Տոկարև Կիրիլ

Աշխատանքն օգնում է սովորել, թե ինչպես հանել ցանկացած թվի քառակուսի արմատը առանց հաշվիչի և քառակուսիների աղյուսակի օգտագործման և կոտորակի հայտարարն ազատել իռացիոնալությունից:

Ազատվելով կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից

Մեթոդի էությունն այն է, որ կոտորակը բազմապատկվի և բաժանվի այնպիսի արտահայտությամբ, որը կվերացնի իռացիոնալությունը (քառակուսի և խորանարդ արմատները) հայտարարից և կդարձնի այն ավելի պարզ: Սրանից հետո ավելի հեշտ է կոտորակները հասցնել ընդհանուր հայտարարի և վերջապես պարզեցնել սկզբնական արտահայտությունը։

Քառակուսի արմատի հանում տրված թվանշանի մոտավորությամբ:

Ենթադրենք՝ պետք է հանենք 17358122 բնական թվի քառակուսի արմատը, և հայտնի է, որ արմատը կարելի է հանել։ Արդյունքը գտնելու համար երբեմն հարմար է օգտագործել աշխատության մեջ նկարագրված կանոնը.

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք Google հաշիվ և մուտք գործեք այն՝ https://accounts.google.com

Նախադիտում:

Ներկայացման նախադիտումներից օգտվելու համար ստեղծեք Google հաշիվ և մուտք գործեք այն՝ https://accounts.google.com

Սլայդի ենթագրեր.

Արմատական. Ազատվելով կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից. Հանեք քառակուսի արմատը ճշգրտության որոշակի աստիճանով: Սալսկի քաղաքային ուսումնական հաստատության թիվ 7 միջնակարգ դպրոցի 9Բ դասարանի աշակերտ Կիրիլ Տոկարև

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՐՑ. Հնարավո՞ր է արդյոք որևէ թվի քառակուսի արմատը հանել որոշակի ճշգրտությամբ՝ առանց հաշվիչ և քառակուսիների աղյուսակ ունենալու։

ՆՊԱՏԱԿՆԵՐ ԵՎ ՆՊԱՏԱԿՆԵՐ. Դիտարկենք ռադիկալներով արտահայտություններ լուծելու դեպքեր, որոնք չեն ուսումնասիրվում դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում, սակայն անհրաժեշտ են միասնական պետական քննության համար:

ԱՐՄԱՏԻ ՊԱՏՄՈՒԹՅՈՒՆ Արմատային նշանը գալիս է փոքրատառ լատիներեն r տառից (սկզբնատառը լատիներեն radix - արմատ)՝ միաձուլված վերնագրի հետ։ Հին ժամանակներում ներկայիս փակագծերի փոխարեն օգտագործվում էր արտահայտության ընդգծում, ուստի դա պարզապես նման բան գրելու փոփոխված հնագույն ձև է։ Այս նշումն առաջին անգամ օգտագործել է գերմանացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ռուդոլֆը 1525 թվականին։

ԱԶԱՏՈՒԹՅՈՒՆ ԿՈՏՈՐԻ ՀԱՅՏՆԻ ԱՆԳՈՐԾԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԻՑ Մեթոդի էությունն այն է, որ կոտորակը բազմապատկվի և բաժանվի այն արտահայտությամբ, որը կվերացնի իռացիոնալությունը (քառակուսի և խորանարդ արմատները) հայտարարից և կդարձնի այն ավելի պարզ: Սրանից հետո ավելի հեշտ է կոտորակները հասցնել ընդհանուր հայտարարի և վերջապես պարզեցնել սկզբնական արտահայտությունը։ ԿՈՏՈՐԻ ՀԱՅՏՆԻ ՄԵՋ ԱՆՌԱՏԻԱԼԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ԱԶԱՏՈՒԹՅԱՆ ԱԼԳՈՐԻԹՄ. 1. Կոտորակի հայտարարը բաժանե՛ք գործակիցների: 2. Եթե հայտարարն ունի ձև կամ պարունակում է գործակից, ապա համարիչը և հայտարարը պետք է բազմապատկել: Եթե հայտարարը ձևի է կամ պարունակում է այս տեսակի գործակից, ապա կոտորակի համարիչը և հայտարարը պետք է բազմապատկվեն համապատասխանաբար կամ բազմապատկել: Թվերը կոչվում են խոնարհվածներ: 3. Հնարավորության դեպքում փոխարկե՛ք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը, ապա ստացված կոտորակը փոքրացրե՛ք:

ա) բ) գ) դ) = - Կոտորակի հայտարարում իռացիոնալությունից ազատվելը:

Քառակուսի ԱՐՄԱՏԻ ՀԱՆՁՆՈՒՄ ՄՈՏԵՑՈՒՄՈՎ ՀԱՏՈՒԿ ԹՎԻՆ: 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 6622) մեթոդ. Խնդիրը լուծելու համար այս թիվը տարրալուծվում է երկու անդամի գումարի՝ 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, որոնցից առաջինը կատարյալ քառակուսի է։ Այնուհետև մենք կիրառում ենք բանաձևը. Հանրահաշվական եղանակ.

