- 1+2*3/4-5=?
- 1*3/(2+4)?
- 1+2*(3-1*5)=?
- Če v primeru ni oklepajev in obstajajo operacije - samo seštevanje in odštevanje ali samo množenje in deljenje - se v tem primeru vsa dejanja izvajajo po vrstnem redu od leve proti desni.
- Če primer vsebuje mešane operacije - seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, potem najprej izvedemo operaciji množenje in deljenje, nato pa šele seštevanje ali odštevanje.
- Če primer vsebuje oklepaje, se najprej izvedejo dejanja v oklepajih.
Če primerjamo funkciji seštevanje in odštevanje z množenjem in deljenjem, potem vedno najprej izračunamo množenje in deljenje.
V primeru sta dve funkciji, kot sta seštevanje in odštevanje, ter množenje in deljenje enakovredni. Vrstni red izvajanja je določen po vrstnem redu od leve proti desni.
Ne smemo pozabiti, da imajo dejanja v oklepajih v primeru posebno prednost. Torej, tudi če obstaja množenje zunaj oklepajev in seštevanje znotraj oklepajev, morate najprej sešteti in nato pomnožiti.
Da bi razumeli to temo, lahko obravnavamo vse primere enega za drugim.
Naj takoj upoštevamo, da naši izrazi nimajo oklepajev.
Torej, če je v primeru prvo dejanje množenje, drugo pa deljenje, potem najprej izvedemo množenje.
Če je v primeru prvo dejanje deljenje, drugo pa množenje, potem najprej izvedemo deljenje.
V takšnih primerih se dejanja izvajajo po vrstnem redu od leve proti desni, ne glede na uporabljene številke.
Če sta v primerih poleg množenja in deljenja še seštevanje in odštevanje, potem se najprej izvedeta množenje in deljenje, nato pa seštevanje in odštevanje.
Pri seštevanju in odštevanju tudi ni pomembno, katero od teh dejanj se izvede najprej, se upošteva od leve proti desni.
Razmislimo o različnih možnostih:
V tem primeru je prvo dejanje, ki ga je treba izvesti, množenje in nato seštevanje.
V tem primeru vrednosti najprej pomnožite, nato delite in šele nato seštejete.
V tem primeru morate najprej opraviti vse operacije v oklepajih, nato pa le še množenje in deljenje.
In zato se morate spomniti, da se v kateri koli formuli najprej izvedejo operacije, kot sta množenje in deljenje, nato pa šele odštevanje in seštevanje.
Tudi pri številkah, ki so v oklepajih, jih morate prešteti v oklepajih in šele nato narediti različne manipulacije, pri čemer se spomnite zgoraj opisanega zaporedja.
Prvi operaciji bosta: množenje in deljenje.
Šele nato se izvede seštevanje in odštevanje.
Če pa obstaja oklepaj, bodo dejanja, ki so v njih, izvedena prva. Tudi če je seštevanje in odštevanje.
Na primer:
V tem primeru bomo najprej pomnožili, nato 4 s 5, nato dodali 4 k 20. Dobili bomo 24.
Če pa je tako: (4+5)*4, potem najprej izvedemo seštevanje, dobimo 9. Nato 9 pomnožimo s 4. Dobimo 36.
Če primer vsebuje vse 4 operacije, sta najprej množenje in deljenje, nato pa seštevanje in odštevanje.
Ali v primeru treh različnih dejanj bo prvo množenje (ali deljenje), nato pa seštevanje (ali odštevanje).
Ko NI NOBENIH OKVELKOV.
Primer: 4-2*5:10+8=11,
1 dejanje 2*5 (10);
Apostol 2 10:10 (1);
3 dejanje 4-1 (3);
4 akcija 3+8 (11).
Vse 4 operacije lahko razdelimo v dve glavni skupini, v eni - seštevanje in odštevanje, v drugi - množenje in deljenje. Prvo bo dejanje, ki je prvo v primeru, torej skrajno levo.
Primer: 60-7+9=62, najprej potrebujete 60-7, nato se zgodi (53) +9;
Primer: 5*8:2=20, najprej potrebujete 5*8, nato se zgodi (40) :2.
Ko so v primeru OBSTOJI OGLEDAJI, se najprej izvedejo dejanja v oklepaju (v skladu z zgornjimi pravili), nato pa kot običajno.
Primer: 2+(9-8)*10:2=7.
1 dejanje 9-8 (1);
2. dejanje 1*10 (10);
Dejanja 3 10:2 (5);
4 akcija 2+5 (7).
Odvisno od tega, kako je izraz zapisan, poglejmo najpreprostejši številski izraz:
18 - 6:3 + 10x2 =
Najprej izvedemo operacije z deljenjem in množenjem, nato pa po vrsti od leve proti desni z odštevanjem in seštevanjem: 18-2+20 = 36
Če je to izraz z oklepaji, potem izvedite operacije v oklepajih, nato množenje ali deljenje in na koncu seštevanje/odštevanje, na primer:
(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24
Vse je pravilno: najprej izvedite množenje in deljenje, nato seštevanje in odštevanje.
Če v primeru ni oklepajev, se najprej izvedeta množenje in deljenje po vrstnem redu, nato pa seštevanje in odštevanje, enako po vrstnem redu.
Če primer vsebuje samo množenje in deljenje, bodo dejanja izvedena po vrstnem redu.
Če primer vsebuje samo seštevanje in odštevanje, bodo tudi dejanja izvedena po vrstnem redu.
Prvič, operacije v oklepajih se izvajajo po enakih pravilih, torej najprej množenje in deljenje, šele nato seštevanje in odštevanje.
