Matematično modeliranje v konstrukcijskih primerih. Soldatenko L.V. Uvod v matematično modeliranje konstrukcijskih in tehnoloških problemov. Poraba materialov na serijo je določena s formulami

, Izračun zabave na Ivanovi dači ob dnevu Rusije.pdf, primerjalne značilnosti con v Rusiji.docx, Ministrstvo za izobraževanje in znanost Rusije.docx.

Uvod

Pregled uporabe modelov v ekonomiji
1. Zgodovinski pregled
2. Razvoj modeliranja v Rusiji
Glavne vrste problemov, ki se rešujejo med organizacijo, načrtovanjem in vodenjem gradnje
1. Težave z distribucijo
2. Nadomestna opravila
3. Iskalne naloge
4. Opravila v čakalni vrsti ali opravila v čakalni vrsti
5. Naloge upravljanja zalog (ustvarjanje in shranjevanje)
6. Problemi teorije razporejanja
Modeliranje v gradbeništvu
1. Temeljne določbe
2. Vrste ekonomsko-matematičnih modelov na področju organizacije, načrtovanja in vodenja gradnje
  1. Modeli linearnega programiranja
  2. Nelinearni modeli
  3. Modeli dinamičnega programiranja
  4. Optimizacijski modeli (postavka optimizacijskega problema)
  5. Modeli upravljanja zalog
  6. Celoštevilski modeli
  7. Digitalno modeliranje (metoda surove sile)
  8. Simulacijski modeli
  9. Probabilistično-statistični modeli
  10. Modeli teorije iger
  11. Iterativni agregacijski modeli
  12. Organizacijski in tehnološki modeli
  13. Grafični modeli
  14. Omrežni modeli
Organizacijsko modeliranje sistemov vodenja gradnje
1. Glavne usmeritve modeliranja sistemov vodenja gradnje
2. Vidiki organizacijskih in upravljavskih sistemov (modeli)
3. Razdelitev organizacijskih in upravljavskih modelov v skupine
  1. Modeli prve skupine
  2. Modeli druge skupine
4. Vrste modelov prve skupine
  1. Odločitveni modeli
  2. Informacijski modeli komunikacijskega omrežja
  3. Kompaktni informacijski modeli
  4. Integrirani informacijski in funkcionalni modeli
5. Vrste modelov druge skupine
  1. Modeli organizacijskih in tehnoloških povezav
  2. Model organizacijskih in vodstvenih odnosov
  3. Model faktorske statistične analize managerskih povezav
  4. Deterministični funkcionalni modeli
  5. Organizacijski modeli čakalnih vrst
  6. Organizacijski in informacijski modeli
  7. Glavne faze in principi modeliranja
Metode korelacijske in regresijske analize odvisnosti med dejavniki, vključenimi v ekonomske in matematične modele
1. Vrste korelacijske in regresijske analize
2. Zahteve za dejavnike, vključene v model
3. Parna korelacijsko-regresijska analiza
4. Multipla korelacijska analiza

UVOD

Sodobna gradnja je zelo zapleten sistem, katerega dejavnosti vključujejo veliko število udeležencev: naročnika, generalnih izvajalcev in podizvajalcev, gradbenih, inštalacijskih in specializiranih organizacij; poslovne banke ter finančni organi in organizacije; oblikovanje in pogosto raziskovalni inštituti; dobavitelji gradbenega materiala, konstrukcij, delov in polizdelkov, tehnološke opreme; organizacije in organi, ki izvajajo različne vrste nadzora in nadzora gradnje; divizije, ki upravljajo gradbeno opremo in mehanizme, vozila itd.

Za izgradnjo objekta je potrebno organizirati usklajeno delo vseh udeležencev gradnje.

Gradnja poteka v nenehno spreminjajočih se razmerah. Elementi takega procesa so med seboj povezani in medsebojno vplivajo, kar otežuje analizo in iskanje optimalnih rešitev.

V fazi načrtovanja gradbenega ali katerega koli drugega proizvodnega sistema so določeni njegovi glavni tehnični in ekonomski parametri, organizacijska in vodstvena struktura, naloga je določiti sestavo in obseg virov - osnovnih sredstev, obratnih sredstev, potrebe po inženiringu in delovno osebje itd.

Da celoten sistem gradnje deluje smotrno, učinkovito uporablja vire, tj. izdelani končni izdelki - zgradbe, objekti, pripomočki ali njihovi kompleksi v določenem časovnem okviru, visoke kakovosti in z najmanjšo porabo dela, finančnih, materialnih in energetskih virov, mora biti sposoben kompetentno, z znanstvenega vidika, analizirati vse vidike njegovega delovanja, poiskati najboljše rešitve, ki mu zagotavljajo učinkovito in zanesljivo konkurenčnost na trgu gradbenih storitev.

Med iskanjem in analizo možnih rešitev za ustvarjanje optimalne strukture podjetja, organizacijo gradbene proizvodnje itd. Vedno obstaja želja (zahteva) po izbiri najboljše (optimalne) možnosti. V ta namen je treba uporabiti matematične izračune, logične diagrame (predstavitve) procesa gradnje objekta, izražene v obliki številk, grafov, tabel itd. - z drugimi besedami, predstaviti konstrukcijo v obliki modela z uporabo metodologije teorije modeliranja.

Vsak model temelji na ohranitvenih zakonih. Povezujejo spremembe faznih stanj sistema in zunanje sile, ki delujejo nanj.

Vsak opis sistema, objekta (gradbenega podjetja, procesa gradnje stavbe itd.) Se začne z idejo o njihovem stanju v danem trenutku, imenovanem faza.

Uspešnost raziskav, analiz, napovedi obnašanja gradbenega sistema v prihodnosti, t.j. pojav želenih rezultatov njegovega delovanja je v veliki meri odvisen od tega, kako natančno raziskovalec »ugane« tiste fazne spremenljivke, ki določajo obnašanje sistema. Če te spremenljivke vključite v nek matematični opis (model) tega sistema za analizo in napovedovanje njegovega obnašanja v prihodnosti, lahko uporabite dokaj obsežen in dobro oblikovana arzenal matematičnih metod, elektronska računalniška tehnologija.

Opis sistema v matematičnem jeziku imenujemo matematični model, opis ekonomskega sistema pa ekonomsko-matematični model.

Številne vrste modelov se pogosto uporabljajo za predhodno analizo, načrtovanje in iskanje učinkovitega oblike organizacije, načrtovanja in vodenja gradnje.

Namen tega učbenika je študente gradbenih univerz in fakultet v zelo jedrnati in preprosti obliki seznaniti z arsenalom glavnih nalog, s katerimi se soočajo gradbeniki, pa tudi z metodami in modeli, ki prispevajo k napredku projektiranja, organizacije in gradnje. upravljanja in se pogosto uporabljajo v vsakdanji praksi.

Menimo, da bi moral vsak inženir in vodja, ki dela v gradbeništvu - pri gradnji določenega objekta, v projektnem ali raziskovalnem inštitutu - razumeti glavne razrede modelov, njihove zmogljivosti in področja uporabe.

Od formulacije katerega koli problema, vključno z algoritmom njegova rešitev je v nekem smislu nekakšen model, poleg tega pa se ustvarjanje katerega koli modela začne s formulacijo problema; temo modeliranja je bilo mogoče začeti s seznamom glavnih nalog , obrnjena proti gradbenikom.

Same matematične metode niso predmet obravnave v tem učbeniku, specifični modeli in problemi pa so podani ob upoštevanju njihovega pomena in pogostosti uporabe. v praksi organizacije, načrtovanje in vodenje gradnje.

V primeru izdelave modela kompleksnih konstrukcijskih objektov so programerji vključeni v proces modeliranja in analiziranja modelov. , matematiki, sistemski inženirji, tehnologi, psihologi , ekonomistov, menedžerjev in drugih strokovnjakov ter uporabljajo tudi elektronsko računalniško tehnologijo.

Za skoraj vsako nalogo organiziranja, načrtovanja in vodenja gradnje je značilna množica možnih rešitev, pogosto velika negotovost in dinamičnost procesov, ki se izvajajo. V procesu razvoja delovnega načrta za gradbeno organizacijo ali načrta za gradnjo gradbenega projekta je treba primerjati ogromno število možnosti in med njimi izbrati optimalno v skladu z izbranim merilom. Merilo- to je indikator, ki je merilo učinkovitosti načrta (poti) za dosego cilja.

Modeliranje se uporablja za predhodno analizo in iskanje učinkovitih oblik organizacije ter načrtovanje in vodenje gradnje.

Modelarstvo- to je ustvarjanje modela, ki ohranja bistvene lastnosti izvirnika, proces konstruiranja, proučevanja in uporabe modela. Modeliranje je glavno orodje za analizo, optimizacijo in sintezo gradbenih sistemov. Model- to je poenostavljena predstavitev nekega predmeta (sistema), procesa, ki je bolj dostopen za preučevanje kot sam predmet.

Modeliranje omogoča izvajanje poskusov in analiziranje končnih rezultatov ne na realnem sistemu, temveč na njegovem abstraktnem modelu in poenostavljeni predstavitvi-sliki, običajno z uporabo računalnika v ta namen. Upoštevati je treba, da je model samo raziskovalno orodje in ne sredstvo za pridobivanje zavezujočih odločitev. Hkrati pa omogoča izpostaviti najpomembnejše, značilne lastnosti realnega sistema. Model, tako kot vsaka znanstvena abstrakcija, vključuje besede V. I. Lenina: »Razmišljanje, ki se vzpenja od konkretnega k abstraktnemu, ne odstopa ... od resnice, ampak se ji približuje ... vsemu znanstvenemu (pravilnemu, resnemu, nesmiselnemu). ) abstrakcije odražajo naravo globlje, še pomembneje, bolj popolno" (V.I. Lenin. Poli. zbrana dela. 5. izd., zv. 29, str. 152).

Za sodobno gradnjo kot sistemski objekt je značilna visoka stopnja kompleksnosti, dinamičnost, verjetnostno obnašanje, veliko število sestavnih elementov s kompleksnimi funkcionalnimi povezavami in druge značilnosti. Za učinkovito analizo in upravljanje tako kompleksnih sistemskih objektov je potrebno imeti dokaj zmogljiv aparat za modeliranje. Trenutno potekajo intenzivne raziskave na področju izboljšav gradbenega modeliranja, vendar praksa še vedno pozna modele z dokaj omejenimi zmožnostmi za popolno ustrezno predstavitev realnih gradbenih procesov. Trenutno je skoraj nemogoče razviti univerzalni model in enotno metodo za njegovo implementacijo. Eden od načinov za rešitev tega problema je izgradnja lokalnih ekonomskih in matematičnih modelov ter metod za njihovo računalniško implementacijo.