Քառակուսի ԱՐՄԱՏԻ ՀԱՆՁՆՈՒՄ ՄՈՏԵՑՈՒՄՈՎ ՀԱՏՈՒԿ ԹՎԻՆ: , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 0 3

Հղումներ 1. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու բուհ ընդունողների համար, խմբագրել է M.I. Skanavi. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, «ONICS 21st դար», 2003 թ. 2. Հանրահաշիվ և տարրական ֆունկցիաներ. R. A. Kalnin, «Գիտություն», 1973 3. Մաթեմատիկա. Տեղեկատվական նյութեր. Վ. Ա. Գուսև, Ա. Գ. Մորդկովիչ, «Պրոսվեշչենիե» հրատարակչություն, 1990 թ. 4. Դպրոցականները մաթեմատիկայի և մաթեմատիկոսների մասին. Կազմել է Մ.Մ.Լիմանը, Լուսավորություն, 1981։

Այս թեմայում մենք կքննարկենք վերը թվարկված իռացիոնալությամբ սահմանների բոլոր երեք խմբերը: Սկսենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն պարունակող սահմաններից։

Անորոշության բացահայտում $\frac(0)(0)$:

Այս տեսակի ստանդարտ օրինակների լուծումը սովորաբար բաղկացած է երկու քայլից.

Անորոշություն առաջացրած իռացիոնալությունից ազատվում ենք այսպես կոչված «խոնարհված» արտահայտությամբ բազմապատկելով.
Անհրաժեշտության դեպքում, գործադրեք արտահայտությունը համարիչով կամ հայտարարով (կամ երկուսն էլ);
Մենք նվազեցնում ենք անորոշության տանող գործոնները և հաշվարկում սահմանի ցանկալի արժեքը:

Վերևում օգտագործված «համակցված արտահայտություն» տերմինը մանրամասն կբացատրվի օրինակներում: Առայժմ դրա վրա մանրամասն անդրադառնալու պատճառ չկա։ Ընդհանուր առմամբ, դուք կարող եք գնալ այլ ճանապարհով, առանց օգտագործելու խոնարհված արտահայտությունը: Երբեմն լավ ընտրված փոխարինումը կարող է վերացնել իռացիոնալությունը: Նման օրինակները հազվադեպ են ստանդարտ թեստերում, ուստի մենք կքննարկենք միայն մեկ օրինակ թիվ 6 փոխարինման օգտագործման համար (տե՛ս այս թեմայի երկրորդ մասը):

Մեզ անհրաժեշտ կլինեն մի քանի բանաձևեր, որոնք ես կգրեմ ստորև.

\սկիզբ(հավասարում) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \վերջ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարում) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \վերջ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարում) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\վերջ (հավասարում)

Բացի այդ, մենք ենթադրում ենք, որ ընթերցողը գիտի քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձեւերը։ Եթե $x_1$-ը և $x_2$-ը $ax^2+bx+c$ քառակուսի եռանկյունի արմատներն են, ապա այն կարող է գործոնացվել հետևյալ բանաձևով.

\սկիզբ (հավասարում) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \վերջ (հավասարում)

(1)-(5) բանաձևերը միանգամայն բավարար են ստանդարտ խնդիրներ լուծելու համար, որոնց այժմ կանցնենք։

Օրինակ թիվ 1

Գտեք $\lim_(x\մինչև 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$:

Քանի որ $\lim_(x\մինչև 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ և $\lim_(x\ մինչև 3) (x-3)=3-3=0$, ապա տրված սահմանում ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն։ $\sqrt(7-x)-2$ տարբերությունը խանգարում է մեզ բացահայտել այս անորոշությունը: Նման իռացիոնալությունից ազատվելու համար օգտագործվում է այսպես կոչված «խոնարհված արտահայտությամբ» բազմապատկումը։ Այժմ մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես է աշխատում նման բազմապատկումը: Բազմապատկել $\sqrt(7-x)-2$-ը $\sqrt(7-x)+2$-ով:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Փակագծերը բացելու համար կիրառեք՝ $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$-ը փոխարինելով նշված բանաձևի աջ կողմում.

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Ինչպես տեսնում եք, եթե համարիչը բազմապատկեք $\sqrt(7-x)+2$-ով, ապա համարիչի արմատը (այսինքն՝ իռացիոնալությունը) կվերանա։ Այս արտահայտությունը կլինի $\sqrt(7-x)+2$ զուգորդել$\sqrt(7-x)-2$ արտահայտությանը։ Այնուամենայնիվ, մենք չենք կարող պարզապես բազմապատկել համարիչը $\sqrt(7-x)+2$-ով, քանի որ դա կփոխի $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ կոտորակը, որը սահմանի տակ. Դուք պետք է միաժամանակ բազմապատկեք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը.

$$ \lim_(x\մինչև 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \ձախ|\frac(0)(0)\աջ|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Հիմա հիշեք, որ $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ և բացեք փակագծերը։ Իսկ փակագծերը բացելուց և $3-x=-(x-3)$ փոքր փոխակերպումից հետո կոտորակը փոքրացնում ենք $x-3$-ով.

$$ \lim_(x\մինչև 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\մինչև 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\մինչև 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\մինչև 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

$\frac(0)(0)$ անորոշությունն անհետացել է: Այժմ դուք կարող եք հեշտությամբ ստանալ այս օրինակի պատասխանը.

$$ \lim_(x\մինչև 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Նշում եմ, որ խոնարհված արտահայտությունը կարող է փոխել իր կառուցվածքը՝ կախված նրանից, թե ինչպիսի իռացիոնալություն պետք է հեռացնի։ Թիվ 4 և 5 օրինակներում (տե՛ս այս թեմայի երկրորդ մասը) կօգտագործվի այլ տեսակի խոնարհված արտահայտություն։

Պատասխանել$\lim_(x\մինչև 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$:

Օրինակ թիվ 2

Գտեք $\lim_(x\-ից մինչև 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$:

Քանի որ $\lim_(x\մինչև 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ և $\lim_(x\մինչև 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, ապա մենք գործ ունեն $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշության հետ: Եկեք ձերբազատվենք այս կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից։ Դա անելու համար մենք ավելացնում ենք $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ կոտորակի համարիչը և հայտարարը: արտահայտությունը $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ խոնարհվում է հայտարարին.