22-(11+3X2)+14=19
Vrstni red izvajanja aritmetičnih operacij je strogo predpisan, da ne prihaja do neskladij pri izvajanju istovrstnih izračunov s strani različnih ljudi. Najprej se izvajata množenje in deljenje, nato seštevanje in odštevanje; če dejanja istega reda sledijo eno za drugim, se izvajajo v vrstnem redu od leve proti desni.
Če pri pisanju matematičnega izraza uporabljate oklepaje, morate najprej izvesti dejanja, navedena v oklepajih. Oklepaji pomagajo spremeniti vrstni red, ko je treba najprej izvesti seštevanje ali odštevanje, nato pa množenje in deljenje.
Vse oklepaje je mogoče razširiti in potem bo vrstni red izvajanja spet pravilen:
6*(45+15) = 6*45 +6*15
Bolje takoj v primerih:
V tem primeru najprej izvedemo množenje, saj je levo od deljenja. Nato delitev. Nato seštevanje zaradi bolj levega položaja in na koncu odštevanje.
Najprej računamo v oklepajih, nato pa množenje in deljenje.
Najprej izvedemo operacije v oklepajih: množenje, nato odštevanje. Sledi množenje zunaj oklepaja in seštevanje na koncu.
Množenje in deljenje sta na prvem mestu. Če so v primeru oklepaji, se dejanje v oklepajih upošteva na začetku. Kakršno koli znamenje je!
Tukaj se morate spomniti nekaj osnovnih pravil:
Na primer, 5+8-5=8 (vse naredimo po vrstnem redu - 5 dodamo 8 in nato odštejemo 5)
Na primer, 5+8*3=29 (najprej pomnožite 8 s 3 in nato dodajte 5)
Na primer, 3*(5+8)=39 (najprej 5+8 in nato pomnožite s 3)
Osnovna šola se bliža koncu in kmalu bo otrok zakorakal v napredni svet matematike. Toda že v tem obdobju se študent sooča s težavami znanosti. Pri opravljanju preproste naloge se otrok zmede in izgubi, kar na koncu vodi do negativne ocene za opravljeno delo. Da bi se izognili takšnim težavam, morate pri reševanju primerov znati krmariti po vrstnem redu, v katerem morate rešiti primer. Po nepravilni porazdelitvi dejanj otrok naloge ne opravi pravilno. Članek razkriva osnovna pravila za reševanje primerov, ki vsebujejo celotno paleto matematičnih izračunov, vključno z oklepaji. Postopki pri matematiki 4. razred pravila in primeri.
Pred dokončanjem naloge prosite otroka, naj oštevilči dejanja, ki jih bo izvedel. Če imate kakršne koli težave, prosim za pomoč.
Nekaj pravil, ki jih morate upoštevati pri reševanju primerov brez oklepajev:
Če naloga zahteva več dejanj, morate najprej izvesti deljenje ali množenje, nato pa . Vsa dejanja se izvajajo, ko pismo napreduje. V nasprotnem primeru rezultat odločitve ne bo pravilen.
Če morate v primeru izvesti, to naredimo po vrstnem redu, od leve proti desni.
27-5+15=37 (Pri reševanju primera nas vodi pravilo. Najprej izvedemo odštevanje, nato seštevanje).
Naučite svojega otroka, da vedno načrtuje in številči izvedena dejanja.
Odgovori na vsako rešeno dejanje so zapisani nad primerom. Tako bo otrok veliko lažje krmaril med dejanji.
Razmislimo o drugi možnosti, kjer je treba dejanja porazdeliti po vrstnem redu:
Kot vidite, pri reševanju velja pravilo: najprej iščemo zmnožek, nato razliko.
To so preprosti primeri, ki zahtevajo skrben premislek pri reševanju. Mnogi otroci so osupli, ko vidijo nalogo, ki ne vsebuje samo množenja in deljenja, ampak tudi oklepaje. Študent, ki ne pozna postopka izvajanja dejanj, ima vprašanja, ki mu preprečujejo dokončanje naloge.
Kot piše v pravilu, najprej najdemo produkt ali količnik, nato pa vse ostalo. Vendar obstajajo oklepaji! Kaj storiti v tem primeru?
Reševanje primerov z oklepaji
Poglejmo konkreten primer:
- Pri izvajanju te naloge najprej poiščemo vrednost izraza v oklepajih.
- Začeti morate z množenjem, nato seštejte.
- Ko je izraz v oklepajih rešen, nadaljujemo z dejanji zunaj njih.
- Po poslovniku je naslednji korak množenje.
- Končna faza bo.
Kot lahko vidimo na vizualnem primeru, so vsa dejanja oštevilčena. Za utrjevanje teme povabite otroka, naj sam reši več primerov:
Vrstni red, v katerem naj se izračuna vrednost izraza, je že urejen. Otrok bo moral samo neposredno izvršiti odločitev.
Zakomplicirajmo nalogo. Otrok naj sam najde pomen izrazov.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Naučite svojega otroka rešiti vse naloge v osnutku. V tem primeru bo imel študent možnost popraviti napačno odločitev ali madeže. Popravki v delovnem zvezku niso dovoljeni. Otroci s samostojnim izpolnjevanjem nalog vidijo svoje napake.
Starši pa bi morali biti pozorni na napake, otroku pomagati razumeti in jih popraviti. Učenčevih možganov ne smete preobremeniti z velikimi količinami nalog. S takimi dejanji boste odvrnili otrokovo željo po znanju. V vsem mora biti občutek za sorazmernost.
Oddahnite si. Otroka je treba zamotiti in si vzeti odmor od pouka. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da nimajo vsi matematičnega uma. Morda bo vaš otrok odrasel v slavnega filozofa.