Na splošno so modeli razdeljeni na fizično in ikonično. Fizični modeli ohranjajo fizično naravo izvirnika.

Za konstruiranje simbolnih modelov je načeloma mogoče uporabiti kateri koli jezik - naravni, algoritemski, grafični, matematični. Matematični modeli so zaradi univerzalnosti, strogosti in natančnosti matematičnega jezika najpomembnejši in razširjeni. Matematični model je niz enačb, neenačb, funkcionalov, logičnih pogojev in drugih razmerij, ki odražajo razmerja in medsebojne odvisnosti glavnih značilnosti modeliranega sistema.

Problem izbire optimalnih rešitev ima v zvezi z vsakim konkretnim problemom svoje specifičnosti, nabor tovrstnih problemov pa je zelo širok. Kljub temu je možno in koristno izpostaviti nekaj značilnih lastnosti in iz njih izhajajočih splošnih pristopov k postavljanju optimizacijskih problemov in iskanju najbolj donosnih rešitev.

Optimalne rešitve tehničnih in ekonomskih problemov je treba izbrati ne z uporabo intuitivnih idej, ampak praviloma na podlagi strogih izračunov. Za to je treba začetni tehnični in ekonomski problem ustrezno formalizirati, tj. z matematičnimi izrazi opisati njegove značilne povezave in odvisnosti med parametri.

Skupaj vseh teh matematičnih izrazov skupaj z ekonomskimi značilnostmi količin, ki so vanje vključene, tvori ekonomski in matematični model problema (predmet študija, sistem). Ekonomsko-matematični model je torej matematični opis ekonomskega procesa (objekta, sistema).

Teoretične osnove ekonomskih in matematičnih metod so razvili ruski znanstveniki V.S.Kantorovich, V.V.Buslenko. Zaslužni so tudi za razvoj metodologije ekonomsko-matematičnega modeliranja in metod kvantitativnega pristopa k družbenoekonomskim procesom.

Pravilno sestavljen model, namenjen praktični uporabi, mora izpolnjevati dva pogoja:

Ustrezno odražajo najbistvenejše značilnosti analiziranega pojava, procesa, sistema;

Biti mora rešljiva, tj. v sistemu pogojev, ki ga opisujejo, ne sme biti nobenih matematičnih, ekonomskih ali tehnoloških protislovij in morajo obstajati učinkoviti računalniški algoritmi za iskanje rešitev. Ker je ekonomsko-matematični model samo navedba ekonomskega problema v matematičnem jeziku, je za njegovo rešitev potrebno razviti ali izbrati med obstoječimi metodo (algoritem) rešitve.

Ekonomske in matematične modele delimo na opisno(ki ne vsebuje nadzorovanih spremenljivk) in konstruktiven, predvsem, optimizacija(lahko so statistični in dinamični, odprti, ki upoštevajo zunanje vplive na modelirani objekt, in zaprti, ki vsebujejo nadzorovane spremenljivke) in po obliki prikaza. analytical, grafično-analitični, grafični itd. Ekonomsko-matematični modeli so osnova za uporabo matematičnih metod in elektronske računalniške tehnologije v ekonomiji.

Ekonomske in matematične metode(izraz je uvedel V. S. Nemchinov) predstavljajo kompleks ekonomskih in matematičnih disciplin, kot so:

- ekonomsko-statistične metode(ekonomska statistika, matematična statistika);

- ekonometrija- veda, ki preučuje specifična kvantitativna razmerja med ekonomskimi objekti in procesi (z uporabo matematičnih in statističnih metod in modelov);

Operacijske raziskave (metode za sprejemanje optimalnih odločitev);

- ekonomska kibernetika- veja znanosti, ki se ukvarja z uporabo idej in metod kibernetike v ekonomskih sistemih.

Uporaba ekonomsko-matematičnih metod in računalnikov za namen optimalnega načrtovanja in vodenja gradbene proizvodnje zahteva zaporedno izvajanje številnih naslednjih del matematičnega, tehničnega, informacijskega in ekonomskega reda, kot so:

Razvoj ekonomskih in matematičnih modelov;

Priprava ustreznih algoritmov in računskih shem;

Programiranje za elektronske računalnike;

Oblikovanje potrebnih informacij ali začetnih podatkov, potrebnih za ustrezne izračune;

Klasifikacija in kodiranje objektov za računalniške izračune;

Analiza dobljenih rezultatov in njihova uporaba v praksi.

Predložitev vašega dobrega dela v bazo znanja je preprosta. Uporabite spodnji obrazec

Študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki bazo znanja uporabljajo pri študiju in delu, vam bodo zelo hvaležni.

Objavljeno dne http:// www. vse najboljše. ru/

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSIJE

Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje

"Tverska državna tehnična univerza"

Oddelek za proizvodnjo gradbenih proizvodov in konstrukcij

POJASNILO

za delo v disciplini "Matematično modeliranje pri reševanju znanstvenih in tehničnih problemov v gradbeništvu"

Izpolnil študent:

Akuško A.S.

Nadzornik:

Novichenkova T. B.

1. Začetni podatki

2. Določitev vodocementnega razmerja

3. Določanje vodne potrebe betonske mešanice

4. Določitev porabe cementa in agregata

5. Prilagoditev potrebe po vodi mešanice

6. Prilagoditev sestave betona glede na dejansko gostoto betonske mešanice

7. Prilagoditev vodocementnega razmerja

8. Določitev proizvodne sestave betona in količine materialov za mešanje betonskega mešalnika

9. Izdelava matematičnih modelov odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave na podlagi rezultatov načrtovanega eksperimenta

Seznam uporabljene literature

1. Začetni podatki

Kupčki izdelkov

Stopnja trdnosti betona M200

Razred trdnosti cementa PTs 550

Največja velikost drobljenca (gramoza) Drobilec NK 40

Materiali, vrsta plastifikatorja S-3

Navadni, plastifikator

Vlažnost peska, Wp 1%

Vlažnost drobljenega kamna (gramoza), Wsh (g) 2%

Kapaciteta mešalnika betona, Vbs 750 l

2 . Določanje vodocementnega razmerja

Vodocementno razmerje se določi po formulah:

1) za navaden beton z

2) za beton visoke trdnosti< 0,4

Formulo (1) je treba uporabiti, če , v drugih primerih je treba uporabiti formulo (2). Vrednosti koeficientov A in A 1 je vzet iz tabele 1.

Tabela 1 - Vrednosti koeficientov A in A 1

Slika 1 - Izračun vodocementnega razmerja

3 . OpredelitevPotreba po vodi betonske mešanice

Za določitev potrebe po vodi betonske mešanice se najprej določi obdelavnost betonske mešanice. To temelji na naslednjih premislekih. Povečanje togosti betonske mešanice vedno prihrani cement, vendar zahteva močnejšo opremo za oblikovanje ali daljši čas stiskanja za stiskanje. Obdelovalnost mešanice je približno izbrana v skladu s tabelo 2 in je končno določena na podlagi rezultatov proizvodnih preizkusov, s čimer se doseže uporaba najstrožjih mešanic za dane pogoje.

Znamka betonske mešanice	Vrsta izdelka in način izdelave	Izvedljivost
		Osnutek standarda kon brki, cm	Trdota, s
	Vibracijsko valjanje, stiskanje valjev; izdelki oblikovani s takojšnjim odstranjevanjem.		31 ali več
	Kanalizacijski obroči, ciljni bloki, votli talni elementi, robniki, temeljni bloki in čevlji, oblikovani na vibrirajočih ploščadih, z valjčnim stiskanjem itd.
	Stebri, piloti, tramovi, plošče, stopnišča, rešetke, cevi, dvoslojne zunanje stenske plošče oblikovane na vibrirajočih ploščadih.
	Tankostenske konstrukcije, močno nasičene z ojačitvijo, oblikovane na vibrirajočih ploščadih ali v kasetnih strojih.

Potreba po vodi betonske mešanice je določena s formulo

kje IN- potreba po vodi betonske mešanice, l; sonce- potreba po vodi betonske mešanice, izdelane iz portlandskega cementa, peska srednje velikosti in drobljenega kamna z največjo velikostjo delcev 40 mm brez uporabe plastifikatorjev, t; Vz- popravek za vrsto in velikost agregata, l; TO - koeficient, ki upošteva vrsto plastifikatorja (pri uporabi mehčalcev TO= 0,9; v primeru superplastifikatorjev TO= 0,8).

Povpraševanje po vodi sonce določeno s formulo:

1) za plastično mešanico

kje Y - indikator uporabnosti zmesi (v tem primeru padec stožca, cm);

2) za trdo mešanico

kje Y- trdota zmesi, s (pri določanju s standardno napravo).

Dopolnitev Vz določeno na podlagi naslednjih pogojev:

1) če namesto drobljenega kamna z NK= 40 mm drobljenca z NK= 20 mm,

to B3= 15 l, pri NK= 10 mm - VZ= 30 l in pri NK= 80 mm - BZ= -15 l;

2) pri uporabi gramoza namesto drobljenega kamna enake velikosti B3 =-15 l;

3) če vzamejo droben pesek, potem VZ = 10-20 l;

4) s porabo cementa nad 450 kg/m3 VZ= 10-15 l;

5) pri uporabi pucolanskega cementa VZ= 15-20 l.

Slika 2 - Izračun potrebe po vodi betonske mešanice

4 . Določanje porabe cementa in agregatov

Poraba cementa na m3 betona se določi po formuli:

Če je poraba cementa na 1 m3 betona manjša od dovoljene s SNiP (glej tabelo 3), jo je treba povečati na zahtevano vrednost. Cmin.

Tabela 3 - Najmanjša poraba cementa Cmin da dobimo neločljivo gosto betonsko mešanico

Vrsta mešanice	Največja velikost agregata, mm

Posebej težko (F > 20 s)
Težko (F = 10…20 s)
Sedeči (F = 5…10 s)
Premično (OK = 1…I0 cm)
Zelo mobilen (OK = 10…16 cm)
Cast (OK > 16 cm)

Poraba agregatov na 1 m3 betona je določena z naslednjimi formulami:

kje SCH- poraba drobljenega kamna, kg / m3; p- poraba peska, kg / m3; IN- potreba po vodi betonske mešanice, l/m3; - koeficient raztezanja zrn zdrobljenega kamna z raztopino; Vn - praznina drobljenega kamna; , - prave gostote cementa, peska in drobljenega kamna (v izračunih se lahko vzame 3,1, 2,8 in 2,65 kg / l); - nasipna gostota drobljenega kamna (lahko vzamemo 1,4 kg / l).

