, 5, 9 in 10 .
Največji skupni delitelj
Največje naravno število, s katerim je deljivo vsako od dveh danih naravnih števil, se imenuje največji skupni delitelj te številke ( GCD). Na primer, gcd (10; 25) = 5; in GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.
Če je največji skupni delitelj dveh naravnih števil enak 1 , potem se te številke kličejo medsebojno prime.
Algoritem za iskanje največjega skupnega delitelja(KIMAJ)
GCD se pogosto uporablja pri težavah. Na primer, 155 zvezkov in 62 pisal je bilo enakomerno razdeljenih med učence v enem razredu. Koliko učencev je v tem razredu?
rešitev: Ugotavljanje števila učencev v tem razredu se zmanjša na iskanje največjega skupnega delitelja števil 155 in 62, saj so bili zvezki in pisala enako razdeljeni. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.
odgovor: 31 učencev v razredu.
Najmanjši skupni večkratnik
Večkratniki naravnega števila A je naravno število, ki je deljivo z A brez sledu. Na primer številka 8 ima večkratnike: 8, 16, 24, 32 , ... Vsako naravno število ima neskončno veliko večkratnikov.
Najmanjši skupni večkratnik(LCM) je najmanjše naravno število, ki je večkratnik teh števil.
Algoritem za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika ( NOC):
LCM se pogosto uporablja tudi pri težavah. Na primer, dva kolesarja sta istočasno štartala po kolesarski stezi v isto smer. Eden naredi krog v 1 minuti, drugi pa v 45 sekundah. V kolikšnem najmanjšem številu minut po začetku gibanja se bosta srečala na začetku?
rešitev: Število minut, po katerih se bosta spet srečala na začetku, je treba deliti s 1 min, kot tudi na 45 s. V 1 min = 60 s. To pomeni, da je treba najti LCM (45; 60). 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Rezultat je, da se bosta kolesarja srečala na startu v 180 s = 3 min.
odgovor: 3 min.
Deljenje z ostankom
Če naravno število A ni deljivo z naravnim številom b, potem lahko storite deljenje z ostankom. V tem primeru se pokliče dobljeni količnik nepopolna. Enakopravnost je poštena:
a = b n + r,
Kje A- deljivo, b- delilnik, n- nepopoln količnik, r- ostanek. Na primer, naj bo dividenda enaka 243 , delilnik - 4 , Potem 243: 4 = 60 (ostanek 3). To je a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, potem 243 = 60 4 + 3 .
Števila, ki so deljiva z 2 brez ostanka, se imenujejo celo: a = 2n, n ∈ n.
Preostale številke so poklicane Čuden: b = 2n + 1, n ∈ n.
To je povzetek teme "Cela števila. Znaki deljivosti". Za nadaljevanje izberite naslednje korake:
- Pojdi na naslednji povzetek:
Navadni mnogokratniki naravnih številainbje število, ki je večkratnik vsakega od teh števil.
Najmanjše število vseh skupnih večkratnikov A in b klical najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Najmanjši skupni večkratnik števil A in b dogovorimo se, da označimo K( A, b).
Na primer, števili 12 in 18 sta pogosta večkratnika: 36, 72, 108, 144, 180 itd. Število 36 je najmanjši skupni večkratnik števil 12 in 18. Zapišemo lahko: K(12, 18) = 36.
Za najmanjši skupni večkratnik veljajo naslednje trditve:
1. Najmanjši skupni večkratnik števil A in b
2. Najmanjši skupni večkratnik števil A in b nič manj kot večje od teh števil, tj. če a >b, potem K( A, b) ≥ A.
3. Vsak skupni večkratnik števil A in b deljeno z najmanjšim skupnim večkratnikom.
Največji skupni delitelj
Skupni delitelj naravnih števil a inbje število, ki je delitelj vsakega od danih števil.
Največje število vseh skupnih deliteljev števil A in b imenujemo največji skupni delitelj teh števil.
Največji skupni delitelj števil A in b Dogovorimo se, da označimo D( A, b).
Na primer, za števili 12 in 18 so skupni delitelji števila: 1, 2, 3, 6. Število 6 je 12 in 18. Lahko zapišete: D(12, 18) = 6.