$$ \lim_(x\մինչև 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\ձախ|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Կրկին, ինչպես թիվ 1 օրինակում, ընդլայնելու համար հարկավոր է օգտագործել փակագծեր: Փոխարինելով $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ նշված բանաձևի աջ կողմում, հայտարարի համար ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ աջ)=\\ =\ձախ(\sqrt(x^2+5)\աջ)^2-\ձախ(\sqrt(7x^2-19)\աջ)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Վերադառնանք մեր սահմանին.

$$ \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\մինչև 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Օրինակ թիվ 1-ում, կոնյուգացիոն արտահայտությամբ բազմապատկելուց գրեթե անմիջապես հետո կոտորակը կրճատվել է։ Այստեղ, մինչև կրճատումը, դուք պետք է ֆակտորիզացնեք $3x^2-5x-2$ և $x^2-4$ արտահայտությունները և միայն դրանից հետո անցնեք կրճատմանը։ $3x^2-5x-2$ արտահայտությունը գործոնավորելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել . Նախ, լուծենք քառակուսի հավասարումը $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \սկիզբ(հավասարեցված) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2: \վերջ (հավասարեցված) $$

Փոխարինելով $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$-ով, մենք կունենանք.

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\աջ)(x-2)=\ձախ(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2): $$

Այժմ ժամանակն է չափել $x^2-4$ արտահայտությունը: Եկեք օգտագործենք՝ դրանում փոխարինելով $a=x$, $b=2$.

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Եկեք օգտագործենք ստացված արդյունքները. Քանի որ $x^2-4=(x-2)(x+2)$ և $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, ապա.

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Նվազեցնելով $x-2$ փակագծով մենք ստանում ենք.

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2): $$

Բոլորը! Անորոշությունը վերացել է. Եվս մեկ քայլ և գալիս ենք պատասխանին.

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4): $$

Պատասխանել$\lim_(x\մինչև 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Հետևյալ օրինակում դիտարկենք այն դեպքը, երբ իռացիոնալությունը առկա է կոտորակի և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի մեջ:

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $\lim_(x\մինչև 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )) $.

Քանի որ $\lim_(x\մինչև 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ և $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, ապա մենք ունենք $ ձևի անորոշություն \frac (0)(0)$. Քանի որ այս դեպքում արմատներն առկա են և՛ հայտարարի, և՛ համարիչի մեջ, անորոշությունից ազատվելու համար պետք է բազմապատկել միանգամից երկու փակագծով։ Նախ, $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ արտահայտությանը միացրեք համարիչը: Եվ երկրորդ՝ $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ արտահայտությանը միացնել հայտարարին։

$$ \lim_(x\մինչև 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\ձախ|\frac(0)(0)\աջ|=\\ =\lim_(x\մինչև 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \սկիզբ (հավասարեցված) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \վերջ (հավասարեցված) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4): $$

$x^2-8x+15$ արտահայտության համար մենք ստանում ենք.

$$ x^2-8x+15=0;\\ \սկիզբ(հավասարեցված) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2)=5. \վերջ (հավասարեցված) \\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5): $$

Ստացված $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ և $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ ընդլայնումները փոխարինելով սահմանաչափի մեջ քննարկվող, կունենա՝

$$ \lim_(x\մինչև 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\մինչև 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\մինչև 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Պատասխանել$\lim_(x\մինչև 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Հաջորդ (երկրորդ) մասում մենք կքննարկենք ևս մի քանի օրինակ, որոնցում խոնարհված արտահայտությունը կունենա այլ ձև, քան նախորդ խնդիրներում: Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել, այն է, որ խոնարհված արտահայտություն օգտագործելու նպատակը անորոշություն պատճառող իռացիոնալությունից ազատվելն է:

Դաս թիվ 1 Դասի թեման՝ «Իռացիոնալությունից ազատվելը կոտորակի հայտարարում»

Նպատակները:

Ուսումնական:

Զարգացնող:

Ուսումնական:ձեր գործողություններում հետևողականության զարգացում:

Դասի տեսակը.նոր բաներ սովորելը

Դասի ստանդարտ.

կարողանալ իռացիոնալությունից ազատվելու միջոց գտնել

հասկանալ «խոնարհված արտահայտության» իմաստը

կարողանալ ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից.

Սարքավորումներ: քարտեր անկախ աշխատանքի համար.

Դասերի ժամանակ

Մի փոքր հումոր.

Գիտե՞ք ինչպես արմատներ հանել: - հարցնում է ուսուցիչը

Այո իհարկե. Դուք պետք է ավելի ուժեղ քաշեք բույսի ցողունը, և դրա արմատը կհեռացվի հողից:

Չէ, ես նկատի ունեի մեկ այլ արմատ, օրինակ, իննից։

Դա կլինի «ինը», քանի որ «th»-ը վերջածանց է:

Ես նկատի ունեմ քառակուսի արմատ:

Չկան քառակուսի արմատներ: Դրանք մանրաթելային են և ձողաձև։

Թվաբանական քառակուսի արմատ ինը.

Այդպես կասեին։ Քառակուսի արմատ ինը = 3!