Če ni podatkov o vsebnosti praznin v grobem agregatu, indikator Vn je mogoče vzeti znotraj 0,42...0,45.

Koeficient drsenja , za toge betonske mešanice je treba uporabiti v območju 1,05 ... 1,15 in za plastične mešanice - 1,25 ... 1,40 (za visoko mobilnost mešanice OK je treba upoštevati višje vrednosti).

Slika 3 - Določitev porabe cementa in agregata

5 . CorrIzračun potreb mešanice po vodi

Ugotovljeno razmerje komponent betonske mešanice je predmet obveznega preverjanja in po potrebi prilagoditve. Sestavo betona preverjamo in prilagajamo računsko in eksperimentalno s pripravo in preskušanjem poskusnih šarž in kontrolnih vzorcev.

Na prvi stopnji se preveri uporabnost betonske mešanice preskusne serije glede na skladnost z določeno vrednostjo. Če se dejanski kazalnik uporabnosti mešanice zaradi lastnosti uporabljenega cementa in lokalnega agregata razlikuje od predpisanega Y , potem se prilagodi pretok vode IN po formulah:

Za plastično mešanico;

Za trde mešanice.

Nato z uporabo formul (6), (7), (8) preračunamo sestavo in pripravimo novo šaržo za preverjanje obdelovalnosti zmesi. Če ustreza določeni vrednosti, se kontrolne vzorce oblikuje in določi dejanska gostota betonske mešanice ter tlačna trdnost po določenem času strjevanja. V nasprotnem primeru se prilagoditev potrebe mešanice po vodi ponovi.

Slika 4 - Prilagoditev potrebe po vodi betonske mešanice

Slika 5 - Prilagoditev porabe cementa in agregatov

6 . Prilagoditev sestave betona glede na dejansko gostoto betonanNoahmešanice

Dobljena vrednost gostote betonske mešanice mora sovpadati z izračunano vrednostjo (dopustno odstopanje ±2%). Če je zaradi povečane vsebnosti zraka odstopanje večje od 2 %, t.j. če

kje , (V, Šč, C in p - projektna poraba komponent na 1 m3 betona), potem se dejanska vsebnost zraka v stisnjeni betonski mešanici določi po formuli

kjer je dejanska gostota zmesi, določena z neposrednim merjenjem.

Nato se po formuli izračuna dejanska absolutna prostornina agregatov

kot tudi dejanska poraba agregatov - po formulah:

kje r- masno razmerje drobnega in grobega agregata v projektni sestavi betona.

Slika 6 - Prilagoditev sestave betona glede na dejansko gostoto mešanice

7 . Prilagoditev vodocementnega razmerja

Po določenem času utrjevanja se kontrolni vzorci betona testirajo na stiskanje.

Če se dejanska tlačna trdnost betona razlikuje od predpisane vrednosti za več kot ±15%, je treba prilagoditi sestavo betona; za povečanje trdnosti je treba povečati porabo cementa, tj. C/IN, za zmanjšanje moči - zmanjša.

Rafinirana vrednost C/IN se lahko izračuna po formulah:

a) če, potem

b) če, potem

kje je dejanska trdnost betona.

Po ugotovitvi zahtevane vrednosti se ponovno izračuna sestava betona po formulah (6), (7) in (8) ter pripravi kontrolna šarža, po kateri se ponovno preverijo vsi parametri betona.

Slika 7 - Prilagoditev vodocementnega razmerja

Slika 8 - Prilagoditev porabe cementa in agregata glede na prilagojeno vodocementno razmerje

8 . Določanje proizvodne sestave betona in števila mAmateriali nin mešanje betonskega mešalnika

V proizvodnji se pri pripravi betona pogosto uporabljajo mokri agregati. Pri določanju proizvodne sestave betona je treba upoštevati količino vlage v agregatih, ki se izračuna po formulah:

kjer in je vsebnost vlage v pesku in drobljenem kamnu, % .

Poraba cementa s to prilagoditvijo sestave ostane nespremenjena.

Pri nalaganju cementa in agregatov v betonski mešalnik je njihova začetna prostornina večja od prostornine nastale betonske mešanice, saj se med mešanjem masa stisne: zrna cementa se nahajajo v prazninah med zrni peska, zrna peska - med zrni drobljenega kamna. . Za oceno nakladalne prostornine betonskega mešalnika se uporablja tako imenovani koeficient izkoristka betona.

kjer je nasipna gostota cementa, peska in drobljenega kamna, nasipna gostota agregatov pa je vzeta v njihovem naravnem (mokrem) stanju.

Približno lahko v tem delu vzamemo 1100 kg/m3, 1450 kg/m3 oziroma 1380 kg/m3.

Pri izračunu količine materialov za eno serijo betonskega mešalnika se predpostavlja, da vsota prostornin cementa, peska in drobljenega kamna (v razsutem stanju) ustreza prostornini bobna mešalnika betona. Potem bo prostornina betona na serijo enaka

,

kje - posoda mešalnika betona.

Poraba materialov na serijo se določi po formulah:

; ;

; .

Slika 9 - Izračun proizvodne sestave betona in količine materialov za mešanje betonskega mešalnika

9. Izdelava matematičnih modelov odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave na podlagi rezultatov načrtovanega eksperimenta

Priporočljivo je načrtovati poskuse in konstruirati matematične modele odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave za prilagajanje sestave betona med njegovo pripravo, pri organizaciji proizvodnje izdelkov z uporabo nove tehnologije, pa tudi v primeru uporabe avtomatskih sistemov vodenja procesov.

Izdelava matematičnih modelov eksperimentalnih odvisnosti lastnosti betona od njegove sestave vključuje naslednje korake:

1) razjasnitev, odvisno od specifične naloge, optimiziranih parametrov (trdnost betona, obdelavnost betonske mešanice itd.);

2) izbor dejavnikov, ki določajo variabilnost optimiziranih parametrov;

3) določitev osnovne začetne sestave betonske mešanice;

4) izbira intervalov za različne dejavnike;

5) izbira intervalov za različne faktorje;

6) izbira načrta in pogojev za izvedbo poskusov;

7) izračun vseh sestav betonske mešanice v skladu z izbranim načrtom in izvedbo poskusa;

8) obdelava rezultatov eksperimenta s konstrukcijo matematičnih modelov odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od izbranih dejavnikov.

Glede na specifično nalogo so lahko dejavniki, ki določajo sestavo betonske mešanice: IN/C (C/IN) zmesi, poraba vode (ali cementa), poraba agregata ali razmerje med njima r, dodatni stroški itd.

Glavna začetna sestava se določi v skladu z navodili v odstavkih. 1 - 7. Vrednosti faktorjev v glavni začetni sestavi se imenujejo osnovne (povprečne ali ničelne ravni). Stopnje variacije dejavnikov v poskusu so odvisne od vrste njegove zasnove. Za poenostavitev evidenc in kasnejših izračunov. Ravni faktorjev se uporabljajo v kodirani obliki, kjer "+1" označuje najvišjo raven, "0" srednjo raven in "-1" spodnjo raven. Vmesne stopnje faktorjev v kodirani obliki se izračunajo po formuli

kje Xi - pomen i-th faktor v kodirani obliki; Xi- pomen i-th dejavnik v svoji naravni obliki; X 0i- glavna raven i-th faktor; Xjaz- variacijski interval i-th faktor.

Za izdelavo matematičnih modelov odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave je priporočljivo uporabiti trifaktorski načrtovani eksperiment tipa IN-D13, ki vam omogoča pridobivanje nelinearnih kvadratnih modelov in ima dobre statistične značilnosti.

Načrt tega poskusa je prikazan v tabeli 4.

Tabela 4 – Vrsta načrtovanega poskusa IN-D13

Matrika načrtovanja	Naravne vrednosti spremenljivk	Lastnosti betona (dobitek)

			IN/C

Poleg tega je za določitev ponovljivosti meritev izhodnih parametrov potrebno vsaj trikrat podvojiti poskuse (izvesti poskusne serije) na ničelni točki (vsi faktorji na glavni ravni) in jih enakomerno porazdeliti med preostale serije.

V skladu z izbranim poskusnim načrtom se izračunajo naravne vrednosti spremenljivih faktorjev in sestava betonske mešanice v posameznem poskusu.

Naravne vrednosti spremenljivk se izračunajo po formuli

in zapisano v tabeli 4.

Sestava betonske mešanice v vsakem poskusu se izračuna po formulah:

kjer je absolutna prostornina agregatov v 1 m3 betona, l.

Na podlagi rezultatov načrtovanega eksperimenta tipa B-D13 so matematični modeli odvisnosti oblike

Y=20,67+0,1x1-0,29x2+0,57x3+0,25x12-1,13x22+1,85x32+0,12 x1 x2-0,52x1x3+0,08x2 x3 - regresijska enačba

Koeficienti modela so izračunani z uporabo L- matrike po formuli

kje je ustrezen element L- matrice.

L- matriko za načrtovan poskus, kot je IN-D 13 je prikazano v tabeli 5.

Tabela 5 - L- matriko za načrt IN-D 13

Po pridobitvi matematičnih modelov se preveri pomembnost (razlika od nič) koeficientov modela in njegova ustreznost. .

Pomembnost koeficientov se preveri s pomočjo Studentovega testa ( t -merilo), ki se izračuna po formuli

kjer je povprečna kvadratna napaka pri določanju koeficientov,

kjer je varianca ponovljivosti v vzporednih poskusih; Zi- vrednosti, podane za načrt IN-D 13 v tabeli 6.

Tabela 6 - Vrednosti Zi za načrt IN-D 13

Ocenjena vrednost t - kriterije primerjamo s tabelarnim t tabela za izbrano raven pomembnosti (običajno) in dano število prostostnih stopinj (- število poskusov na ničelni točki).

če t < t tabela, se ta koeficient šteje za nepomembnega, vendar ustreznega člena enačbe ni mogoče zavreči, saj so v enačbi (34) vsi koeficienti med seboj korelirani in zavrnitev katerega koli člena zahteva ponoven izračun modela. Za preverjanje ustreznosti modela izračunajte varianco ustreznosti po formuli

kje je vrednost konkretne preučevane nepremičnine v u- ta izkušnja; - vrednost proučevane lastnosti betona v u- ta poskus, izračunan z uporabo enačbe (34); m- število pomembnih koeficientov, vključno z b 0 .