Alfa pomeni realno število. Enako v zgornjih izrazih pomeni, da če neskončnosti dodate število ali neskončnost, se nič ne spremeni, rezultat bo ista neskončnost. Če vzamemo za primer neskončno množico naravnih števil, potem lahko obravnavane primere predstavimo v tej obliki:
Da bi jasno dokazali, da so imeli prav, so se matematiki domislili številnih različnih metod. Osebno na vse te metode gledam kot na šamane, ki plešejo s tamburami. V bistvu se vsi spuščajo v to, da so bodisi nekatere sobe nezasedene in se vselijo novi gostje ali pa nekatere obiskovalce vržejo ven na hodnik, da naredijo prostor za goste (zelo človeško). Svoj pogled na takšne odločitve sem predstavila v obliki domišljijske zgodbe o Blondinki. Na čem temelji moje sklepanje? Selitev neskončnega števila obiskovalcev traja neskončno veliko časa. Potem ko smo sprostili prvo sobo za gosta, bo eden od obiskovalcev vedno hodil po hodniku iz svoje sobe v naslednjo do konca časa. Seveda lahko faktor časa neumno zanemarimo, vendar bo to v kategoriji "noben zakon ni napisan za bedake." Vse je odvisno od tega, kaj počnemo: prilagajamo realnost matematičnim teorijam ali obratno.
Kaj je "neskončni hotel"? Neskončni hotel je hotel, ki ima vedno poljubno število prostih postelj, ne glede na to, koliko sob je zasedenih. Če so vse sobe v neskončnem hodniku za "obiskovalce" zasedene, pride še en neskončni hodnik s sobami za "goste". Takih koridorjev bo neskončno veliko. Poleg tega ima »neskončni hotel« neskončno število nadstropij v neskončnem številu zgradb na neskončnem številu planetov v neskončnem številu vesolj, ki jih je ustvarilo neskončno število bogov. Matematiki se ne morejo distancirati od banalnih vsakdanjih problemov: vedno je samo en Bog-Alah-Buda, samo en hotel, en sam hodnik. Matematiki torej poskušajo žonglirati s serijskimi številkami hotelskih sob in nas prepričati, da je mogoče »vtakniti nemogoče«.
Logiko svojega razmišljanja vam bom predstavil na primeru neskončne množice naravnih števil. Najprej morate odgovoriti na zelo preprosto vprašanje: koliko nizov naravnih števil obstaja - enega ali več? Na to vprašanje ni pravilnega odgovora, saj smo si številke izmislili sami; številke v naravi ne obstajajo. Da, narava je odlična pri štetju, vendar za to uporablja druga matematična orodja, ki jih ne poznamo. Kaj si misli Narava, vam povem drugič. Ker smo si izmislili števila, se bomo sami odločili, koliko nizov naravnih števil obstaja. Razmislimo o obeh možnostih, kot se za prave znanstvenike spodobi.
Prva možnost. »Nam bo dan« en sam niz naravnih števil, ki spokojno leži na polici. Ta komplet vzamemo s police. To je to, drugih naravnih števil ni več na polici in jih ni kam vzeti. Temu nizu ga ne moremo dodati, ker ga že imamo. Kaj pa, če res želite? Brez težav. Lahko vzamemo enega iz že vzetega kompleta in ga vrnemo na polico. Nato lahko enega vzamemo s police in ga dodamo tistemu, kar nam je ostalo. Posledično bomo spet dobili neskončno množico naravnih števil. Vse naše manipulacije lahko zapišete takole:
Dejanja sem zapisal v algebraičnem zapisu in v zapisu teorije množic s podrobnim seznamom elementov množice. Indeks pomeni, da imamo eno in edino množico naravnih števil. Izkaže se, da bo množica naravnih števil ostala nespremenjena le, če ji odštejemo eno in dodamo isto enoto.
Druga možnost. Na naši polici imamo veliko različnih neskončnih množic naravnih števil. Poudarjam - RAZLIČNI, kljub temu, da se praktično ne razlikujejo. Vzemimo enega od teh sklopov. Nato vzamemo eno iz druge množice naravnih števil in ga dodamo že vzeti množici. Seštejemo lahko celo dva niza naravnih števil. Tole dobimo:
Indeks "ena" in "dva" pomenita, da ti elementi pripadajo različnim nizom. Da, če neskončnemu nizu dodate enega, bo rezultat prav tako neskončen niz, vendar ne bo enak izvirnemu nizu. Če eni neskončni množici dodate še eno neskončno množico, je rezultat nova neskončna množica, sestavljena iz elementov prvih dveh množic.
Množica naravnih števil se uporablja za štetje na enak način kot ravnilo za merjenje. Zdaj pa si predstavljajte, da ste ravnilu dodali en centimeter. To bo druga linija, ki ne bo enaka prvotni.
Lahko sprejmete ali ne sprejmete moje sklepanje - to je vaša stvar. Toda če se kdaj srečate z matematičnimi težavami, pomislite, ali sledite poti napačnega razmišljanja, ki so ga utirale generacije matematikov. Navsezadnje študij matematike v nas najprej oblikuje stabilen stereotip razmišljanja in šele nato povečuje naše miselne sposobnosti (ali, nasprotno, odvzema svobodomiselnost).
Nedelja, 4. avgust 2019
Končeval sem postscript k članku o in videl to čudovito besedilo na Wikipediji:
Beremo: "... bogata teoretična osnova babilonske matematike ni imela celostnega značaja in je bila zmanjšana na niz različnih tehnik, brez skupnega sistema in baze dokazov."