Գիտե՞ք ինչպես արմատներ հանել:

2. «Կրկնությունը սովորելու մայրն է»:

(8 րոպե)

2.Տուն/տան ստուգում№ 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8

3. Տաքանալ.Հետևեք քայլերին (Սլայդ 1): Շրջանակով ստուգեք ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

1. Ընտրեք անհայտ գործոն (Slide2)

Բաժանում խմբերի` ըստ ընտրված թվերի:

Ստուգեք փոխարինող կազմի զույգերը:

Աշխատում են անհատապես և ստուգում են՝ գնահատելով միավորներով։

(Հավելված 1)

3. «Գիրքը գիրք է, բայց օգտագործիր քո ուղեղը» (5 րոպե)

(Սլայդ 3) Երկու ընկերներ լուծեցին հավասարում
և ստացել տարբեր պատասխաններ։ Նրանցից մեկը ընտրեց x = , ստուգում արեց. Երկրորդը գտավ անհայտ գործոնը՝ ապրանքը բաժանելով
և ստացավ x = . Ո՞րն է ճիշտ: Կարո՞ղ է գծային հավասարումը ունենալ երկու արմատ: Հաշվարկների համար ամենահարմար արտահայտությունն այն արտահայտությունն է, որը հայտարարում իռացիոնալություն չի պարունակում։

Դասի թեմա(Սլայդ 4) : Ազատագրումը իռացիոնալությունից կոտորակի հայտարարում

Նպատակներ(Սլայդ 5) : ծանոթանալ կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից ազատվելու ուղիներին: Հայտարարը իռացիոնալությունից ազատելու ունակության զարգացում.

Լուծեք և ստուգեք զույգ հերթափոխով:

Նրանք քննարկում են իրավիճակը և գալիս եզրակացության.

Գրեք թեման

Ձևակերպել նպատակներ: ծանոթանալ կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից ազատվելու ուղիներին:

իռացիոնալությունից ազատվելու միջոց որոշելու ունակության զարգացում.

4. Աշխատեք նոր նյութի վրա:

(10 րոպե)

Ինչպե՞ս ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից. Ուզու՞մ ես իմանալ։

Խմբերով աշխատել նոր նյութի վրա

Խմբի կատարումը

Ամրացում (սլայդ 6)

Նրանք աշխատում են օժանդակ ուրվագիծով: (Հավելված 2)

Օրինակներ լուծել.

(Հավելված 3)

Փոխանակեք տեղեկատվություն:

5. Լիցքավորում (3 րոպե)

Վարժություններ կատարելը

6. Անկախ աշխատանք

(10 րոպե)

Բազմաստիճան քարտերով

1-ին:

2-ի:

3-ին:

Կատարել անհատական, ստուգել՝ փոխանակելով նոթատետրերը մեկ այլ խմբի հետ։

Միավորները մուտքագրվում են խմբի աղյուսակում:

(Հավելված 1)

7. Ստեղծագործական առաջադրանք

(2 րոպե)

Կապիկ - նարնջագույն վաճառողուհի (Սլայդ 7)

Մի անգամ ժամանելով իմ տնակ,

Ես այնտեղ խնդիր գտա ռադիկալների հետ։

Նա սկսեց դրանք շպրտել ամբողջ տեղը:

Մենք խնդրում ենք ձեզ, աղջիկներ և տղաներ,

Լուծե՛ք կապիկի պոչի խնդիրը։

Ի՞նչ եք կարծում, մենք ավարտե՞լ ենք այս թեմայի ուսումնասիրությունը: Շարունակենք հաջորդ դասին։

Նրանք խոսում են այն մասին, թե ինչ կսովորեն այս մասին հաջորդ դասին:

8. Տնային առաջադրանք. (2 րոպե)

P.19 (Սլայդ 7)

Մակարդակ 1՝ թիվ 170 (1-6)

Մակարդակ 2՝ թիվ 170 (1-6 և 9.12)

Ստեղծագործական առաջադրանք Մարտիշկինի առաջադրանքը.

Գրի առեք

9. Դասի ամփոփում. Արտացոլում

(3 րոպե)

Ընտրված էմոցիոնին կցված են երկու աստղ և կպչուն պիտակներ (Սլայդ 7)

Միավորները վերածվում են գնահատականի և ուսուցչին տրվում է խմբային գնահատական:

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 1

Խմբային միավորների քարտ.

0-8 միավոր

Ընտրեք բազմապատկիչ

0-8 միավոր

Խմբում աշխատել նոր նյութի վրա

0-5 միավոր

Ինքս ինձ. Աշխատանք

0-5 միավոր

Դասի գործունեություն

0-5 միավոր

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 2

Աջակցող նշումներ

Եթե հանրահաշվական կոտորակի հայտարարը պարունակում է քառակուսի արմատի նշան, ապա հայտարարը կոչվում է իռացիոնալություն: Արտահայտությունը այնպիսի ձևի վերածելը, որ կոտորակի հայտարարում չկա քառակուսի արմատի նշաններ, կոչվում է. իռացիոնալությունից ազատում հայտարարի մեջ

Կան մի քանի տեսակներ իռացիոնալություն կոտորակներըհայտարարի մեջ։ Այն կապված է դրանում նույն կամ տարբեր աստիճանի հանրահաշվական արմատի առկայության հետ։ Ազատվելու համար իռացիոնալություն, անհրաժեշտ է կատարել որոշակի մաթեմատիկական գործողություններ՝ կախված իրավիճակից։

Հրահանգներ

1. Նախքան ազատվելը իռացիոնալություն կոտորակներըհայտարարի մեջ դուք պետք է որոշեք դրա տեսակը և կախված դրանից՝ շարունակեք լուծումը։ Իրոք, ցանկացած իռացիոնալություն բխում է արմատների պարզ առկայությունից, դրանց տարբեր համակցություններն ու աստիճանները ենթադրվում են տարբեր ալգորիթմներով:

2. Հայտարարի քառակուսի արմատ, a/?b ձևի արտահայտություն Մուտքագրեք բ-ին հավասար հավելյալ գործակից: Որպեսզի կոտորակը չփոխվի, անհրաժեշտ է բազմապատկել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը՝ a/?b ? (a ?b)/b.Օրինակ 1: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. Ներկայությունը գծի տակ կոտորակները m/n ձևի կոտորակային հզորության արմատ, և n>mԱյս արտահայտությունն ունի հետևյալ տեսքը՝ a/?(b^m/n):