Določite izračunano vrednost Fisherjevega kriterija ( F - kriterij) po formuli

ki se primerja s tabelarnim F tabela za število prostostnih stopinj: in in izbrana stopnja pomembnosti (običajno.)

Enačba velja za ustrezno, če F<F V primeru pozitivnega rezultata testiranja ustreznosti modela se lahko uporablja za reševanje različnih problemov.

Slika 10 - Konstrukcija matematičnega modela odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave

Preverjanje ustreznosti:

F=0,60921 - izračunana vrednost kr. Fisher

f1=n-m - prvo število prostostnih stopinj

f2=n0-1- drugo število prostostnih stopinj

n0 - število poskusov na ničelni točki

n=10 - število poskusov

n=8 - število pomembnih koeficientov

Ker je vrednost kr. Fisher (F=0,60921) je manjša od tabele vrednosti cr. Fisher (Ftable = 199,5), potem enačba velja za ustrezno.

Slika 11 - Konstrukcija matematičnega modela odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave (2)

Slika 12 - Konstrukcija matematičnega modela odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave (3)

Slika 13 - Konstrukcija matematičnega modela odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave (4)

Slika 14 - Konstrukcija matematičnega modela odvisnosti lastnosti betonske mešanice in betona od njegove sestave (5)

10. Grafi trdnosti glede na W/C, C in R

1) Graf št. 1: Odvisnost X1 (poraba cementa) od X2 (W/C) pri X3 = 0 (razmerje med drobnim in grobim agregatom R).

Ko je X3 = 0, je enačba videti takole:

Največja trdnost betona pri konstantnem razmerju med drobnim in grobim agregatom X3 = 0 je 22,56 MPa.

				Trdnost Rb, MPa

2) Graf št. 2: Odvisnost X1 (poraba cementa) od X3 (razmerje med drobnim in grobim agregatom R) pri X2 = 0 (W/C).

Največja trdnost betona pri konstantni porabi cementa X2 = 0 je 23,32 MPa.

Slika 18 - Graf trdnosti glede na W/C in R

3) Graf št. 3: Odvisnost X3 (razmerje med drobnim in grobim agregatom R) od X2 (W/C) pri X1 = 0 (poraba cementa).

Ko je X2 = 0, je enačba videti takole:

Največja trdnost betona pri konstantnem W/C X1 = 0 je 22,25 MPa.

				Trdnost Rb, MPa

Slika 20 - Graf moči glede na C in R

Seznamuporabljena literatura

1. Voznesenski V.A., Ljašenko T.V., Ogarkov B.L. Numerične metode za reševanje konstrukcijskih in tehnoloških problemov na računalniku. - Kijev: Šola Vyshcha, 1989. -328 str.

2. Bazhenov Yu.M. Tehnologija betona. - M .: Višja šola, 1987. - 415 str.

Objavljeno na Allbest.ru

...

Podobni dokumenti

Določanje vodocementnega razmerja, potrebe po vodi betonske mešanice, porabe cementa in agregatov. Izdelava matematičnih modelov odvisnosti lastnosti betonskih mešanic in betona od sestave. Analiza vpliva variabilnosti sestave betona na njegove lastnosti.

tečajna naloga, dodana 04/10/2015

Preučevanje postopka za določanje zahtevane trdnosti in izračun sestave težkega betona. Izris grafa razmerja med trdnostnim koeficientom betona in porabo cementa. Študija strukture betonske mešanice in njene mobilnosti, temperaturne transformacije betona.

tečajna naloga, dodana 28.07.2013

Namen razreda cementa glede na razred betona. Izbira nazivne sestave betona, določitev vodocementnega razmerja. Poraba vode, cementa, grobega agregata. Eksperimentalno preverjanje in prilagajanje nazivne sestave betona.

test, dodan 19.06.2012

Določitev in pojasnitev zahtev za beton in betonsko mešanico. Ocena kakovosti in izbor materialov za beton. Izračun začetne sestave betona. Določitev in namen delovne sestave betona. Izračun skupnih stroškov materiala.

tečajna naloga, dodana 13.4.2012

Zahteve za opaž. Metode za zagotavljanje projektne zaščitne plasti betona. Zasnova sestave betonske mešanice. Projektiranje in izračun opažev. Vzdrževanje betona, opaž in kontrola kakovosti. Prevoz betonske mešanice do mesta polaganja.

predmetno delo, dodano 27.12.2012

Ocena agresivnosti vodnega okolja glede na beton. Določanje parametrov sestave betona v conah I, II in III, optimalnega deleža peska v mešanici agregata, porabe vode in porabe cementa. Izračun sestave betonske mešanice z metodo absolutnega volumna.

tečajna naloga, dodana 05/12/2012

Določitev vodocementnega razmerja, porabe vode, cementa, aditivov, grobih in finih agregatov, povprečne gostote sveže vloženega gradbenega materiala in njegovega ocenjenega koeficienta tečenja za izračun začetne sestave težkega betona.

test, dodan 02.06.2010

Izbira in prilagoditev sestave betona. Značilnosti in obseg izdelkov. Izračun dolžine armaturne palice za prednapenjanje. Čiščenje in mazanje kalupov, zbijanje betonske mešanice, toplotna in vlažna obdelava ter kondicioniranje izdelkov, dodelava in pakiranje.

tečajna naloga, dodana 21.02.2013

Mehanske lastnosti betona in sestava betonske mešanice. Izračun in izbira sestave navadnega betona. Prehod iz laboratorijske sestave betona v proizvodno. Uničenje betonskih konstrukcij. Racionalno razmerje materialov, ki sestavljajo beton.

tečajna naloga, dodana 03.08.2014

Zahteve za opaž. Priprava in montaža okovja. Metode za zagotavljanje projektne zaščitne plasti betona. Prevoz betonske mešanice do mesta polaganja. Vzdrževanje betona, opaž in kontrola kakovosti. Polaganje in zbijanje betonske mešanice.

Izobraževalni in metodološki priročnik

UDK 69-50 (07)

Recenzent:

Doktor ekonomije, profesor Grakhov V.P.

Sestavil:

Matematično modeliranje v gradbeništvu. Izobraževalni in metodološki priročnik/ Comp. Ivanova S.S. – Iževsk: Založba IzhSTU, 2012. – 100 str.

UDK 69-50 (07)

O Ivanova S.S. 2012

Ó Založba IzhSTU, 2012

Uvod

1. Pregled uporabe modelov v ekonomiji

1.1. Zgodovinski pregled

2. Glavne vrste problemov, ki se rešujejo med organizacijo, načrtovanjem in vodenjem gradnje

2.1. Težave z distribucijo

2.2. Nadomestna opravila

2.3. Iskalne naloge

2.6. Problemi teorije razporejanja

3. Modeliranje v gradbeništvu

3.1. Temeljne določbe

3.2. Vrste ekonomsko-matematičnih modelov na področju organizacije, načrtovanja in vodenja gradnje

3.2.1. Modeli linearnega programiranja

3.2.2. Nelinearni modeli

3.2.3. Modeli dinamičnega programiranja

3.2.4. Optimizacijski modeli (postavka optimizacijskega problema)

3.2.5. Modeli upravljanja zalog

3.2.6. Celoštevilski modeli

3.2.7. Digitalno modeliranje (metoda surove sile)

3.2.8. Simulacijski modeli

3.2.9. Probabilistično-statistični modeli

3.2.10. Modeli teorije iger

3.2.11. Iterativni agregacijski modeli

3.2.12. Organizacijski in tehnološki modeli

3.2.13. Grafični modeli

3.2.14. Omrežni modeli

4. Organizacijsko modeliranje sistemov vodenja gradnje

4.1. Glavne usmeritve modeliranja sistemov vodenja gradnje

4.2. Vidiki organizacijskih in upravljavskih sistemov (modeli)

4.3. Razdelitev organizacijskih in upravljavskih modelov v skupine

4.3.1. Modeli prve skupine

4.3.2. Modeli druge skupine

4.4. Vrste modelov prve skupine

4.4.1. Odločitveni modeli

4.4.2. Informacijski modeli komunikacijskega omrežja

4.4.3. Kompaktni informacijski modeli

4.4.4. Integrirani informacijski in funkcionalni modeli

4.5. Vrste modelov druge skupine

4.5.1. Modeli organizacijskih in tehnoloških povezav

4.5.2. Model organizacijskih in vodstvenih odnosov

4.5.3. Model faktorske statistične analize managerskih povezav

4.5.4. Deterministični funkcionalni modeli

4.5.5. Organizacijski modeli čakalnih vrst

4.5.6. Organizacijski in informacijski modeli

4.5.7. Glavne faze in principi modeliranja

5. Metode korelacijsko-regresijske analize odvisnosti med dejavniki, vključenimi v ekonomske in matematične modele

5.1. Vrste korelacijske in regresijske analize

5.2. Zahteve za dejavnike, vključene v model

5.3. Parna korelacijsko-regresijska analiza

5.4. Multipla korelacijska analiza

UVOD

Za izgradnjo objekta je potrebno organizirati usklajeno delo vseh udeležencev gradnje.

Gradnja poteka v nenehno spreminjajočih se razmerah. Elementi takega procesa so med seboj povezani in medsebojno vplivajo, kar otežuje analizo in iskanje optimalnih rešitev.

Vsak model temelji na ohranitvenih zakonih. Povezujejo spremembe faznih stanj sistema in zunanje sile, ki delujejo nanj.

Vsak opis sistema, objekta (gradbenega podjetja, procesa gradnje stavbe itd.) Se začne z idejo o njihovem stanju v danem trenutku, imenovanem faza.

Uspešnost raziskav, analiz, napovedi obnašanja gradbenega sistema v prihodnosti, t.j. pojav želenih rezultatov njegovega delovanja je v veliki meri odvisen od tega, kako natančno raziskovalec »ugane« tiste fazne spremenljivke, ki določajo obnašanje sistema. Z vključitvijo teh spremenljivk v nek matematični opis (model) tega sistema za analizo in napovedovanje njegovega obnašanja v prihodnosti lahko uporabimo dokaj obsežen in dobro razvit arzenal matematičnih metod in elektronske računalniške tehnologije.

Opis sistema v matematičnem jeziku imenujemo matematični model, opis ekonomskega sistema pa ekonomsko-matematični model.

Številne vrste modelov so našle široko uporabo za predhodno analizo, načrtovanje in iskanje učinkovitih oblik organizacije, načrtovanja in vodenja gradnje.

Ker je formulacija katerega koli problema, vključno z algoritmom za njegovo reševanje, v nekem smislu nekakšen model, poleg tega pa se ustvarjanje katerega koli modela začne s formulacijo problema, smo ugotovili, da je mogoče temo modeliranja začeti z seznam glavnih nalog, s katerimi se soočajo gradbeniki.

