Обобщающий урок по теме:

«Интеграл и его применение».

Эпиграф: ««Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

Джордж Сантаяна.

Цели урока:

Общеобразовательные: закрепить, повторить и обобщить знания, полученные при изучении темы: «Интеграл и его применение», закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, рассмотреть практическое применение данной темы в физике, геометрии и в профессии «Экономика и бухгалтерский учёт», подготовиться к практической работе.

Развивающие: развивать способности к реализации возможностей и потенциала в креативной деятельности; выработка навыков принятия творческих решений.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, ответственного отношения к делу, готовность к взаимопомощи.

Форма проведения урока: урок – проблемная конференция.

Тип урока: «Повторительно – обобщающий».

Оснащение урока: мультимедиапроектор, компьютеры, компьютерная программа «Вычисление определённого интеграла», калькуляторы, плакат «Таблица первообразных», папки «Учись учиться», тесты, карточки с практическими заданиями.

Межпредметные связи:

Физика : «Вычисление работы, производимой телом», «Вычисление пути, пройденного телом».

Геометрия: «Вычисление объёмов и площадей тел вращения».

Связь с профессией: задачи с экономическим содержанием.

План урока.

Орг. момент – 2 мин.

Проведение конференции – 40 мин.

а) Выступление историков;

б) Выступление математиков;

в) Выступление физиков;

г) Выступление бухгалтеров;

д) Выступление программистов.

Подведение итогов – 2 мин.

Домашнее задание – 1 мин.

Ход урока.

Вступительное слово учителя:

Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Интеграл и его применение».

Эпиграфом к этому уроку могут служить слова американского философа Джорджа Сантаяна: «Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

И сегодня на уроке мы ещё раз убедимся в справедливости этого высказывания.

Цель нашего урока не только обобщить знания, полученные при изучении этой темы, закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, но и расширить представления о практическом применении интеграла, показать значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. И как окончательный итог изучения темы – практическая работа.

Тема эта очень обширная, но большинство вопросов мы с вами уже рассмотрели на предыдущих уроках, мы проводим урок в виде «проблемной конференции».

На конференции обычно приглашаются специалисты, занимающиеся разработкой смежных тем.

В нашей конференции принимают участие несколько специалистов:

* историки;

* математики;

* экономисты;

*программисты.

Это студенты вашей группы, которые получили домашнее задание – собрать, систематизировать материал по конкретному вопросу, может быть найти дополнительный материал, который мы не изучали.

На нашем уроке так же присутствует студентка 3-го курса по специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Беляева Анна. Она не только помогает продемонстрировать нам слайды на экране, но и приняла активное участие в работе нашей конференции в качестве специалиста-программиста.

В ходе нашей конференции все присутствующие могут задавать вопросы выступающим и принимать активное участие в её работе.

И так, начинаем работу конференции:

Слово имеет историк, который расскажет нам о возникновении интегрального исчисления. (см. приложение 1)

Вопрос учителя: В твоём выступлении прозвучало два подхода к определению определённого интеграла. Какой подход мы использовали для введения понятия определённого интеграла на уроках?

Так ли это мы поймём, прослушав выступление математика. (см приложение 2)

Слово учителя:

Прослушав это сообщение, каждый из вас освежил в памяти вес теоретический материал, который нам понадобится для успешного выполнения практической части нашей конференции.

У вас на столах лежат задания, которые вы должны выполнить в ходе нашей конференции. Вы можете выполнять их вместе с группой или самостоятельно.

Пример 1.

Вычислить интеграл

а) ∫ (6х 2 +4х-5) d х=(6·х 3 /3+4·х 2 /2-5х) =(2·3 3 +2·3 2 -5·3)-(2·1 3 +2·1 2 -5·1)=

=(54+18-15)-(2+2-5)=57+1=58

б) ∫ (cos 3х+ sin ½х) d х=(-⅓ sin 3х+2 cos ½х) =

π/2 π/2

=(-⅓ sin 3π+2 cos ½π)-(-⅓ sin 3π/2+2 cos ½π/2)=(-⅓·0+2·0)-(-⅓·(-1)+2·√2/2)

=0-(⅓+√2)=-⅓-√2.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)у=-(х+2) 2 +3, у=0.