4. Ազատվել նմանատիպից իռացիոնալություննաև բազմապատկիչ մուտքագրելով, այս անգամ ավելի դժվար՝ b^(n-m)/n, այ. բուն արմատի արտահայտիչից անհրաժեշտ է հանել արտահայտության աստիճանը նրա նշանի տակ։ Այդ դեպքում հայտարարում կմնա միայն առաջին հզորությունը՝ a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b. Օրինակ 2. 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. Քառակուսի արմատների գումարը Բազմապատկեք երկու բաղադրիչները կոտորակներընմանատիպ տարբերությամբ։ Այնուհետև արմատների իռացիոնալ գումարումից հայտարարը փոխակերպվում է արմատական նշանի տակ արտահայտությունների/թվերի տարբերության՝ a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c).Օրինակ 3՝ 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 – ?23)/(13 – 23) = 9 (?23 – ?13)/10:

6. Խորանարդային արմատների գումարը/տարբերությունը որպես հավելյալ գործոն Ընտրեք տարբերության թերի քառակուսին, եթե հայտարարը պարունակում է գումար, և, համապատասխանաբար, արմատների տարբերության գումարի թերի քառակուսին. a/(?b ± ?c) ? a (?b? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ? c?)/(b ± c).Օրինակ 4. 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. Եթե խնդիրը պարունակում է և՛ քառակուսի, և՛ խորանարդ արմատ, ապա լուծումը բաժանե՛ք երկու փուլի. աստիճանաբար ստացե՛ք քառակուսի արմատը հայտարարից, իսկ հետո՝ խորանարդ արմատը։ Դա արվում է ձեզ արդեն հայտնի մեթոդներով՝ առաջին գործողության մեջ պետք է ընտրել արմատների տարբերության/գումարի բազմապատկիչը, երկրորդում՝ գումարի/տարբերության թերի քառակուսին։

Հուշում 2. Ինչպե՞ս ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից

Կոտորակային թվի ճիշտ նշումը չի պարունակում իռացիոնալությունՎ հայտարար. Նման նշումը ավելի հեշտ է հասկանալ արտաքին տեսքով, հետևաբար, երբ իռացիոնալությունՎ հայտարարԴրանից ազատվելը խելացի է: Այս դեպքում իռացիոնալությունը կարող է համարիչ դառնալ։

Հրահանգներ

1. Սկսենք, եկեք դիտենք պարզունակ օրինակ՝ 1/sqrt(2): 2-ի քառակուսի արմատը իռացիոնալ թիվ է հայտարար.Այս դեպքում պետք է կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել նրա հայտարարով: Սա կապահովի ողջամիտ թիվ հայտարար. Իրոք, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2: 2 նույնական քառակուսի արմատները միմյանցով բազմապատկելու դեպքում կստացվի այն, ինչ կա բոլոր արմատների տակ. այս դեպքում՝ երկու: Արդյունքը՝ 1/sqrt: (2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Այս ալգորիթմը հարմար է նաև կոտորակների համար, in հայտարարորի արմատը բազմապատկվում է ողջամիտ թվով։ Այս դեպքում համարիչը և հայտարարը պետք է բազմապատկվեն այնտեղ գտնվող արմատով հայտարար.Օրինակ՝ 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

2. Իհարկե, նման բան պետք է արվի, եթե հայտարարԳտնվում է ոչ թե քառակուսի արմատը, այլ, ասենք, խորանարդ արմատը կամ որևէ այլ աստիճան։ Արմատ ներս հայտարարանհրաժեշտ է բազմապատկել նույն արմատով, իսկ համարիչը նույնպես բազմապատկվում է նույն արմատով։ Այնուհետև արմատը կմտնի համարիչի մեջ:

3. Ավելի բարդ դեպքում հայտարարկա իռացիոնալ և ողջամիտ թվի կամ 2 իռացիոնալ թվի գումար կամ տարբերություն, 2 քառակուսի արմատների կամ քառակուսի արմատի և ողջամիտ թվի գումարի (տարբերության) դեպքում կարելի է օգտագործել հայտնի բանաձևը (x+y): )(x-y) = (x^2)-(y^2): Դա կօգնի ձեզ ազատվել իռացիոնալությունՎ հայտարար. Եթե ներս հայտարարտարբերությունը, ապա պետք է համարիչը և հայտարարը բազմապատկել նույն թվերի գումարով, եթե գումարը` ապա տարբերությամբ: Այս բազմապատկված գումարը կամ տարբերությունը կկոչվեն զուգորդված արտահայտության մեջ հայտարար.Այս սխեմայի արդյունքը հստակ տեսանելի է օրինակում՝ 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

4. Եթե ներս հայտարարկա մի գումար (տարբերություն), որում առկա է ավելի մեծ աստիճանի արմատ, այնուհետև իրավիճակը դառնում է ոչ տրիվիալ և ազատագրվում. իռացիոնալությունՎ հայտարարանփոփոխ ընդունելի չէ

Խորհուրդ 3. Ինչպե՞ս ազատվել իռացիոնալությունից կոտորակի հայտարարում

Կոտորակը բաղկացած է համարիչից, որը գտնվում է տողի վերևում, և հայտարարից, որը բաժանում է, որը գտնվում է ներքևում: Իռացիոնալ թիվն այն թիվն է, որը չի կարող ներկայացվել ձևով կոտորակներըամբողջ թվով համարիչում և բնական թվով՝ in հայտարար. Այդպիսի թվերն են, ասենք, 2-ի կամ pi-ի քառակուսի արմատը։ Ավանդաբար, երբ խոսում են իռացիոնալության մասին հայտարար, արմատը ենթադրվում է.