Število 1 je skupni delitelj poljubnih dveh naravnih števil a in b. Če ta števila nimajo drugih skupnih deliteljev, potem D( A, b) = 1 in številke A in b se imenujejo medsebojno prime.
Na primer, števili 14 in 15 sta sorazmerno praštevili, saj je D(14, 15) = 1.
Za največji skupni delitelj veljajo naslednje trditve:
1. Največji skupni delitelj števil a in b vedno obstaja in je edinstven.
2. Največji skupni delitelj števil A in b ne presega manjšega od danih števil, tj. če a< b, To D(a, b) ≤ a.
3. Največji skupni delitelj števil a in b je deljivo s poljubnim skupnim deliteljem teh števil.
Največji skupni večkratnik števil A in b in njun največji skupni delitelj sta med seboj povezana: zmnožek najmanjšega skupnega večkratnika in največjega skupnega delitelja števil A in b enak zmnožku teh števil, tj. K( a, b)·D( a, b) = a· b.
Iz te izjave sledijo naslednje posledice:
a) Najmanjši skupni večkratnik dveh medsebojno praštevil je enak zmnožku teh števil, tj. D( a, b) = 1 => K( a, b) = a· b;
Na primer, da bi našli najmanjši skupni večkratnik števil 14 in 15, je dovolj, da ju pomnožite, saj je D(14, 15) = 1.
b) A deljeno s produktom soprostih števil m in n, je nujno in zadostno, da je deljivo z m, in naprej n.
Ta izjava je znak deljivosti s števili, ki ga je mogoče predstaviti kot produkt dveh sorazmerno praštevil.
c) Količniki, ki jih dobimo, če dve dani števili delimo z največjim skupnim deliteljem, so relativno praštevili.
To lastnost lahko uporabimo pri preverjanju pravilnosti najdenega največjega skupnega delitelja danih števil. Na primer, preverimo, ali je število 12 največji skupni delitelj števil 24 in 36. Da bi to naredili, v skladu z zadnjo trditvijo delimo 24 in 36 z 12. Dobimo števili 2 oziroma 3, kar so enaki. Zato je D(24, 36)=12.
Problem 32. Oblikujte in dokažite preizkus deljivosti s 6.
rešitev x deljivo s 6, je nujno in zadostno, da je deljivo z 2 in 3.
Naj številko x je deljivo s 6. Potem iz dejstva, da x 6 in 62 izhaja, da x 2. In iz dejstva, da x 6 in 63 izhaja, da x 3. Dokazali smo, da mora biti število deljivo z 2 in 3, da je deljivo s 6.
Pokažimo zadostnost tega pogoja. Ker x 2 in x 3, torej x- skupni večkratnik števil 2 in 3. Vsak skupni večkratnik števil se deli z njihovim najmanjšim večkratnikom, kar pomeni x K(2;3).
Ker je D(2, 3)=1, potem je K(2, 3)=2·3=6. torej x 6.
Problem 33. Formulirajte v 12, 15 in 60.
rešitev. Da bi naravno število x deljivo z 12, je nujno in zadostno, da je deljivo s 3 in 4.
Da bi naravno število x deljivo s 15, je nujno in zadostno, da je deljivo s 3 in 5.
Da bi naravno število x deljivo s 60, je nujno in zadostno, da je deljivo s 4, 3 in 5.
Problem 34. Poiščite številke a in b, če je K( a, b)=75, a· b=375.
rešitev. Z uporabo formule K( a,b)·D( a,b)=a· b, poiščite največji skupni delitelj zahtevanih števil A in b:
D( a, b) === 5.
Nato lahko zahtevane številke predstavimo v obrazcu A= 5R, b= 5q, Kje str in q str in 5 q v enakost a b= 275. Dobimo 5 str·5 q=375 oz str· q=15. Nastalo enačbo z dvema spremenljivkama rešimo z izbiro: poiščemo pare relativno praštevil, katerih produkt je enak 15. Takšna para sta dva: (3, 5) in (1, 15). Zato zahtevane številke A in b sta: 15 in 25 ali 5 in 75.