Same matematične metode niso predmet obravnave v tem učbeniku, ampak so podani konkretni modeli in naloge, ki upoštevajo njihov pomen in pogostost uporabe v praksi organizacije, načrtovanja in vodenja gradnje.

Pri izdelavi modela kompleksnih gradbenih projektov so v proces modeliranja in analize modelov vključeni programerji, matematiki, sistemski inženirji, tehnologi, psihologi, ekonomisti, menedžerji in drugi strokovnjaki, uporablja pa se tudi elektronsko računalniška tehnologija.

1. PREGLED UPORABE MODELOV V EKONOMIJI

1.1. Zgodovinski pregled

Matematika se v človeški praksi uporablja že zelo dolgo. Geometrija in algebra sta bili dolga stoletja uporabljeni za različne ekonomske izračune in meritve. Čeprav so razvoj matematike dolgo določale predvsem potrebe naravoslovja in notranja logika matematike same, ima uporaba matematičnih metod tudi v ekonomiji bogato preteklost.

Utemeljitelj klasične politične ekonomije, W. Petty (1623-1687), je v predgovoru svoje »Politične aritmetike« zapisal: »... namesto da bi uporabljal besede samo v primerjalnih in presežnih stopnjah in se zatekal k špekulativnim argumentom, sem vzel pot izražanja svojih mnenj v jeziku števil, uteži in mer ...« (V. Petty. Ekonomska in statistična dela. M., Sotsekgiz, 1940, str. 156).

Prvi model nacionalnega gospodarstva na svetu je ustvaril francoski znanstvenik F. Quesnay (1694-1774). Leta 1758 je objavil prvo različico svoje slavne "Ekonomske tabele", imenovane "cikcak"; druga različica - "aritmetična formula" - je bila objavljena leta 1766. »Ta poskus,« je zapisal K. Marx o tabeli F. Quesnayja, »izveden v drugi tretjini 18. stoletja, v času otroštva politične ekonomije, je bil zelo genialna ideja, nedvomno najbolj genialna od vseh, kar jih je postavila politična ekonomija. naprej do danes«. (Marx K., Engels F. Dela. 2. izd., zvezek 26, 1. del, str. 345).

»Ekonomska tabela« F. Quesnayja je diagram (grafični in numerični model) procesa družbene reprodukcije, iz katerega sklepa, da se normalen potek družbene reprodukcije lahko izvaja le ob upoštevanju določenih optimalnih materialnih razmerij.

Dela K. Marxa so imela pomemben vpliv na razvoj metodologije ekonomskih in matematičnih raziskav. Njegov »Kapital« vsebuje veliko primerov uporabe matematičnih metod: podrobno parametrično analizo formule za povprečni dobiček; enačbe, ki se nanašajo na absolutno, diferencialno in skupno najemnino; matematična formulacija razmerja med stroški in produktivnostjo dela (stroški so premosorazmerni s produktivno močjo dela), zakonitosti mase presežne vrednosti in denarnega obtoka, pogoji za oblikovanje proizvodnih cen itd. P. Lafargue je v svojih spominih na K. Marxa zapisal: »V višji matematiki je našel dialektično gibanje v njegovi najbolj logični in hkrati najpreprostejši obliki. Verjel je tudi, da znanost doseže popolnost šele, ko ji uspe uporabiti matematiko .” (Spomini Marxa in Engelsa. M., Državna politična založba, 1956, str. 66).

V okviru meščanske ekonomske znanosti 19-20 stoletja je mogoče razlikovati tri glavne stopnje v razvoju ekonomskih in matematičnih raziskav: matematično šolo v politični ekonomiji, statistično smer in ekonometrijo.

Predstavniki matematične šole so verjeli, da je določbe ekonomske teorije mogoče utemeljiti le matematično, vse zaključke, pridobljene z drugimi metodami, pa je mogoče v najboljšem primeru sprejeti kot znanstvene hipoteze. Ustanovitelj matematične šole je francoski znanstvenik, izjemen matematik, filozof, zgodovinar in ekonomist O. Cournot (1801-1877), ki je leta 1838 izdal knjigo "Študija o matematičnih načelih teorije bogastva". Najvidnejši predstavniki matematične šole so bili: G. Gossen (1810-1858), | L. Walras (1834-1910), W. Jevons (1835-1882), F. Edgeworth (1845-1926), V. Pareto (1848-1923), V. Dmitrijev (1868-1913). Na splošno ta šola pripada subjektivistični smeri buržoazne politične ekonomije, katere ideološka in metodološka načela so marksistični znanstveniki večkrat kritizirali. Hkrati je matematična šola pokazala velike možnosti za uporabo matematičnega modeliranja.

Predstavniki matematične šole so predlagali in poskušali razviti številne pomembne teoretične pristope in načela: koncept ekonomskega optimuma; uporaba kazalnikov stroškov in mejnih učinkov pri racionalnem gospodarjenju; medsebojna povezanost problemov oblikovanja cen in splošne sorazmernosti nacionalnega gospodarstva. Koncepti indiferenčnih krivulj in jedro ekonomskega sistema F. Edgewortha, koncept večciljnega optimuma V. Pareta, model splošnega ekonomskega ravnotežja L. Walrasa, formula za izračun skupnih stroškov dela in drugo. viri V. Dmitrieva so vključeni v sodobno ekonomsko znanost in se pogosto uporabljajo.

Statistična smer (statistična ekonomija), ki je nastala na pragu 20. stoletja, je bila z vidika raziskovalne metodologije neposredno nasprotje matematične šole.

Želja po uporabi empiričnega gradiva in konkretnih ekonomskih dejstev je bila nedvomno progresiven pojav. Ideologi statistične ekonomije so, ko so razglašali tezo »znanost je merjenje«, zašli v drugo skrajnost in zanemarili teoretično analizo. V okviru statističnega področja je bilo razvitih veliko število »matematičnih in statističnih modelov« ekonomskih pojavov, ki se uporabljajo predvsem za kratkoročno napovedovanje. Tipičen primer je "Harvard Barometer" - model za napovedovanje gospodarskih razmer (napovedovanje "ekonomskega vremena"), ki so ga razvili znanstveniki na univerzi Harvard (ZDA) pod vodstvom T. Parsona (1902-1979).

Harvardski in drugi podobni modeli, izdelani v številnih kapitalskih državah, so bili po naravi ekstrapolativni in niso razkrili temeljnih dejavnikov gospodarstva. Zato so vrsto let po prvi svetovni vojni, v obdobju gospodarske stabilizacije, čeprav so dobro napovedovali »gospodarsko vreme«, »niso opazili« bližanja največje gospodarske krize v zgodovini kapitalizma leta 1929. -1932. Propad newyorške borze jeseni 1929 je hkrati pomenil upad statističnega trenda v ekonomskih in matematičnih raziskavah.

Zasluga statistične smeri je razvoj metodoloških vprašanj za obdelavo ekonomskih podatkov, statistične posplošitve in statistične analize (usklajevanje časovnih vrst in njihova ekstrapolacija, identifikacija sezonskih in cikličnih nihanj, faktorska analiza, korelacijske in regresijske analize, testiranje statističnih hipotez). itd.).

Statistično smer je nadomestila ekonometrija, ki poskuša združiti prednosti matematične šole in statistične ekonomije. Izraz ekonometrija (ali ekonometrija) je uvedel norveški znanstvenik R. Frisch (1895-1973) za označevanje nove smeri v ekonomski znanosti, ki je razglašal, da je ekonomija sinteza ekonomske teorije, matematike in statistike. Ekonometrija je najhitreje rastoče področje buržoazne ekonomije. Težko je navesti takšne teoretične in praktične probleme kapitalističnega gospodarstva, pri reševanju katerih trenutno ne bi uporabljali matematičnih metod in modelov. Matematično modeliranje je postalo najbolj prestižno področje v ekonomski znanosti na Zahodu. Ni naključje, da se Nobelove nagrade za ekonomijo od ustanovitve (1969) praviloma podeljujejo za ekonomsko-matematične raziskave. Med Nobelovimi nagrajenci so najvidnejši ekonometriki: R. Frisch, J. Tinbergen, P. Samuelson, D. Heath, V. Leontiev, T. Koopmans, K. Arrow.

1.2. Razvoj modeliranja v Rusiji

Prispevek ruskih znanstvenikov k razvoju ekonomskih in matematičnih raziskav je pomemben. Leta 1867 je revija Otechestvennye Zapiski objavila zapis o učinkovitosti uporabe matematičnih metod pri preučevanju ekonomskih pojavov. Ruske publikacije so kritično analizirale dela Cournota, Walrasa, Pareta in drugih zahodnih matematičnih ekonomistov.

Od konca 19. stoletja so se pojavile izvirne ekonomske in matematične študije V.K.Dmitrieva, V.S.Vojtinskega, V.V.

Zanimivo delo o uporabi metod matematične statistike, zlasti o korelacijski analizi ekonomskih pojavov, je opravil A.A. Chuprov (1874-1926).

Najvidnejši ekonomist in matematik predrevolucionarne Rusije je bil V. K. Dmitriev (1868-1913). Njegovo prvo znano delo, "Teorija vrednosti D. Ricardo", je bilo objavljeno leta 1898. Glavno delo V.K. Dmitrieva je bilo objavljeno leta 1904 in je bilo izdelava modela skupnih stroškov dela in uravnoteženih cen v obliki sistema linearnih enačb s tehnološkimi koeficienti. Nekaj desetletij kasneje je "Formula V. K. Dmitrieva" našla široko uporabo pri modeliranju medsektorskih povezav v ZSSR in v tujini.

E. E. Slutsky (1880-1948) je splošno znan po svojem delu na področju teorije verjetnosti in matematične statistike. Leta 1915 je v italijanski reviji "Giomale degli economisti e rivista di statistica", št. 1, objavil članek "K teoriji uravnoteženja potrošniškega proračuna", ki je imel velik vpliv na ekonomsko in matematično teorijo. 20 let kasneje je ta članek prejel svetovno priznanje.

Dobitnik Nobelove nagrade D. Hicks je v svoji knjigi "Stroški in kapital" (1939) zapisal, da je bil E. E. Slutsky prvi ekonomist, ki je naredil pomemben korak naprej v primerjavi s klasiki matematične šole. D. Hicks je njegovo knjigo ocenil kot prvo sistematično študijo teorije, ki jo je odkril E.E. Slutsknn" (Hicks I.R. Vrednost in kapital. Oxford, 1946, str. 10). Angleški matematični ekonomist R. Allen, avtor znane knjige "Matematična ekonomija ,« je v reviji »Econometrics« zapisal, da je imelo delo Slutskyja »velik in trajen vpliv na razvoj ekonometrije«.