Հրահանգներ

1. Վերացնել իռացիոնալությունը՝ բազմապատկելով հայտարարով: Այսպես իռացիոնալությունը կտեղափոխվի համարիչին։ Համարիչն ու հայտարարը նույն թվով բազմապատկելիս արժեքը կոտորակներըչի փոխվում. Օգտագործեք այս տարբերակը, եթե յուրաքանչյուր հայտարար արմատ է:

2. Բազմապատկեք համարիչն ու հայտարարը հայտարարով անհրաժեշտ քանակությամբ անգամ՝ կախված արմատից: Եթե արմատը քառակուսի է, ապա մեկ անգամ:

3. Դիտարկենք քառակուսի արմատի օրինակը: Վերցրեք (56-y)/√(x+2) կոտորակը: Այն ունի համարիչ (56-y) և իռացիոնալ հայտարար √(x+2), որը քառակուսի արմատն է։

4. Բազմապատկել համարիչն ու հայտարարը կոտորակներըհայտարարին, այսինքն՝ √(x+2): Սկզբնական օրինակը (56-y)/√(x+2) կդառնա ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)): Արդյունքը կլինի ((56-y)*√(x+2))/(x+2): Այժմ արմատը համարիչի մեջ է, իսկ մեջ հայտարարիռացիոնալություն չկա.

5. Ոչ անփոփոխ հայտարարը կոտորակներըամեն մեկն արմատի տակ է: Ազատվեք իռացիոնալությունից՝ օգտագործելով (x+y)*(x-y)=x²-y² բանաձևը։

6. Դիտարկենք օրինակը (56-y)/(√(x+2)-√y կոտորակի հետ: Նրա իռացիոնալ հայտարարը պարունակում է 2 քառակուսի արմատների տարբերություն։ Լրացրո՛ւ հայտարարը (x+y)*(x-y):

7. Բազմապատկել հայտարարը արմատների գումարով: Արժեքը ստանալու համար համարիչը նույնով բազմապատկեք կոտորակներըչի փոխվել. Կոտորակը կունենա ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) )

8. Օգտվե՛ք վերը նշված հատկությունից (x+y)*(x-y)=x²-y² և ազատե՛ք հայտարարը իռացիոնալությունից։ Արդյունքը կլինի ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y): Հիմա արմատը համարիչի մեջ է, իսկ հայտարարն ազատվել է իռացիոնալությունից։

9. Դժվար դեպքերում կրկնեք այս երկու տարբերակները՝ օգտագործելով անհրաժեշտության դեպքում: Նկատի ունեցեք, որ միշտ չէ, որ հնարավոր է ձերբազատվել իռացիոնալությունից հայտարար .

Հանրահաշվական կոտորակը A/B ձևի արտահայտությունն է, որտեղ A և B տառերը նշանակում են ցանկացած թվային կամ տառային արտահայտություն: Հաճախ հանրահաշվական կոտորակների համարիչն ու հայտարարը զանգվածային ձև են ունենում, բայց նման կոտորակների հետ գործողությունները պետք է կատարվեն նույն կանոններով, ինչ սովորականների հետ գործողությունները, որտեղ համարիչն ու հայտարարը դրական ամբողջ թվեր են:

Հրահանգներ

1. Եթե տրվում է խառը կոտորակները, դարձրեք դրանք անկանոն կոտորակների (կոտորակ, որի համարիչը մեծ է հայտարարից) հայտարարը բազմապատկեք ամբողջ մասով և ավելացրեք համարիչը։ Այսպիսով, 2 1/3 թիվը կվերածվի 7/3-ի։ Դա անելու համար 3-ը բազմապատկեք 2-ով և ավելացրեք մեկը:

2. Եթե ձեզ անհրաժեշտ է տասնորդական թիվը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի, մտածեք, որ այն առանց տասնորդական կետի թիվը բաժանում է մեկի՝ այնքան զրոներով, որքան թվեր կան տասնորդական կետից հետո: Ասենք, պատկերացրեք 2.5 թիվը 25/10 (եթե կրճատեք, կստանաք 5/2), իսկ 3.61 թիվը՝ 361/100։ Անպատշաճ կոտորակների հետ աշխատելը հաճախ ավելի հեշտ է, քան խառը կամ տասնորդական կոտորակները:

3. Եթե կոտորակները ունեն նույնական հայտարարներ, և դուք պետք է դրանք գումարեք, ապա պարզապես ավելացրեք համարիչները. հայտարարները մնում են անփոփոխ։

4. Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է նույնական հայտարար ունեցող կոտորակները հանել, ապա հանեք 2-րդ կոտորակի համարիչը առաջին կոտորակի համարիչից: Հայտարարները նույնպես չեն փոխվում։

5. Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է կոտորակներ ավելացնել կամ մեկ կոտորակը մյուսից հանել, և դրանք ունեն տարբեր հայտարարներ, ապա կոտորակները կրճատեք ընդհանուր հայտարարի: Դա անելու համար գտեք մի թիվ, որը կլինի երկու հայտարարների ամենափոքր համընդհանուր բազմապատիկը (LCM) կամ մի քանիսը, եթե կոտորակները 2-ից մեծ են: LCM-ն այն թիվն է, որը կբաժանվի բոլոր տրված կոտորակների հայտարարների: Օրինակ, 2-ի և 5-ի համար այս թիվը 10 է:

6. Հավասարության նշանից հետո հորիզոնական գիծ գծեք և հայտարարի մեջ գրեք այս թիվը (NOC): Ամբողջ տերմինին ավելացրեք լրացուցիչ գործոններ՝ այն թիվը, որով պետք է բազմապատկել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, որպեսզի ստանաք LCM: Քայլ առ քայլ բազմապատկեք համարիչները լրացուցիչ գործոններով՝ պահպանելով գումարման կամ հանման նշանը։