Vau! Kako pametni smo in kako dobro znamo videti pomanjkljivosti drugih. Ali težko gledamo na sodobno matematiko v istem kontekstu? Če rahlo parafraziram zgornji tekst, sem osebno dobil naslednje:
Bogata teoretična osnova sodobne matematike ni celovite narave in je reducirana na niz različnih razdelkov, brez skupnega sistema in baze dokazov.
Ne bom šel daleč, da bi potrdil svoje besede - ima jezik in konvencije, ki se razlikujejo od jezika in konvencij mnogih drugih vej matematike. Ista imena v različnih vejah matematike imajo lahko različne pomene. Celo vrsto publikacij želim posvetiti najbolj očitnim napakam sodobne matematike. Se vidiva kmalu.
Sobota, 3. avgust 2019
Kako razdeliti množico na podmnožice? Če želite to narediti, morate vnesti novo mersko enoto, ki je prisotna v nekaterih elementih izbranega niza. Poglejmo si primer.
Naj imamo veliko A ki ga sestavljajo štiri osebe. Ta množica je oblikovana na podlagi "ljudi". Elemente te množice označimo s črko A, bo indeks s številko označeval zaporedno številko vsake osebe v tem nizu. Uvedimo novo mersko enoto "spol" in jo označimo s črko b. Ker so spolne značilnosti lastne vsem ljudem, vsak element nabora pomnožimo A glede na spol b. Upoštevajte, da je naš nabor »ljudi« zdaj postal nabor »ljudi s spolnimi značilnostmi«. Po tem lahko spolne značilnosti razdelimo na moške bm in ženske bw spolne značilnosti. Zdaj lahko uporabimo matematični filter: izberemo eno od teh spolnih značilnosti, ne glede na to, katero - moškega ali ženskega. Če ga ima oseba, ga pomnožimo z ena, če tega znaka ni, ga pomnožimo z nič. In potem uporabljamo redno šolsko matematiko. Poglej kaj se je zgodilo.
Po množenju, zmanjševanju in preurejanju smo na koncu dobili dve podmnožici: podmnožico moških Bm in podmnožica žensk Bw. Matematiki razmišljajo na približno enak način, ko uporabljajo teorijo množic v praksi. Vendar nam ne povedo podrobnosti, ampak nam dajo končni rezultat - "veliko ljudi sestavlja podskupina moških in podskupina žensk." Seveda se lahko vprašate: kako pravilno je bila matematika uporabljena v zgoraj opisanih transformacijah? Upam si zagotoviti, da so bile transformacije v bistvu izvedene pravilno; dovolj je poznavanje matematičnih osnov aritmetike, Boolove algebre in drugih vej matematike. kaj je O tem vam bom povedal kdaj drugič.
Kar zadeva nadnabore, lahko združite dva nabora v en nadnabor tako, da izberete mersko enoto, ki je prisotna v elementih teh dveh naborov.
Kot lahko vidite, je zaradi merskih enot in navadne matematike teorija množic relikt preteklosti. Znak, da s teorijo množic ni vse v redu, je, da so si matematiki izmislili svoj jezik in notacijo za teorijo množic. Matematiki so se obnašali kot nekoč šamani. Samo šamani vedo, kako »pravilno« uporabiti svoje »znanje«. Učijo nas tega »znanja«.
Na koncu vam želim pokazati, kako matematiki manipulirajo.
Ponedeljek, 7. januar 2019
V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zenon iz Eleje oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija »Ahil in želva«. Takole zveni:
Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.
To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes; znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.
Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.
Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."
Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:
V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.
Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.
Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:
Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.
V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.
Sreda, 4. julij 2018
Povedal sem vam že, da s pomočjo katerih poskušajo šamani razvrstiti »« realnost. Kako jim to uspe? Kako pravzaprav pride do oblikovanja množice?
Oglejmo si podrobneje definicijo nabora: "zbirka različnih elementov, zamišljena kot ena celota." Zdaj občutite razliko med dvema frazama: "predstavljivo kot celota" in "predstavljivo kot celota". Prva fraza je končni rezultat, set. Drugi stavek je predhodna priprava za oblikovanje množice. Na tej stopnji se realnost razdeli na posamezne elemente (»celoto«), iz katerih se nato oblikuje množica (»enotna celota«). Hkrati se skrbno spremlja dejavnik, ki omogoča združevanje "celote" v "eno celoto", sicer šamanom ne bo uspelo. Navsezadnje šamani že vnaprej vedo, kakšen komplet nam želijo pokazati.
Postopek vam bom pokazal na primeru. Izberemo "rdečo trdno snov v mozolju" - to je naša "celota". Hkrati vidimo, da so te stvari z lokom in so brez loka. Nato izberemo del "celote" in oblikujemo komplet "s pentljo". Tako se šamani prehranjujejo s povezovanjem svoje teorije niza z realnostjo.
Zdaj pa naredimo majhen trik. Vzemimo "trdno z mozoljem in lokom" in združimo te "celine" glede na barvo, izberemo rdeče elemente. Dobili smo veliko "rdečega". Sedaj pa še zadnje vprašanje: ali sta nastala niza "s pentljo" in "rdeč" isti niz ali dva različna sklopa? Samo šamani poznajo odgovor. Natančneje, sami ne vedo ničesar, a kot pravijo, tako bo.
Ta preprost primer kaže, da je teorija množic popolnoma neuporabna, ko gre za realnost. Kaj je skrivnost? Oblikovali smo komplet "rdeča trdna z mozoljem in pentljo." Oblikovanje je potekalo v štirih različnih merskih enotah: barva (rdeča), trdnost (polna), hrapavost (mozoljasto), okras (z lokom). Samo nabor merskih enot nam omogoča, da realne objekte ustrezno opišemo v matematičnem jeziku. Takole izgleda.