E. E. Slutsky je eden od utemeljiteljev praksiologije (vede o načelih racionalne človeške dejavnosti) in prvi, ki je uvedel praksiologijo v ekonomsko znanost.

Znanstvena dela in praktične dejavnosti V. I. Lenina (1870-1924) so imele velik pomen pri razvoju ekonomske znanosti in oblikovanju nacionalnega sistema računovodstva, načrtovanja in upravljanja. Dela V. I. Lenina so določila glavna načela in probleme raziskovanja modeliranja socialističnega gospodarstva.

V dvajsetih letih prejšnjega stoletja so ekonomske in matematične raziskave v ZSSR potekale predvsem v dveh smereh: modeliranje procesa razširjene reprodukcije in uporaba metod matematične statistike pri preučevanju gospodarskih razmer in pri napovedovanju.

Eden prvih sovjetskih strokovnjakov na področju ekonomskih in matematičnih raziskav je bil A. A. Konyus, ki je leta 1924 objavil članek na to temo "Problem resničnega indeksa življenjskih stroškov" (Ekonomski bilten Inštituta za tržne raziskave, 1924, št. 11-12).

Pomemben mejnik v zgodovini ekonomskih in matematičnih raziskav je bil razvoj G.A. Feldmana (1884-1958). ) matematični modeli gospodarske rasti. Svoje glavne ideje za modeliranje socialističnega gospodarstva je orisal v dveh člankih, objavljenih v reviji "Planned Economy" v letih 1928-1929. Članki G. A. Feldmana so bili daleč pred delom zahodnih ekonomistov o makroekonomskih dinamičnih modelih in še v večji meri. o dvosektorskih modelih gospodarske rasti . V tujini so te članke »odkrili« šele leta 1964 in vzbudili veliko zanimanje.

V letih 1938-1939 Leningrajski matematik in ekonomist L. V. Kantorovich je kot rezultat analize številnih problemov pri organizaciji in načrtovanju proizvodnje oblikoval nov razred pogojno ekstremnih problemov z omejitvami v obliki neenakosti in predlagal metode za njihovo reševanje. To novo področje uporabne matematike so kasneje poimenovali "linearno programiranje". L. V. Kantorovich (1912-1986) je eden od ustvarjalcev teorije optimalnega načrtovanja in upravljanja nacionalnega gospodarstva, teorije optimalne uporabe surovin. Leta 1975 je L.V. Kantorovich skupaj z ameriškim znanstvenikom T. Koopmansom prejel Nobelovo nagrado za raziskave o optimalni rabi virov.

Velik prispevek k uporabi ekonomskih in matematičnih metod je prispeval: ekonomist V.V. Novozhilov. (1892-1970) - na področju merjenja stroškov in rezultatov v narodnem gospodarstvu; ekonomist in statistik V.S (1894-1964) - v zadevah ekonomskega in matematičnega modeliranja načrtovanega gospodarstva; ekonomist Fedorenko N.P. - pri reševanju problemov optimalnega delovanja gospodarstva države z uporabo matematičnih metod in računalnikov pri načrtovanju in upravljanju, pa tudi številni drugi ugledni ruski ekonomisti in matematiki.

2. GLAVNE VRSTE NALOG, KI SE REŠUJEJO MED ORGANIZACIJO, NAČRTOVANJEM IN VODENJEM GRADNJE

Vloga tehnično-ekonomskih izračunov za analizo in napovedovanje dejavnosti, načrtovanje in vodenje gradbenih sistemov je pomembna, ključna vprašanja med njimi pa so izbor optimalnih rešitev. V tem primeru je odločitev izbira parametrov, ki označujejo organizacijo določenega dogodka, ta izbira pa je skoraj v celoti odvisna od odločevalca.

Odločitve so lahko dobre ali slabe, razumne ali nerazumne. Prakso praviloma zanimajo optimalne rešitve, tj. tiste, ki so iz takšnih ali drugačnih razlogov prednostne, boljše od drugih.

Izbire optimalnih rešitev, še posebej v kompleksnih verjetnostnih dinamičnih sistemih, kamor sodijo sistemi zgradb, je nepredstavljivo brez široke uporabe matematičnih metod za reševanje ekstremnih problemov in računalniške tehnologije.

Gradnja katerega koli gradbenega projekta se pojavi z izvedbo velikega števila raznolikih del v določenem zaporedju.

Za opravljanje katerega koli dela je potreben določen nabor materialov, strojev, opreme male mehanizacije, človeških virov, organizacijske podpore itd. itd. Poleg tega pogosto količina in kakovost dodeljenih sredstev določata trajanje tega dela.

S pravilno razdelitvijo virov (ali, kot pravijo, "optimalno") lahko vplivate na kakovost, čas, stroške gradnje in produktivnost dela.

2.1. Težave z distribucijo

Težave z alokacijo na splošno nastanejo, ko je treba opraviti več del in je treba izbrati najučinkovitejšo alokacijo virov in delovnih mest. Tovrstne naloge lahko razdelimo v tri glavne skupine.

Za porazdelitvene probleme prve skupine so značilni naslednji pogoji.

1. Obstajajo številne operacije, ki jih je treba izvesti.

2. Obstaja dovolj sredstev za dokončanje vseh operacij.

3. Nekatere operacije je mogoče izvesti na različne načine, z uporabo različnih virov, njihovih kombinacij, količin.

4. Nekateri načini izvedbe operacije so boljši od drugih (cenejši, donosnejši, manj zamudni itd.).

5. Vendar razpoložljiva količina virov ne zadostuje za optimalno izvedbo vsake operacije.

Cilj je najti razporeditev virov med operacijami, ki poveča splošno učinkovitost sistema. Na primer, skupni stroški se lahko minimizirajo ali skupni dobiček se lahko maksimira.

Druga skupina nalog se pojavi, ko ni dovolj razpoložljivih virov za izvedbo vseh možnih operacij. V teh primerih morate izbrati operacije, ki jih želite izvesti, in tudi določiti, kako jih izvesti.

Naloge tretje skupine se pojavijo, ko je mogoče regulirati količino sredstev, tj. določite, katere vire je treba dodati in katere opustiti.

Večina tovrstnih problemov se rešuje z namenom optimizacije gradbenih in tehnoloških procesov. Glavno sredstvo njihove analize so matematični modeli programiranja in mrežni diagrami.

2.2. Nadomestna opravila

Težave z zamenjavo so povezane z napovedovanjem zamenjave opreme zaradi njihove fizične ali moralne obrabe.

Obstajata dve vrsti težav z zamenjavo. Problemi prve vrste obravnavajo predmete, katerih nekatere lastnosti se med delovanjem poslabšajo, vendar sami po precej dolgem času popolnoma odpovejo, ko so opravili veliko dela.

Dlje kot takšen objekt deluje brez preventivnega vzdrževanja ali večjih popravil, manj učinkovito postaja njegovo delovanje in stroški na enoto proizvodnje se povečujejo.

Za ohranitev učinkovitosti takšnega objekta je potrebno vzdrževanje in popravila, kar je povezano z določenimi stroški. Dlje ko se uporablja, višji so stroški vzdrževanja v delovnem stanju. Po drugi strani pa, če se takšni objekti pogosto menjajo, se znesek investicije poveča. Naloga se v tem primeru zmanjša na določitev vrstnega reda in časa zamenjave, pri katerem se doseže najmanj skupnih obratovalnih stroškov in kapitalskih naložb.

Najpogostejša metoda za reševanje tovrstnih problemov je dinamično programiranje.

Predmet obravnavane skupine so cestni gradbeni stroji, oprema, vozila itd.

Za drugo vrsto objektov je značilno, da popolnoma odpovejo nenadoma ali po določenem času. V tej situaciji se naloga zmanjša na določitev ustreznega časa individualne ali skupinske zamenjave, pa tudi pogostosti te operacije, hkrati pa poskušamo razviti strategijo zamenjave, ki zmanjšuje stroške, vključno s stroški elementov, izgubami zaradi okvar in zamenjavo. stroški.

Predmeti druge vrste vključujejo dele, komponente, enote strojev in opreme za gradnjo cest. Za reševanje problemov druge vrste se uporabljajo verjetnostne metode in statistično modeliranje.

Poseben primer težav pri zamenjavi so težave pri delovanju in popravilu.

2.3. Iskalne naloge

Problemi iskanja se nanašajo na določanje najboljših načinov za pridobivanje informacij, da bi zmanjšali skupni znesek dveh vrst stroškov: stroškov pridobivanja informacij in stroškov, ki nastanejo zaradi napak pri odločitvah zaradi pomanjkanja točnih in pravočasnih informacij. Te naloge se uporabljajo pri obravnavi širokega spektra vprašanj pri analizi gospodarskih dejavnosti gradbene organizacije, na primer problemi ocenjevanja in napovedovanja, konstrukcija ukrepov za nadzor kakovosti, številni računovodski postopki itd.

Sredstva, ki se uporabljajo za reševanje takih problemov, so predvsem verjetnostna. in statistične metode.

2.4. Opravila v čakalni vrsti ali opravila v čakalni vrsti

Teorija čakalnih vrst je veja teorije verjetnosti, ki preučuje obnašanje sistemov, ki so praviloma sestavljeni iz 2 podsistemov (glej sliko 1). Eden od njih je ponudnik storitev, drugi pa je vir zahtevkov za storitev, ki tvorijo tok, ki je naključne narave. Zahtevki, ki niso servisirani in v trenutku, ko prispejo, tvorijo čakalno vrsto, zato teorijo čakalnih vrst včasih imenujemo tudi teorija čakalnih vrst. Ta teorija odgovarja na vprašanje, kakšen mora biti servisni podsistem, da bodo skupne ekonomske izgube zaradi izpadov servisnega podsistema in izpadov aplikacij v čakalni vrsti minimalne. Številni problemi s področja organizacije in vodenja v gradbeništvu se nanašajo na probleme, ki se rešujejo z metodami teorije čakalnih vrst.

riž. 1. Sistem čakalne vrste

Tako se pri problemih čakalne vrste ali problemih čakalne vrste upoštevajo povezave med potekom gradbenih del in stroji, ki se uporabljajo za njihovo mehanizacijo. Tipična opravila čakalne vrste so opravila v zvezi z določanjem števila gradbenih ekip, strojev, organizacijo delovanja avtomatskih linij in sistemov za kompleksno avtomatizacijo proizvodnih procesov, opravila v zvezi z organizacijsko in proizvodno strukturo gradbenih organizacij itd.