Решение:

Графиком функции у=-х 2 +9 является парабола, ветви которой направлены вниз, координаты вершины параболы (0;9).

Графиком функции у=0 является ось Ох.

Построим графики этих функций в одной системе координат.

3 0 3 х

Найдём координаты точек пересечения графиков функций, для этого решим уравнение:

-х 2 +9=0

-х 2 =-9

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

S = ∫(- х 2 +9) d х=(-х 3 /3+9х)=(-(3) 3 /3+9·3)-(-(-3) 3 /3+9·(-3)=

-3 -3

= 18-(-18)=36 (кв.ед)

Ответ: S =36 кв.ед.

Слово учителя:

Я надеюсь вы вспомнили как вычисляется определённый интеграл. Сейчас я предлагаю проверить себя и ответить на вопросы теста.

После выполнения работы, студенты проверяют правильность выполнения теста, используя предлагаемые критерии оценки. (см. приложение 3)

Слово учителя:

Определённый интеграл широко применяется не только в математике, но и в физике, геометрии, химии. Об этом нам расскажет физик. (см. приложение 4)

Слово учителя:

Мы опять возвращаемся к практической части нашей конференции, я предлагаю вам решить задачи с физическим содержанием.

Задача 1.

Сила упругости пружины, растянутой 5 см , равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F=kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности. На рис а) точка 0 соответствует свободному положению пружины. Из условия задачи следует, что 3=k·0,05. Следовательно, k=60 и сила F=60х, а по формуле находим:

0,05 0,05

А= ∫ 60х d х=30х 2 =30·0,05 2 -30·0 2 =0,075 Дж.

0 0

Ответ: А=0,075 Дж.

Задача 2.

Найти путь, пройденный материальной точкой за 10с от начала движения со скоростью v =0,1 t 3 м/с.

Решение: t 2

Т.к. t 1 =0 и t 2 =10, то подставив в формулу S = ∫ v ( t ) dt , получим

t1

S=∫0,1t 3 dt=0,1t 4 /4 =250м.

Ответ: S=250м.

Слово учителя:

Мы убедились с вами, в том, что интеграл имеет широкое применение в физике. А нельзя ли решать задачи с экономическим содержанием с помощью определённого интеграла? На этот вопрос ответит специалист по экономическим вопросам. (см. приложение 5)

Слово учителя:

И так, с помощью интеграла можно решать экономические задачи.

Задача.

Производительность труда рабочего в течении дня задаётся функцией f (t )=-0,00625 t 2 +0,05 t +0,5 (ден. ед/ч.) , где t – время в часах от начала работы,0≤ t ≤8. Найти функцию Q (t ), выражающую объём продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Применяя формулу, получим:

Q = ∫ (-0,00625 t 2 +0,05 t +0,5) dt =-0,00625 t 3 /3+0,05 t 2 /2+0,5 t =

=(-0,00625·8 3 /3+0,05·8 2 /2+0,5·8)-(-0,00625·0 3 /3+0,05·0 2 /2+0,5·0)=

=-3,2/3+1,6+4≈4,53(ден.ед)

Ответ: Q≈4,53 ден.ед.

Слово учителя:

Мы убедились в истинности высказывания Джорджа Сантаяна. Действительно, многие науки и профессии стремятся к математики. Но всё же нам приходится выполнять иногда достаточно сложные вычисления. Можно ли решить эту задачу?

Наверное – да. В век компьютерных технологий и эту задачу можно успешно решить. Слово программисту - Беляевой Анне.

Выступление программиста:

Я составила компьютерную программу: «Вычисление определённого интеграла». Эта программа позволяет за считанные секунды вычислить значение интеграла и экономит наше время.

(демонстрация программы см. приложение 6)

Слово учителя:

Первая подгруппа занимает места у компьютеров, а вторая – остаётся на местах. Решая одну и туже задачу, мы убедимся в преимуществе компьютерной программы.