Črka "a" z različnimi indeksi označuje različne merske enote. V oklepaju so označene merske enote, po katerih se v predhodni fazi loči "celota". Iz oklepaja je vzeta merska enota, s katero je nabor oblikovan. Zadnja vrstica prikazuje končni rezultat - element niza. Kot lahko vidite, če uporabljamo merske enote za oblikovanje niza, potem rezultat ni odvisen od vrstnega reda naših dejanj. In to je matematika in ne ples šamanov s tamburini. Šamani lahko "intuitivno" pridejo do enakega rezultata, pri čemer trdijo, da je "očiten", ker merske enote niso del njihovega "znanstvenega" arzenala.
Z uporabo merskih enot je zelo enostavno razdeliti en niz ali združiti več nizov v en nadnabor. Oglejmo si podrobneje algebro tega procesa.
Sobota, 30. junij 2018
Če matematiki ne morejo reducirati pojma na druge pojme, potem ne razumejo ničesar o matematiki. Odgovorim: v čem se elementi ene množice razlikujejo od elementov druge množice? Odgovor je zelo preprost: števila in merske enote.
Danes vse, česar ne vzamemo, spada v neko množico (kot nam zagotavljajo matematiki). Mimogrede, ste v ogledalu na svojem čelu videli seznam tistih sklopov, ki jim pripadate? In takega seznama še nisem videl. Povedal bom več - nobena stvar v resnici nima oznake s seznamom sklopov, ki jim ta stvar pripada. Kompleti so vsi izumi šamanov. Kako jim to uspe? Poglejmo malo globlje v zgodovino in poglejmo, kako so izgledali elementi nabora, preden so jih šamani matematiki vzeli v svoje nabore.
Pred davnimi časi, ko še nihče ni slišal za matematiko in so imeli prstane samo drevesa in Saturn, so se po fizičnih poljih sprehajale ogromne črede divjih elementov množic (navsezadnje šamani še niso iznašli matematičnih področij). Izgledale so nekako takole.
Da, ne bodite presenečeni, z vidika matematike so vsi elementi nizov najbolj podobni morskim ježkom - iz ene točke, kot igle, merske enote štrlijo v vse smeri. Za tiste, ki vas spomnim, da lahko katero koli mersko enoto geometrično predstavimo kot odsek poljubne dolžine, število pa kot točko. Geometrično lahko katero koli količino predstavimo kot kup segmentov, ki štrlijo v različnih smereh iz ene točke. Ta točka je točka nič. Tega dela geometrijske umetnosti ne bom narisal (brez navdiha), vendar si ga zlahka predstavljate.
Katere merske enote tvorijo element množice? Vse vrste stvari, ki opisujejo določen element z različnih zornih kotov. To so starodavne merske enote, ki so jih uporabljali naši predniki in na katere so vsi že zdavnaj pozabili. To so sodobne merske enote, ki jih uporabljamo zdaj. Tudi to so nam neznane merske enote, ki si jih bodo izmislili naši zanamci in jih bodo uporabljali za opisovanje realnosti.
Geometrijo smo uredili – predlagani model elementov niza ima jasno geometrijsko predstavitev. Kaj pa fizika? Merske enote so neposredna povezava med matematiko in fiziko. Če šamani ne priznavajo merskih enot kot polnopravnega elementa matematičnih teorij, je to njihov problem. Osebno si ne morem predstavljati prave znanosti matematike brez merskih enot. Zato sem že na začetku zgodbe o teoriji množic govoril, da je v kameni dobi.
A pojdimo k najbolj zanimivemu - algebri elementov množic. Algebraično je vsak element množice produkt (rezultat množenja) različnih količin.
Namenoma nisem uporabil konvencij teorije množic, saj obravnavamo element množice v njegovem naravnem okolju pred pojavom teorije množic. Vsak par črk v oklepaju označuje ločeno količino, sestavljeno iz številke, označene s črko " n" in merska enota, označena s črko " a". Indeksi ob črkah kažejo, da so številke in merske enote različne. En element niza je lahko sestavljen iz neskončnega števila količin (kolikor imamo mi in naši potomci dovolj domišljije). Vsak oklepaj je geometrično upodobljen kot ločen segment V primeru z morskim ježkom je en nosilec ena igla.
Kako šamani sestavljajo sklope iz različnih elementov? Pravzaprav po merskih enotah ali po številkah. Ker ne razumejo ničesar o matematiki, vzamejo različne morske ježke in jih skrbno pregledajo v iskanju tiste igle, po kateri tvorijo niz. Če taka igla obstaja, potem ta element pripada množici; če je ni, potem ta element ni iz te množice. Šamani nam pripovedujejo bajke o miselnih procesih in celoti.
Kot ste morda uganili, lahko isti element pripada zelo različnim množicam. Nato vam bom pokazal, kako nastanejo množice, podmnožice in druge šamanske neumnosti. Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.
Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.
Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.
Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava.
Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...
In zdaj imam najbolj zanimivo vprašanje: kje je črta, za katero se elementi množice spreminjajo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.
Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.
Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."
Ko delamo z različnimi izrazi, ki vključujejo številke, črke in spremenljivke, moramo izvesti veliko število aritmetičnih operacij. Ko izvajamo pretvorbo ali izračunamo vrednost, je zelo pomembno, da sledimo pravilnemu vrstnemu redu teh dejanj. Z drugimi besedami, aritmetične operacije imajo svoj poseben vrstni red izvajanja.
Yandex.RTB R-A-339285-1
V tem članku vam bomo povedali, katera dejanja je treba izvesti najprej in katera pozneje. Najprej si poglejmo nekaj preprostih izrazov, ki vsebujejo le spremenljivke ali številske vrednosti ter znake za deljenje, množenje, odštevanje in seštevanje. Nato vzemimo primere z oklepaji in razmislimo, v kakšnem vrstnem redu jih je treba izračunati. V tretjem delu bomo podali potreben vrstni red transformacij in izračunov v tistih primerih, ki vključujejo znake korenov, potence in druge funkcije.