7. Հաշվեք ընդհանուր գումարը, անհրաժեշտության դեպքում կրճատեք այն կամ ընտրեք ամբողջ մասը: Օրինակ, անհրաժեշտ է այն ծալել: Իսկ?. Երկու կոտորակների համար էլ LCM-ն 12 է։ Այնուհետև առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 4 է, 2-րդ կոտորակի համար՝ 3։ Ընդհանուր՝ ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12։

8. Եթե օրինակ բերվի բազմապատկման համար, ապա բազմապատկեք համարիչները միասին (սա կլինի ընդհանուրի համարիչը) և հայտարարները (սա կլինի ընդհանուրի հայտարարը): Այս դեպքում կարիք չկա դրանք հասցնել ընդհանուր հայտարարի։

9. Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է երկրորդ կոտորակը գլխիվայր շրջել և բազմապատկել կոտորակները: Այսինքն՝ a/b՝ c/d = a/b · d/c:

10. Անհրաժեշտության դեպքում գործակցեք համարիչը և հայտարարը: Օրինակ, համընդհանուր գործոնը տեղափոխեք փակագծից կամ ընդլայնեք այն ըստ կրճատված բազմապատկման բանաձևերի, որպեսզի դրանից հետո անհրաժեշտության դեպքում կարողանաք կրճատել համարիչն ու հայտարարը GCD-ով՝ նվազագույն ունիվերսալ բաժանարարով:

Նշում!
Թվերն ավելացրեք թվերով, նույն տեսակի տառերը՝ նույն տեսակի տառերով: Ենթադրենք, հնարավոր չէ գումարել 3a և 4b, ինչը նշանակում է, որ դրանց գումարը կամ տարբերությունը կմնա համարիչում՝ 3a±4b։

Առօրյա կյանքում կեղծ թվերն ավելի տարածված են՝ 1, 2, 3, 4 և այլն։ (5 կգ կարտոֆիլ) և կոտորակային, ոչ ամբողջ թվով (5,4 կգ սոխ): Դրանցից շատերը ներկայացված են ձևըտասնորդական կոտորակներ. Բայց ներկայացրեք տասնորդական կոտորակը ձևը կոտորակներըբավականին հեշտ.

Հրահանգներ

1. Ենթադրենք տրված է «0.12» թիվը։ Եթե այս տասնորդական կոտորակը չկրճատեք և չներկայացնեք այնպես, ինչպես կա, ապա այն կունենա հետևյալ տեսքը՝ 12/100 («տասներկու հարյուրերորդական»): Հայտարարի հարյուրից ազատվելու համար պետք է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բաժանել մի թվի, որը դրանք բաժանում է ամբողջ թվերի։ Այս թիվը 4 է։Այնուհետև, բաժանելով համարիչն ու հայտարարը, ստանում ենք թիվը՝ 3/25։

2. Եթե ավելի շատ նայենք առօրյա կյանքին, ապա ապրանքների գնային պիտակի վրա հաճախ կարող ենք տեսնել, որ դրա քաշը, օրինակ, 0,478 կգ է և այլն: Այս թիվը նույնպես հեշտ է պատկերացնել. ձևը կոտորակները:478/1000 = 239/500։ Այս կոտորակը բավականին տգեղ է, և եթե հավանականություն լիներ, ապա այս տասնորդական կոտորակը կթույլատրվեր ավելի փոքրացնել: Եվ բոլորը նույն կերպ՝ ընտրելով թիվ, որը բաժանում է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը: Այս թիվը կոչվում է ամենամեծ ունիվերսալ գործոն: Գործոնը կոչվում է «ամենամեծ», քանի որ շատ ավելի հարմար է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը անմիջապես բաժանել 4-ի (ինչպես առաջին օրինակում), քան երկու անգամ բաժանել 2-ի:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Տասնորդական մաս- բազմազանություն կոտորակները, որը հայտարարում ունի «կլոր» թիվ՝ 10, 100, 1000 և այլն, ասա. մաս 5/10-ն ունի 0,5 տասնորդական նշում: Այս թեզի հիման վրա՝ մասկարող է ներկայացվել որպես տասնորդական կոտորակները .

Հրահանգներ

1. Հնարավոր է, անհրաժեշտ է ներկայացնել որպես տասնորդական մաս 18/25 Նախ, պետք է համոզվել, որ «կլոր» թվերից մեկը հայտնվի հայտարարի մեջ՝ 100, 1000 և այլն։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել հայտարարը 4-ով, սակայն պետք է բազմապատկել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը 4-ով:

2. Բազմապատկելով համարիչը և հայտարարը կոտորակները 18/25 4-ով, ստացվում է 72/100: Սա արձանագրված է մաստասնորդական ձևով՝ 0,72:

2 տասնորդական կոտորակներ բաժանելիս, երբ ձեռքի տակ չկա հաշվիչ, շատերը որոշակի դժվարություններ են ունենում։ Այստեղ իսկապես դժվար բան չկա: Տասնորդական կոտորակներըԱյսպիսին են կոչվում, եթե դրանց հայտարարն ունի 10-ի բազմապատիկ թիվ: Այդ թվերը, ինչպես միշտ, գրվում են մեկ տողի վրա և ունեն կոտորակային մասը ամբողջից բաժանող ստորակետ: Ըստ երևույթին, կոտորակային մասի առկայության պատճառով, որը նույնպես տարբերվում է տասնորդական կետից հետո թվանշանների քանակով, շատերի համար պարզ չէ, թե ինչպես կարելի է մաթեմատիկական գործողություններ կատարել այդպիսի թվերով առանց հաշվիչի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

թուղթ, մատիտ

Հրահանգներ

1. Ստացվում է, որ մի տասնորդական կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար պետք է նայել երկու թվերին և որոշել, թե տասնորդական կետից հետո դրանցից որն է ավելի շատ թվանշան։ Մենք երկու թվերն էլ բազմապատկում ենք 10-ի բազմապատիկ թվով, այսինքն. 10, 1000 կամ 100000, զրոների թիվը, որոնցում հավասար է մեր 2 սկզբնական թվերից մեկի տասնորդական կետից հետո թվանշանների ավելի մեծ թվին: Այժմ երկուսն էլ տասնորդական են կոտորակներըվերածվել է սովորական ամբողջ թվերի: Վերցրեք մի թերթիկ մատիտով և ստացված երկու թվերը «անկյունով» առանձնացրեք։ Մենք ստանում ենք արդյունքը.