Problem 35. Poiščite številke A in b, če je znano, da D( a, b) = 7 in a· b= 1470.
rešitev. Ker D( a, b) = 7, potem lahko zahtevana števila predstavimo v obliki A= 7R, b= 7q, Kje str in q so medsebojno praštevila. Zamenjajmo izraze 5 R in 5 q v enakost a b = 1470. Nato 7 str·7 q= 1470 oz str· q= 30. Nastalo enačbo z dvema spremenljivkama rešimo z izbiro: poiščemo pare sorazmerno praštevil, katerih produkt je enak 30. Taki pari so štirje: (1, 30), (2, 15), (3, 10). ), (5, 6). Zato zahtevane številke A in b so: 7 in 210, 14 in 105, 21 in 70, 35 in 42.
Problem 36. Poiščite številke A in b, če je znano, da D( a, b) = 3 in A:b= 17:14.
rešitev. Ker a:b= 17:14, torej A= 17R in b= 14str, Kje R- največji skupni delitelj števil A in b. torej A= 17·3 = 51, b= 14·3 = 42.
Problem 37. Poiščite številke A in b, če je znano, da je K( a, b) = 180, a:b= 4:5.
rešitev. Ker a: b=4:5 torej A=4R in b=5R, Kje R- največji skupni delitelj števil a in b. Potem R·180=4 R·5 R. Kje R=9. torej a= 36 in b=45.
Problem 38. Poiščite številke A in b, če je znano, da D( a,b)=5, K( a,b)=105.
rešitev. Ker D( a, b) K( a, b) = a· b, To a· b= 5 105 = 525. Poleg tega lahko zahtevana števila predstavimo v obrazcu A= 5R in b= 5q, Kje str in q so medsebojno praštevila. Zamenjajmo izraze 5 R in 5 q v enakost A· b= 525. Nato 5 str·5 q=525 oz str· q=21. Najdemo pare relativno praštevil, katerih produkt je enak 21. Takšna para sta dva: (1, 21) in (3, 7). Zato zahtevane številke A in b so: 5 in 105, 15 in 35.
Problem 39. Dokaži, da je število n(2n+ 1)(7n+ 1) je deljivo s 6 za vsako naravno n.
rešitev. Število 6 je sestavljeno; lahko ga predstavimo kot produkt dveh relativno praštevil: 6 = 2·3. Če dokažemo, da je dano število deljivo z 2 in 3, lahko na podlagi testa deljivosti s sestavljenim številom sklepamo, da je deljivo s 6.
Da bi dokazali, da je število n(2n+ 1)(7n+ 1) je deljivo z 2, moramo upoštevati dve možnosti:
1) n je deljivo z 2, tj. n= 2k. Nato izdelek n(2n+ 1)(7n+ 1) bo videti kot: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). Ta produkt je deljiv z 2, ker prvi faktor je deljiv z 2;
2) n ni deljivo z 2, tj. n= 2k+ 1. Nato izdelek n(2n+ 1 )(7n+ 1) bo videti takole: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). Ta produkt je deljiv z 2, ker zadnji faktor je deljiv z 2.
Da bi dokazali, da delo n(2n+ 1)(7n+ 1) je deljivo s 3, je treba upoštevati tri možnosti:
1) n je deljivo s 3, tj. n= 3k. Nato izdelek n(2n+ 1)(7n+ 1) bo videti kot: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). Ta produkt je deljiv s 3, ker prvi faktor je deljiv s 3;
2) n Pri deljenju s 3 je ostanek 1, tj. n= 3k+ 1. Nato izdelek n(2n+ 1)(7n+ 1) bo videti takole: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). Ta produkt je deljiv s 3, ker drugi faktor je deljiv s 3;
3) n pri deljenju s 3 je ostanek 2, tj. n= 3k+ 2. Nato izdelek n(2n+ 1)(7n+ 1) bo videti takole: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15). Ta produkt je deljiv s 3, ker zadnji faktor je deljiv s 3.
Torej, dokazano je, da izdelek n(2n+ 1)(7n+ 1) je deljivo z 2 in 3. To pomeni, da je deljivo s 6.
Vaje za samostojno delo
1. Podani dve števili: 50 in 75. Zapiši množico:
a) delitelji števila 50; b) delitelji števila 75; c) skupne delitelje danih števil.
Kaj je največji skupni delitelj 50 in 75?