Definicija 1V primeru izrazov brez oklepajev je vrstni red dejanj določen nedvoumno:
- Vsa dejanja se izvajajo od leve proti desni.
- Najprej izvedemo deljenje in množenje, nato pa odštevanje in seštevanje.
Pomen teh pravil je lahko razumeti. Tradicionalni vrstni red pisanja od leve proti desni določa osnovno zaporedje izračunov, potreba po množenju ali deljenju pa je razložena s samim bistvom teh operacij.
Vzemimo nekaj nalog za jasnost. Uporabili smo le najpreprostejše številske izraze, da smo lahko vse izračune naredili miselno. Tako si lahko hitro zapomnite želeno naročilo in hitro preverite rezultate.
Primer 1
Pogoj: izračunajte koliko bo 7 − 3 + 6 .
rešitev
V našem izrazu ni oklepajev, prav tako ni množenja in deljenja, zato vsa dejanja izvajamo v določenem vrstnem redu. Od sedem najprej odštejemo tri, nato preostanku dodamo šest in na koncu dobimo deset. Tukaj je prepis celotne rešitve:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
odgovor: 7 − 3 + 6 = 10 .
Primer 2
Pogoj: v kakšnem vrstnem redu je treba izvesti izračune v izrazu? 6:2 8:3?
rešitev
Da odgovorimo na to vprašanje, ponovno preberimo pravilo za izraze brez oklepajev, ki smo ga formulirali prej. Tu imamo samo množenje in deljenje, kar pomeni, da se držimo zapisanega vrstnega reda računanja in štejemo zaporedno od leve proti desni.
odgovor: Najprej šest delimo z dva, rezultat pomnožimo z osem in dobljeno število delimo s tri.
Primer 3
Pogoj: izračunaj, koliko bo to 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2.
rešitev
Najprej določimo pravilen vrstni red operacij, saj imamo tu vse osnovne vrste računskih operacij – seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje. Prva stvar, ki jo moramo storiti, je deliti in pomnožiti. Ta dejanja nimajo prednosti eno pred drugim, zato jih izvajamo v zapisanem vrstnem redu od desne proti levi. To pomeni, da je treba 5 pomnožiti s 6, da dobimo 30, nato pa 30 deliti s 3, da dobimo 10. Nato delite 4 z 2, to je 2. Zamenjajmo najdene vrednosti v prvotni izraz:
17 − 5 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Tukaj ni več deljenja ali množenja, zato preostale izračune naredimo po vrsti in dobimo odgovor:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
odgovor:17 − 5 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7.
Dokler se vrstni red izvajanja dejanj ne zapomni, lahko nad znaki aritmetičnih operacij postavite številke, ki označujejo vrstni red izračuna. Na primer, za zgornji problem bi lahko zapisali takole:
Če imamo črkovne izraze, potem z njimi naredimo enako: najprej množimo in delimo, nato seštevamo in odštevamo.
Katera so dejanja prve in druge stopnje?
Včasih so v referenčnih knjigah vse aritmetične operacije razdeljene na dejanja prve in druge stopnje. Oblikujmo potrebno definicijo.
Operacije prve stopnje vključujejo odštevanje in seštevanje, drugo - množenje in deljenje.
Če poznamo ta imena, lahko zapišemo prej dano pravilo glede vrstnega reda dejanj, kot sledi:
Definicija 2
V izrazu, ki ne vsebuje oklepajev, morate najprej izvesti dejanja druge stopnje v smeri od leve proti desni, nato dejanja prve stopnje (v isti smeri).
Vrstni red izračunov v izrazih z oklepaji
Sami oklepaji so znak, ki nam pove želeni vrstni red dejanj. V tem primeru lahko zahtevano pravilo zapišemo takole:
Definicija 3
Če so v izrazu oklepaji, potem je prvi korak, da izvedemo operacijo v njih, nato pa pomnožimo in delimo ter nato seštevamo in odštevamo od leve proti desni.
Kar zadeva izraz v oklepaju, ga lahko obravnavamo kot sestavni del glavnega izraza. Pri izračunu vrednosti izraza v oklepajih ohranimo enak postopek, ki ga poznamo. Ponazorimo našo idejo s primerom.
Primer 4
Pogoj: izračunajte koliko bo 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.
rešitev
V tem izrazu so oklepaji, zato začnimo z njimi. Najprej izračunajmo, koliko bo 7 − 2 · 3. Tukaj moramo pomnožiti 2 s 3 in rezultat odšteti od 7:
7 − 2 3 = 7 − 6 = 1
Izračunamo rezultat v drugem oklepaju. Tam imamo samo eno dejanje: 6 − 4 = 2 .
Zdaj moramo dobljene vrednosti nadomestiti z izvirnim izrazom:
5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2
Začnimo z množenjem in deljenjem, nato izvedemo odštevanje in dobimo:
5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6
S tem so izračuni zaključeni.
odgovor: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.
Naj vas ne skrbi, če naš pogoj vsebuje izraz, v katerem nekateri oklepaji obdajajo druge. Zgornje pravilo moramo le dosledno uporabiti za vse izraze v oklepajih. Vzemimo ta problem.