Za reševanje problemov čakalne vrste se pogosto uporablja statistična metoda testiranja, ki je sestavljena iz računalniške reprodukcije konstrukcijskega procesa ali, z drugimi besedami, naključnega procesa, ki opisuje obnašanje sistema, čemur sledi statistična obdelava rezultatov njegovega delovanja. .

2.5. Naloge upravljanja zalog (ustvarjanje in shranjevanje)

Vsako gradbišče potrebuje gradbene konstrukcije, materiale, polizdelke, vodovodno opremo itd. Dobave in poraba sta praviloma neenakomerna, pogosto pa je vanje vnesen tudi element naključnosti. Da gradbena proizvodnja ne zamuja zaradi pomanjkanja materialov in opreme, mora imeti gradbišče določeno zalogo le-teh. Vendar pa ta zaloga ne bi smela biti velika, saj je skladiščenje gradbenega materiala in različne opreme povezano s stroški gradnje in obratovanja skladišč, pa tudi z zamrznitvijo sredstev, porabljenih za njihovo pridobitev in gradnjo.

Obstajata dve vrsti stroškov, povezanih s porabljenimi viri /1/:

Stroški, ki rastejo z rastjo zalog;

Stroški, ki se zmanjšujejo, ko se zaloge povečujejo.

Naraščajoči stroški vključujejo stroške skladiščenja; izgube zaradi staranja, kvarjenja; davki, zavarovalne premije itd.

Stroški, ki se zmanjšujejo s povečanjem zalog, so lahko štiri vrste.

1. Stroški, povezani s pomanjkanjem zalog ali poznimi dobavami.

2. Stroški pripravljalnih in nabavnih operacij: večje količine izdelkov so kupljene ali izdelane, redkeje so naročila obdelana.

3. Prodajna cena ali neposredni proizvodni stroški. Prodaja po znižanih cenah in nakup blaga v večjih količinah zahtevata povečanje skladiščnih zalog.

4. Stroški zaradi zaposlovanja, odpuščanja in usposabljanja delavcev.

Reševanje težav z upravljanjem zalog vam omogoča, da določite, kaj naročiti, koliko naročiti in kdaj, da zmanjšate stroške, povezane tako z ustvarjanjem presežkov zalog kot z njihovimi nezadostnimi ravnmi, ko nastanejo dodatni stroški zaradi motenj v ritmu proizvodnje. .

Orodja za analizo tovrstnih problemov so teorija verjetnosti, statistične metode, metode linearnega in dinamičnega programiranja ter metode modeliranja.

2.6. Problemi teorije razporejanja

Številne naloge načrtovanja in vodenja gradbene proizvodnje zahtevajo časovno urejanje uporabe nekega fiksnega sistema virov (montažnih konstrukcij, žerjavov, vozil, delovne sile itd.) za izvedbo vnaprej določenega nabora del v optimalnem časovnem obdobju.

V teoriji razporejanja se preučuje vrsta vprašanj, povezanih s konstrukcijo optimalnih (po enem ali drugem kriteriju) urnikov in razvojem matematičnih metod za pridobivanje rešitev na podlagi uporabe ustreznih modelov.

Problemi teorije razporejanja se pojavijo povsod, kjer je treba izbrati tak ali drugačen vrstni red dela, tj. Modeli, ki jih proučuje teorija načrtovanja, odražajo specifične situacije, ki se pojavijo med organizacijo katere koli proizvodnje, med načrtovanjem gradnje in v vseh primerih namenske človeške dejavnosti.

Praktični cilji zahtevajo, da proizvodni model gradnje bolj celovito odraža realne procese in je hkrati tako enostaven, da je možno doseči želene rezultate v sprejemljivem času. Modeli, analizirani v okviru teorije razporejanja, so razumen kompromis med temi naravnimi, a protislovnimi težnjami.

3. MODELIRANJE V GRADBENIŠTVU

3.1. Temeljne določbe

Modeliranje se uporablja za predhodno analizo in iskanje učinkovitih oblik organizacije ter načrtovanje in vodenje gradnje.

Na splošno so modeli razdeljeni na fizično in ikonično. Fizični modeli ohranjajo fizično naravo izvirnika.

Vloga tehnično-ekonomskih izračunov za analizo in napovedovanje dejavnosti, načrtovanje in vodenje gradbenih sistemov je pomembna, ključna vprašanja med njimi pa so izbor optimizacijskih rešitev. V tem primeru je odločitev izbira parametrov, ki označujejo organizacijo določenega dogodka, izbira pa je skoraj v celoti odvisna od odločevalca.

Odločitve so lahko dobre ali slabe, razumne ali nerazumne. Strokovnjake praviloma zanimajo optimalne rešitve, tiste, ki so iz takšnih ali drugačnih razlogov prednostne pred drugimi.

Izbire optimalnih rešitev, zlasti v kompleksnih verjetnostnih matematičnih sistemih, kamor sodijo tudi gradbeni sistemi, je nepredstavljivo brez široke uporabe matematičnih metod za reševanje problemov in računalniške tehnologije.

Gradnja katerega koli gradbenega projekta se pojavi z izvedbo velikega števila raznolikih del v določenem zaporedju.

Razmislimo o več tipičnih problemih in pridobimo matematično formulacijo zanje (matematični model).

Problem 1 (Težava s prevozom.)

V mestu sta 2 betonarni. Prvi proizvede 400 ton betona na dan, drugi pa 560 ton betona iz teh obratov pošljejo na 4 gradbišča. Prvo gradbišče prejme 220 ton betona na dan, drugo - 200 ton, tretje - 180 ton in četrto - 360 ton, znani so stroški prevoza ene tone betona iz vsakega obrata na posamezno gradbišče. Prevoz betona od tovarn do gradbišč je treba organizirati tako, da so skupni stroški vseh prevozov minimalni.

Preidimo od vsebinske postavitve problema k matematični. Če označimo s C ij - strošek prevoza ene tone betona od i - th rastlina pri j-ju gradbišče (to so znane količine), in skozi x ij- število ton betona, ki ga je treba pretočiti iz i - th rastlina pri j-th gradbišča (to so zahtevane vrednosti), potem bodo stroški vseh prevozov izraženi s funkcijo

Treba je najti minimum te funkcije, vendar x ij niso samostojni, so med seboj povezani z naslednjimi omejitvami. Iz prve tovarne izvozijo 400 ton betona, torej

Iz drugega obrata izvozijo 560 ton, torej

Na prvo gradbišče pripeljejo 220 ton betona, torej

Podobno lahko napišete tudi za druga gradbišča:

torej x ij mora izpolnjevati naslednji sistem omejitev:

Tem omejitvam je treba dodati x ij> 0 (ker se beton ne vozi nazaj z gradbišč v tovarne).

Problem je matematično formuliran na naslednji način: poiščite minimum funkcije (5.1), če njeni argumenti zadoščajo sistemu enačb (5.2).

Problem 2 (problem z viri).

Ekipa razpolaga z naslednjimi resursi: 300 kg kovine, 100 m 2 stekla, 160 delovnih ur (človeških ur) delovnega časa. Brigada je zadolžena za proizvodnjo dveh vrst izdelkov - A in IN. Cena enega izdelka A - 10 rubljev, za njegovo izdelavo potrebujete 4 kg kovine, 2 m 2 stekla in 2 delovni uri delovnega časa. Cena enega izdelka IN - 12 rubljev, za njegovo proizvodnjo potrebujete 5 kg kovine, 1 m 2 stekla in 3 delovne ure delovnega časa. Obseg proizvodnje je treba načrtovati tako, da so njeni stroški čim večji.

Vzemimo matematični model tega problema. Označimo z x 1 in x 2število izdelkov A in IN, ki jih je treba načrtovati (to so zahtevane količine).

Celotni stroški izdelkov, načrtovanih za proizvodnjo, so izraženi s funkcijo

Vklopljeno x 1 izdelkov A potrebno 4x 1 kg kovine, 2x 1 m 2 stekla in 2x 1 osebna ura delovnega časa. Vklopljeno x 2 izdelkov IN potrebno 5x 2, kg kovine, x 2 m 2 stekla in 3x 2

osebna ura delovnega časa. Ker so torej viri določeni, morajo biti izpolnjeni naslednji pogoji:

4 x 1 +5 x 2< 300

2 x 1 + x 2< 100 (5.4)

2 x 1 +3 x 2<160

Zato moramo najti maksimum funkcije (5.3), če njeni argumenti zadoščajo sistemu neenačb (5.4).

Naloga 3.

Potrebno je izrezati določeno število dveh vrst surovcev iz pločevine določene oblike A in IN za izdelavo 90 kom. izdelkov. Za en izdelek potrebujete 2 vrstici tipa A in 10 tipskih praznin IN. Obstajajo štiri možnosti za rezanje ene zvite pločevine. Število praznin A in IN, izrezani iz enega lista za vsako možnost rezanja, kot tudi odpadki rezanja so navedeni v tabeli 9.

Koliko zvitih listov je treba razrezati z vsako možnostjo za izdelavo 90 kosov. izdelke, tako da je odpadek pri rezanju minimalen?

Tabela 9 – Izhodiščni podatki za nalogo 3.

Možnost rezanja	Praznine, kos.	Odpadki pri rezanju, enot.
A	IN

Naj x 1, x 2, x 3, x 4- število valjanih listov, razrezanih po možnostih 1, 2, 3, 4.

Odpadki pri rezanju bodo

Za izdelavo 90 kom. izdelki zahtevajo 180 praznih tipov A in 900 - vrsta IN. Posledično morajo argumenti funkcije (5.5) zadoščati sistemu enačb

4 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 180 (5.6)

3 x 2 + 9 x 3 + 12 x 4 =900

Posledično je matematična naloga formulirana na naslednji način: najti minimum funkcije (5.5), če njeni argumenti izpolnjujejo sistem enačb (5.6).

Naloga 4.

Treba je ustvariti najcenejšo mešanico treh snovi. Mešanica mora vsebovati najmanj 6 enot kemične snovi A, vsaj 8 enot snovi IN in najmanj 12 enot snovi Z. Obstajajo 3 vrste izdelkov (I, II, III), ki vsebujejo te kemikalije v naslednjih razmerjih (Tabela 10).

Tabela 10 – Izhodiščni podatki za nalogo 4

Izdelki	Snovi
A	IN	Z
jaz
II
III		1,5

Stroški ene enote teže izdelka 1 - 2 rublja, izdelka II - 3 rublje, izdelka III - 2,5 rublja.