2. Ենթադրենք, որ 7.456 թիվը պետք է բաժանենք 0.43-ի։ Առաջին թիվը ունի ավելի շատ տասնորդական նիշ (3 տասնորդական), հետևաբար երկու թվերն էլ բազմապատկում ենք ոչ թե 1000-ով և ստանում ենք երկու պարզունակ ամբողջ թիվ՝ 7456 և 430: Այժմ «անկյունով» 7456-ը բաժանում ենք 430-ի և ստանում ենք, որ եթե 7.456-ը բաժանվի: 0.43-ով դուրս կգա մոտավորապես 17.3:

3. Կա մեկ այլ բաժանման մեթոդ. Տասնորդական թվեր գրելը կոտորակներըհամարիչով և հայտարարով պարզունակ կոտորակների տեսքով, մեր դեպքում դրանք 7456/1000 և 43/100 են: Հետագայում գրում ենք 2 պարզունակ կոտորակներ բաժանելու արտահայտությունը՝ 7456*100/1000*43, որից հետո կրճատում ենք տասնյակները, ստանում ենք՝ 7456/10*43 = 7456/430 Վերջնական ելքում նորից ստանում ենք բաժանումը. 2 պարզունակ 7456 և 430 համարներ, որոնք կարելի է արտադրել «անկյունով»։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Օգտակար խորհուրդ
Այսպիսով, տասնորդական կոտորակները բաժանելու եղանակը դրանք ամբողջ թվերի կրճատումն է՝ դրանցից յուրաքանչյուրը նույն թվով բազմապատկելու աջակցությամբ։ Ամբողջ թվերով գործողություններ կատարելը, ինչպես միշտ, ոչ մեկի համար դժվարություն չի առաջացնում։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Ազատագրումը իռացիոնալությունից կոտորակի հայտարարում

2015-06-13

Խոնարհել իռացիոնալ արտահայտություն

Կոտորակի հանրահաշվական արտահայտությունը փոխակերպելիս, որի հայտարարը պարունակում է իռացիոնալ արտահայտություն, սովորաբար փորձում են ներկայացնել կոտորակը, որպեսզի դրա հայտարարը ռացիոնալ լինի: Եթե $A, B, C, D, \cdots$ որոշ հանրահաշվական արտահայտություններ են, ապա կարող եք նշել կանոններ, որոնց օգնությամբ ձևի արտահայտությունների հայտարարում կարող եք ազատվել արմատական նշաններից։

$\frac(A)(\sqrt[n](B)), \frac(A)(B+C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D) )), \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$ և այլն:

Այս բոլոր դեպքերում իռացիոնալությունից ազատվելը ձեռք է բերվում կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկելով ընտրված գործակցով, որպեսզի կոտորակի հայտարարի արտադրյալը ռացիոնալ լինի։

1) $A/ \sqrt[n](B)$ ձևի կոտորակի հայտարարում իռացիոնալությունից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք $\sqrt[n](B^(n-1)) $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

Օրինակ 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

$\frac(A)(B+ C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$ ձևի կոտորակների դեպքում համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք. իռացիոնալ գործոն
$B – C \sqrt(D)$ կամ $\sqrt(B) – c \sqrt(D)$
համապատասխանաբար, այսինքն՝ զուգակցված իռացիոնալ արտահայտությանը:

Վերջին գործողության իմաստն այն է, որ հայտարարում գումարի և տարբերության արտադրյալը վերածվում է քառակուսիների տարբերության, որն արդեն ռացիոնալ արտահայտություն կլինի։

Օրինակ 2. Ազատվեք իռացիոնալությունից արտահայտության հայտարարում.
ա) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; բ) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$:

Լուծում, ա) Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք
արտահայտություն $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. Մենք ստանում ենք (պայմանով, որ $y \neq 0$)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
բ) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5) ) + \sqrt(3)$.
3) նման արտահայտությունների դեպքում
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
հայտարարը դիտվում է որպես գումար (տարբերություն) և բազմապատկվում է տարբերության (գումար) մասնակի քառակուսու վրա՝ ստանալով խորանարդների գումարը (տարբերությունը): Համարիչը նույնպես բազմապատկվում է նույն գործակցով։

Օրինակ 3. Ազատվեք իռացիոնալությունից արտահայտությունների հայտարարում.
ա)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; բ)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

Լուծում, ա) Այս կոտորակի հայտարարը համարելով $\sqrt(5)$ և $1$ թվերի գումար, համարիչը և հայտարարը բազմապատկեք այս թվերի տարբերության մասնակի քառակուսու վրա.
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1) $,
կամ վերջապես.
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ sqrt (5) + 1) (2) $
բ) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))(a-8b)$.

Որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է հակառակ բնույթի փոխակերպում կատարել՝ ազատել կոտորակը համարիչի իռացիոնալությունից։ Այն իրականացվում է ճիշտ նույն կերպ.

Օրինակ 4. Ազատվեք $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$ համարիչի իռացիոնալությունից:
Լուծում. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) – (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$