Primer 5
Pogoj: izračunajte koliko bo 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
rešitev
Imamo oklepaj znotraj oklepaja. Začnemo s 3 + 1 + 4 · (2 + 3), in sicer 2 + 3. To bo 5. Vrednost bo treba nadomestiti v izraz in izračunati, da je 3 + 1 + 4 · 5. Spomnimo se, da moramo najprej pomnožiti in nato sešteti: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Če zamenjamo najdene vrednosti v prvotni izraz, izračunamo odgovor: 4 + 24 = 28 .
odgovor: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.
Z drugimi besedami, pri izračunu vrednosti izraza, ki vključuje oklepaje znotraj oklepajev, začnemo z notranjimi oklepaji in nadaljujemo do zunanjih.
Recimo, da moramo ugotoviti, koliko bo (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Začnemo z izrazom v notranjih oklepajih. Ker je 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, lahko izvirni izraz zapišemo kot (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Če ponovno pogledamo notranje oklepaje: 4 + 1 = 5. Prišli smo do izraza (4 + 5 − 1) − 1 . Štejemo 4 + 5 − 1 = 8 in kot rezultat dobimo razliko 8 - 1, katere rezultat bo 7.
Vrstni red računanja v izrazih s potencami, koreni, logaritmi in drugimi funkcijami
Če naš pogoj vsebuje izraz s potenco, korenom, logaritmom ali trigonometrično funkcijo (sinus, kosinus, tangens in kotangens) ali drugimi funkcijami, potem najprej izračunamo vrednost funkcije. Po tem ravnamo v skladu s pravili, določenimi v prejšnjih odstavkih. Z drugimi besedami, funkcije so po pomembnosti enake izrazu v oklepajih.
Poglejmo primer takšnega izračuna.
Primer 6
Pogoj: poišči, koliko je (3 + 1) · 2 + 6 2 : 3 − 7.
rešitev
Imamo izraz z diplomo, katerega vrednost je treba najprej najti. Štejemo: 6 2 = 36. Sedaj nadomestimo rezultat v izraz, po katerem bo prevzel obliko (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.
(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
odgovor: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.
V ločenem članku, posvečenem izračunu vrednosti izrazov, ponujamo druge, bolj zapletene primere izračunov v primeru izrazov s koreninami, stopinjami itd. Priporočamo, da se z njim seznanite.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
pomnožite v poljubnem vrstnem redu.
Metodološko je to pravilo namenjeno pripravi otroka na seznanitev z načini množenja števil, ki se končajo z ničlo, zato se z njim seznani šele v četrtem razredu. V resnici vam ta lastnost množenja omogoča racionalizacijo miselnih izračunov v 2. in 3. razredu.
Na primer:
Izračunaj: (7 2) 5 = ...
V tem primeru je veliko lažje izračunati možnost
7 (2 5) = 7 10 - 70.
Izračunaj: 12 (5 7) = ...
8 v tem primeru je veliko lažje izračunati možnost (12-5)-7 = 60-7 = 420.
Računske tehnike
1. Množenje in deljenje števil, ki se končajo z nič: 20 3; 3 20; 60:3; 80:20
Računska tehnika se v tem primeru zmanjša na množenje in deljenje enomestnih števil, ki izražajo število desetic v danih številih. Na primer:
20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...
2 dec. 3 = 20 3 = 60 b razv.: 3 = 2 razv.
20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20
Za primer 80:20 lahko uporabimo dve metodi izračuna: tisto, uporabljeno v prejšnjih primerih, in metodo izbire količnika.
Na primer: 80: 20 =... 80: 20 =...
8. dec.: 2. dec. = 4 ali 20 4 = 80
80: 20 = 4 80: 20 = 4
V prvem primeru je bila uporabljena tehnika predstavitve dvomestnih desetic v obliki števčnih enot, ki obravnavani primer reducira na tabelarnega (8:2). V drugem primeru količnik najdemo z izbiro in preverimo z množenjem. V drugem primeru otrok morda ne bo takoj izbral pravilne številke količnika, kar pomeni, da bo preverjanje opravljeno večkrat.
2. Način množenja dvomestnega števila z enomestnim: 23 4; 4-23
Pri množenju dvomestnega števila z enomestnim se obnavljajo naslednja znanja in spretnosti:
Pri množenju oblike 4 23 se najprej uporabi permutacija faktorjev, nato pa enaka shema množenja kot zgoraj.
3. Način deljenja dvomestnega števila z enomestnim: 48:3; 48:2
Pri deljenju dvomestnega z enomestnim številom se obnavljajo naslednja znanja in spretnosti:
4. Metoda deljenja dvomestnega števila z dvomestnim številom: 68: 17
Pri deljenju dvomestnega števila z dvomestnim so potrebna naslednja znanja in spretnosti:
Težavnost zadnje tehnike je v tem, da otrok ne more takoj izbrati želene števke količnika in izvede večkratno preverjanje izbranih števk, kar zahteva precej zapletene izračune. Mnogi otroci porabijo veliko časa za izvajanje tovrstnih izračunov, saj ne začnejo toliko izbirati ustreznega količnika, ampak raje razvrščati vse dejavnike po vrsti, začenši z dvema.
Za lažje izračune lahko uporabimo dve tehniki:
1) usmeritev na zadnjo številko dividende;
2) metoda zaokroževanja.
Prvi termin predvideva, da otroka pri izbiri možne števke količnika vodi poznavanje tabele množenja, takoj pomnoži izbrano števko (število) in zadnjo števko delitelja.
Na primer, 3-7 = 21. Zadnja številka števila 68 je 8, kar pomeni, da nima smisla množiti 17 s 3, zadnja številka delitelja se še vedno ne ujema. Poskusimo s številom 4 v količniku – pomnožimo 7 4 = 28. Zadnja cifra se ujema, zato je smiselno najti produkt 17 4.
Drugi sestanek vključuje zaokroževanje delitelja in izbiro števke kvocienta na podlagi zaokroženega delitelja.