Dobimo matematični model problema.

Z x 1, x 2, x 3 označimo število izdelkov tipa I, II, III, ki so vključeni v mešanico.

Strošek mešanice treh snovi je izražen s funkcijo

Sistem omejitev bo dobil obliko

2 x 1 + x 2 + 3 x 3 > 6

x 1 + 2 x 2 + 1,5 x 3 >8 (5.8)

3 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 >12

Matematično je naloga formulirana na naslednji način: poiščite minimum funkcije (5.7), pod pogojem, da njeni argumenti izpolnjujejo sistem neenačb (5.8).

Naloga 5.

Pri nalogi 1 so bile uporabljene vse proizvodne surovine (beton). Zgodi pa se tudi, da nekatere surovine niso porabljene. Takšni problemi se imenujejo odprti. Razmislimo o eni od teh težav.

Na voljo so 4 skladišča goriva z rezervami 500, 300, 500 in 200 ton ter 3 bencinske črpalke s potrebami 300, 400 in 300 ton .

Tabela 11 – Vhodni podatki za nalogo 5

Prevoz goriva je treba načrtovati tako, da so stroški minimalni.

V problemu je količina zalog goriva v skladiščih za 500 ton večja od potreb na postajah. Zato bomo uvedli fiktivno bencinsko črpalko IN s potrebo po gorivu 500 ton, kar je enako razliki med vsoto zalog in vsoto potreb. Stroški prevoza goriva iz skladišč A 1, A 2, A 3, A 4 na fiktivno postajo B 4 nastavite na nič.

Zdaj se formulacija obravnavanega problema ne razlikuje od formulacije problema 1.

Naloga 6.

Poiščite optimalno maso ravnega nosilca, če so izpolnjeni pogoji trdnosti (slika 22).

Slika 22 – Trdnostni pogoji za problem 6

Ta naloga ni toliko ekonomska kot tehnična – naloga optimizacije gradbenih konstrukcij.

Statično nedoločen sistem zgibnih palic (truss) je obremenjen s silo F.

Treba je izbrati območja preseka A tako da skupna masa M kmetija je bila minimalna.

Dolžina palice L, m, znano:

l 1 = 6,3246

l 2 = 6,03 pr. n. št. = 2

l 3 = 12 CO = 0,6

l 4 =2,6

Masa nosilca je določena s formulo

kje ρ - specifična teža materiala palice, kg / m3.

Izraz (5.9) je ciljna funkcija, katere minimum je treba najti.

Sestavili bomo sistem omejitev iz trdnostnih pogojev. Zahteva se, da napetosti v vseh palicah ne presegajo absolutne vrednosti izračunane upornosti materiala palic R (enako za napetost in stiskanje).

Posledično je sistem omejitev predstavljen v obliki dveh neenakosti

Prva neenakost v (5.11) pomeni, da palica deluje v stiskanju, druga - v napetosti. Ker palice 1 in 4 delujejo samo v stiskanju, 2 pa samo v napetosti, lahko sistem (5.11) zapišemo v obliki

Na podlagi ravnotežnih pogojev na vozliščih nosilca dobimo tri enačbe s štirimi neznankami:

Zamenjava teh izrazov v neenačbe (5.12) in uvedba dodatnih spremenljivk pri, dobimo sistem omejitev v obliki enačb:

y 1 – RA 1 +1,5812N 4 =-1,5812F

y 2 – RA 2 -5,025N 4 =0

y 3 – RA 3 -6,5N 4 =1,5F (5.13)

y 4 – RA 3 +6,5N 4 =-1,5F

y 5 – RA 4 -N 4 =0

Tako je matematično problem zastavljen na naslednji način: poiščite minimum funkcije (5.9), če njeni argumenti izpolnjujejo sistem omejitev (5.13).

Tako za različne proizvodne probleme dobimo isti matematični model, ki je sestavljen iz naslednjega.

Najti moramo ekstrem neke funkcije, katere argumenti zadovoljujejo nek sistem enačb ali neenačb. Takšni problemi se imenujejo problemi matematičnega programiranja.

Funkcijo, katere globalni ekstrem najdemo, imenujemo ciljna funkcija, pogoje, ki veljajo za njene argumente, pa sistem omejitev.

Naravne omejitve so tiste, pri katerih se vsi argumenti ciljne funkcije štejejo za nenegativne.

Za kanonično obliko problema matematičnega programiranja se šteje takšna oblika, ko je najden globalni minimum ciljne funkcije in je sistem omejitev, razen naravnih, izražen z enakostmi.

Obstajajo naslednje vrste matematičnega programiranja: linearno, nelinearno, dinamično itd.

Matematično programiranje imenujemo linearno, če sta ciljna funkcija in sistem omejitev linearna glede na vse argumente.

V nasprotnem primeru se matematično programiranje imenuje nelinearno.

Matematično programiranje se imenuje dinamično, če so pogoji obravnavanega problema odvisni od časa.

Območje možnih sprememb argumentov ciljne funkcije, ki jih določa sistem omejitev, se imenuje območje dovoljenih vrednosti argumentov. Zato je treba minimum ciljne funkcije iskati v točkah, ki pripadajo tej regiji. Lahko se pokaže, da bo v primeru linearnega programiranja obseg veljavnih vrednosti argumentov:

z 2 argumentoma - konveksni poligon, saj je sistem omejitev v tem primeru (grafično) sistem ravnih črt (slika 23);

Slika 23 – Razpon sprejemljivih vrednosti z dvema argumentoma

s 3 argumenti – konveksni polieder;

za n > 3 argumente je to konveksni hiperpolitop.

V matematičnem programiranju govorimo o iskanju globalnega ekstrema ciljne funkcije. Ta ekstrem je lahko znotraj ali na meji območja sprejemljivih vrednosti argumentov.

Lahko se pokaže, da v primeru linearnega programiranja, če obstaja globalni ekstrem ciljne funkcije, se ta pojavi samo v ogliščih poligona, poliedra in hiperpolitopa.

Dajmo splošno formulacijo problema linearnega programiranja v kanonični obliki. Najti moramo globalni minimum linearne funkcije n argumenti (ciljne funkcije)

pod pogojem, da argumenti te funkcije zadoščajo naslednjemu konsistentnemu (z rešitvijo), nedoločenemu (z veliko rešitvami) sistemu linearnih algebrskih enačb,

a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2 n x n =b 2(5.15)

…....................................

a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +…+a mn x n =b m

katerih matrični rang r< n .

(Rang matrike je najvišji vrstni red determinante, ki ni nič, ki jo je mogoče sestaviti iz te matrike.) Rang matrike je enak številu temeljnih neznank. Predpostavimo, da vse bk > 0. Oštevilčimo neznanke tako, da bodo prve neznanke proste r neznano (p = n – r). Potem drugi r neznanke, imenovane osnovne, lahko izrazimo iz sistema (5.15):

x p +1 =β 1 + α 12 x 1 + α 12 x 2 +…+α 1 p x p

x p +2 =β 2 + α 21 x 1 + α 22 x 2 +…+α 2 p x p(5.16)

…................................................

x p + r =β r + α r 1 x 1 + α r 2 x 2 +…+α rp x p

Sistem (5.16) imenujemo osnovni sistem omejitev.

Če nadomestimo (5.16) v izraz (5.14) namesto osnovnih neznank, dobimo ciljno funkcijo v osnovni obliki

Podajanje ciljne funkcije v obliki (5.17) in sistema omejitev v obliki (5.16) imenujemo osnovna oblika problema linearnega programiranja (ta oblika problema linearnega programiranja je potrebna za simpleks metodo).

Naročen prevzem n količine (x 1, x 2, ..., x n), ki zadošča sistemu omejitev (5.15) ali (5.16), imenujemo dopustna rešitev (načrt).

Dopustno rešitev, pri kateri so vse proste neznanke enake nič, imenujemo dopustna osnovna rešitev ali referenčni načrt (to so le oglišča mnogokotnika, poliedra, hiperpoliedra). Naročen prevzem n količine (x 1 x 2, ..., x n), ki zadošča sistemu omejitev (5.15) ali (5.16) in daje globalni ekstrem ciljne funkcije (5.14) ali (5.17), imenujemo optimalna rešitev (načrt).

Znano je, da optimalni načrt, če obstaja, spada v množico referenčnih načrtov.

Število referenčnih načrtov je končno. Je enaka Z(število kombinacij n Avtor: r). Ampak, na primer, število Od 20 50 = 10 20– zelo velika, težko je našteti vse referenčne načrte, zato je tako naštevanje nerealno.

Ameriški ekonomist J. Dantzig je predlagal metodo usmerjenega naštevanja referenčnih načrtov, pri kateri ciljna funkcija ves čas pada. Ta metoda se imenuje simpleksna metoda. S tako usmerjenim iskanjem je treba izvesti največ 2n iskanje po referenčnih načrtih.

Predstavimo metodologijo uporabe simpleks metode v splošni obliki.

1 Omejitveni sistem oblike (5.15) je treba reducirati na njegovo osnovno obliko v skladu s pravili linearne algebre.

2 Ko ste v osnovnem sistemu enačb postavili vse proste neznanke enake nič, morate najti vrednosti osnovnih neznank. Če te vrednosti niso negativne, bo prvi izvirni načrt referenca. V nasprotnem primeru je treba izbrati druge proste neznanke, tako da je izvirna zasnova referenca.

3 V izrazu ciljne funkcije moramo osnovne neznanke nadomestiti z izrazi iz osnovnega sistema enačb.

4 Če v najdenem izrazu ciljne funkcije postavimo vse proste neznanke na nič, poiščemo vrednost ciljne funkcije, ki ustreza izbranemu referenčnemu načrtu.

5 Če so vsi koeficienti za proste neznanke v ciljni funkciji nenegativni, bo najdeni referenčni načrt optimalen, najdena vrednost ciljne funkcije pa njen želeni globalni minimum.

6 Če niso vsi koeficienti za proste neznanke ciljne funkcije nenegativni, potem morate izbrati prosto neznanko z negativnim koeficientom, na primer, x α(običajno se vzame neznanka z največjim absolutnim negativnim koeficientom). Nato v osnovni sistem enačb vnesite vse proste neznanke, razen x α, enako nič in določi največjo možno vrednost x α, v katerem so vse osnovne neznanke nenegativne.

7 Tiste osnovne neznanke, npr. x β, ki pri podani vrednosti izgine x α, je treba namesto tega izbrati za prosto neznano x .

Neznano x α prehod v kategorijo osnovnih.

Računalniška programska oprema vsebuje standardni program za reševanje problemov linearnega programiranja po simpleksni metodi.