2. Ali je število 375 skupni večkratnik števil: a) 125 in 75; b) 85 in 15?
3. Poišči številke A in b, če je znano, da je K( a, b) = 105, a· b= 525.
4. Poišči številke A in b, če je znano, da D( a, b) = 7, a· b= 294.
5. Poišči številke A in b, če je znano, da D( a, b) = 5, a:b= 13:8.
6. Poišči številke A in b, če je znano, da je K( a, b) = 224, a:b= 7:8.
7. Poišči številke a in b, če je znano, da D( a, b) = 3, K( a; b) = 915.
8. Dokaži preizkus deljivosti s 15.
9. Iz množice števil 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 izpiši tista, ki so deljiva z 12.
10. Oblikujte kriterije deljivosti z 18, 36, 45, 75.
Naravno število je eden osnovnih in morda eden prvih pojmov matematike.Množica naravnih števil = (1, 2, 3...). To pomeni, da je množica naravnih števil množica vseh pozitivnih celih števil. Na naravnih številih so definirane operacije seštevanja, množenja, odštevanja in deljenja. Rezultat seštevanja, množenja in odštevanja dveh naravnih števil je celo število. Rezultat deljenja dveh naravnih števil je lahko celo število ali ulomek.
Na primer: 20: 4 = 5 – rezultat deljenja je celo število.
20: 3 = 6 2/3 – rezultat deljenja je ulomek.
Naravno število n je deljivo z naravnim številom m, če je rezultat deljenja celo število. V tem primeru se število m imenuje delitelj števila n, število n pa večkratnik števila m.
V prvem primeru je število 20 deljivo s 4, 4 je delitelj 20, 20 pa je večkratnik 4.
V drugem primeru število 20 ni deljivo s številom 3, torej ne more biti govora o deliteljih in večkratnikih.
Število n imenujemo praštevilo, če nima drugih deliteljev razen sebe in ena. Primeri praštevil: 2, 7, 11, 97 itd.
Število n imenujemo sestavljeno, če ima delitelje, ki niso samo sebe in ena.
Vsako naravno število je mogoče razstaviti v zmnožek praštevil in ta razgradnja je edinstvena, do vrstnega reda faktorjev. Na primer: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 – vse te razširitve se razlikujejo le po vrstnem redu faktorjev.
Največji skupni delitelj dveh števil m in n je največje naravno število, ki je delitelj tako m kot n. Na primer, števili 34 in 85 imata največji skupni faktor 17.
Najmanjši skupni večkratnik dveh števil m in n je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh m in n. Na primer, števili 15 in 4 imata najmanjši skupni večkratnik 60.
Naravno število, deljivo z dvema prašteviloma, je deljivo tudi z njunim zmnožkom. Na primer, če je število deljivo z 2 in 3, potem je deljivo s 6 = 2 3, če z 11 in 7, pa s 77.
Primer: število 6930 je deljivo z 11 - 6930: 11 = 630 in je deljivo s 7 - 6930: 7 = 990. Mirno lahko rečemo, da je tudi to število deljivo s 77. Preverimo: 6930: 77 = 90.
Algoritem za razgradnjo števila n na prafaktorje:
1. Poiščite najmanjši pradelilnik števila n (razen 1) - a1.
2. Število n delimo z a1, pri čemer količnik označimo kot n1.
3. n=a1 n1.
4. Enako operacijo izvajamo z n1, dokler ne dobimo praštevila.
Primer: število 17.136 razložite na prafaktorje
1. Najmanjši pradelilnik razen 1, tukaj 2.
2. 17 136: 2 = 8 568;
3. 17 136 = 8 568 2.
4. Najmanjši pradelitelj števila 8568 je 2.
5. 8 568: 2 = 4284;
6. 17 136 = 4284 2 2.
7. Najmanjši pradelitelj števila 4284 je 2.
8. 4284: 2 = 2142;
9. 17 136 = 2142 2 2 2.
10. Najmanjši praštevilski delitelj števila 2142 je 2.
11. 2142: 2 = 1071;
12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.
13. Najmanjši praštevilski delitelj števila 1071 je 3.
14. 1071: 3 = 357;
15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.
16. Najmanjši pradelilnik števila 357 je 3.
17. 357: 3 = 119;
18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.
19. Najmanjši pradelilnik števila 119 je 7.
20. 119: 7 = 17;
21. 17 je praštevilo, kar pomeni 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.
Dobili smo razgradnjo števila 17.136 na prafaktorje.