Na primer, 68:17, delitelj 17 je zaokrožen na 20. Približna številka za količnik 3 daje, ko je označeno, 20 3 = 60< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.
Te tehnike vam omogočajo zmanjšanje stroškov truda in časa pri izvajanju tovrstnih izračunov, vendar zahtevajo dobro poznavanje tabele množenja in sposobnost zaokroževanja števil.
Cela števila, ki se končajo z 0,1,2,3,4, se zaokrožijo na najbližjo celo desetico, pri čemer se te števke zavržejo.
Na primer, številke 12, 13, 14 je treba zaokrožiti na 10. Številke 62, 63, 64 je treba zaokrožiti na 60.
Cela števila, ki se končajo s 5, 6, 7,8,9, so zaokrožena navzgor na najbližjo celo desetico.
Na primer, številke 15,16,17,18,19 so zaokrožene na 20. Številke 45,47, 49 so zaokrožene na 50.
Vrstni red operacij v izrazih, ki vsebujejo množenje in deljenje
Pravila za vrstni red dejanj določajo glavne značilnosti izrazov, ki jih je treba uporabiti pri izračunu njihovih vrednosti.
Prva pravila, ki določajo vrstni red operacij v aritmetičnih izrazih, so določila vrstni red dejanj v izrazih, ki vsebujejo operacije seštevanja in odštevanja:
1. V izrazih brez oklepajev, ki vsebujejo samo operacije seštevanja in odštevanja, se dejanja izvajajo v vrstnem redu, kot so zapisana: od leve proti desni.
2. Dejanja v oklepaju se izvedejo najprej.
3. Če izraz vsebuje samo dejanja seštevanja, potem lahko dva sosednja člena vedno nadomestimo z njuno vsoto (kombinativna lastnost seštevanja).
V 3. razredu se preučujejo nova pravila za vrstni red izvajanja dejanj v izrazih, ki vsebujejo množenje in deljenje:
4. V izrazih brez oklepajev, ki vsebujejo samo množenje in deljenje, se dejanja izvajajo v vrstnem redu, kot so zapisana: od leve proti desni.
5. V izrazih brez oklepaja se množenje in deljenje izvajata pred seštevanjem in odštevanjem.
V tem primeru se ohrani nastavitev za prvo izvedbo dejanja v oklepajih. Možni primeri kršitve te nastavitve so bili obravnavani prej.
Pravila za vrstni red dejanj so splošna pravila za izračun vrednosti matematičnih izrazov (primeri), ki se ohranjajo skozi celotno obdobje študija matematike v šoli. V zvezi s tem je razvoj jasnega razumevanja algoritma za izvajanje dejanj pri otroku pomembna zaporedna naloga poučevanja matematike v osnovni šoli. Težava je v tem, da so pravila za vrstni red dejanj precej spremenljiva in niso vedno jasno določena.
Na primer, v izrazu 48-3 + 7 + 8 je treba kot splošno pravilo uporabiti pravilo 1 za izraz brez oklepajev, ki vsebuje operacije seštevanja in odštevanja. Hkrati lahko kot možnost za racionalne izračune uporabite tehniko zamenjave vsote dela 7 + 8, saj po odštevanju števila 3 od 48 dobite 45, ki mu je priročno dodati 15.
Vendar pa taka analiza takega izraza ni predvidena v osnovnih razredih, saj obstaja bojazen, da ga bo otrok ob nezadostnem razumevanju tega pristopa uporabil v primerih oblike 72 - 9 - 3 + 6. V tem V tem primeru je zamenjava izraza 3 + 6 z vsoto nemogoča, kar vodi do napačnega odgovora.
Velika variabilnost pri uporabi celotne skupine pravil in variant pravil pri določanju vrstnega reda dejanj zahteva precejšnjo fleksibilnost mišljenja, dobro razumevanje pomena matematičnih dejanj, zaporedja miselnih dejanj, matematični »občutek« in intuicijo ( matematiki temu pravijo »čut za številke«). V resnici je veliko lažje naučiti otroka, da se strogo drži jasno določenega postopka za analizo številskega izraza z vidika značilnosti, na katere je osredotočeno vsako pravilo.
Pri določanju smeri ukrepanja razmišljajte takole:
1) Če so oklepaji, najprej izvedem dejanje, zapisano v oklepajih.
2) Množenje in deljenje izvajam po vrsti.
3) Seštevanje in odštevanje izvajam po vrsti.
Ta algoritem določa vrstni red dejanj povsem nedvoumno, čeprav z manjšimi spremembami.
V teh izrazih je vrstni red dejanj enolično določen z algoritmom in je edini možni. Navedimo druge primere
Po izvedbi množenja in deljenja v tem primeru bi lahko 54 takoj prišteli 6 in od 18 odšteli 9, nato pa rezultate sešteli. Tehnično bi bilo veliko lažje kot pot, ki jo določa algoritem; možen je prvotno drugačen vrstni red dejanj v primeru:
Tako je vprašanje razvoja sposobnosti določanja vrstnega reda dejanj v izrazih v osnovni šoli na določen način v nasprotju s potrebo po poučevanju otrok metod racionalnih izračunov.
Na primer, v tem primeru je vrstni red dejanj popolnoma nedvoumno določen z algoritmom in zahteva vrsto kompleksnih miselnih izračunov s prehodi skozi števke: 42 - 7 in 35 + 8.
Če po opravljenem deljenju 21:3 izvedete seštevanje 42 + 8 = 50 in nato odštejete 50 - 7 = 43, kar je tehnično veliko lažje, bo odgovor enak. Ta računska pot je v nasprotju z nastavitvijo iz učbenika