(студенты решают задачу, используя компьютерную программу)

Подведём итоги урока - мы обобщили знания, полученные при изучении этой темы, закрепили практические навыки вычисления определённого интеграла, расширили представления о практическом применении интеграла, показали значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. Увидели плюсы применения компьютерных технологий при решении математических задач, и, надеюсь, подготовились к практической работе.

Задачи, которые остались нерешёнными, необходимо решить дома.

Выставление оценок.

Приложение 1.

Выступление историка:

Я попыталась собрать историческую информацию о возникновении интегрального исчисления. Для этого я обратились к изучению жизни и творчества таких учёных как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Бернулли, Чебышев. Каждый из них сыграл определённую роль в деле развития интегрального исчисления.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками древней Греции, Евклидом и Архимедом.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений основываются на идеях, сформулированных в начале XVII века великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером.

В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер, готовясь к свадьбе, приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти общие, а главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального исчисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созда­нием математического аппарата, с помощью ко­торого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические задачи. До Ньютона многие функ­ции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представ­ления функции - он ввел в математику и на­чал систематически применять бесконечные ряды.

Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Поясним сказанное одним примером.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

где F ` (x)=f(x) .

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

Истолкование обычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона.

Дальнейшее развитие теории дифференциального исчисления получило в работах Леонарда Эйлера.

Работы Эйлера "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа, был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.

Хочется назвать ещё одно имя: Иоганн Бернулли.

Роль Иоганна Бернулли, как одного из создателей, распро­странителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа, отражает современная термино­логия: название «интегральное исчисление» (от латинско­го integer - целый), ввел Иоганн Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впослед­ствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S- первую букву латинского сло­ва summa .

Приложение 2.

Выступление математика:

Как мы уже услышали из предыдущего выступления, то подход к понятию определённого интеграла был разный. Одной из главных задач интегрального исчисления является нахождение первообразной.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F ´(х)= f (х).

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её первообразные.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных)

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F (х)+С,

Где F (х) – одна из первообразных для функции f (х) на промежутке I , а С – произвольная постоянная.

Для нахождения первообразных мы использовали таблицу:

Так же существуют три правила нахождения первообразных:

Правило 1 . Если F f , а G – первообразная для g , то F + G есть первообразная для f + g .

Правило 2 . Если F есть первообразная для функции f , а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf .

Правило 3 . Если F (х) - есть первообразная для функции f (х), а k и b – постоянные, причём k ≠0, то 1/ k · F (k х+ b ) есть первообразная для f (k х+ b ).

Выражение F (х)+С называется неопределённым интегралом

∫ f (х) d х= F (х)+С

Понятие определённого интеграла связано с задачей вычисления площади криволинейной трапеции.

Фигуру, ограниченную графиком функции f (х), непрерывной и не меняющей знак на отрезке [а; b ], отрезком[а; b ] и прямыми х=а и х= b называют криволинейной трапецией .

а) у b) у

0 а b х 0 а b х

в) г)

a 0 b x

a 0 b х

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:

Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b ]функция, а F – первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а; b ], т.е. S = F ( b )- F (а).

Для любой непрерывной на отрезке [а;b] функции f (не обязательно неотрицательной) S стремиться к некоторому числу. Это число называют интегралом функции f от а до b и обозначают:

b

∫ f (х) d х

а

a , b – пределы интегрирования (а – нижний предел, b – верхний предел);

f – подынтегральная функция;

х – переменная интегрирования;

∫ - знак интеграла.

b

∫ f (х) d х= F ( b )- F (а) – формула Ньютона-Лейбница .

а

Для удобства записи разность F ( b )- F (а) принято сокращённо обозначать

b

F (х)|

а

Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают в виде:

b b

∫f (х) d х= F (х)|

а а

Исходя из выше сказанного, площадь криволинейной трапеции вычисляют с помощью определённого интеграла, а для вычисления определённого интеграла необходимо уметь вычислять первообразную.

Приложение 3.

Тест.

Вариант 1.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство:__________________________________________________.

Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

4.

а) S=∫(х 2 -5)dх; б) S=∫(х 2 +11)dх; в) S=∫(5-х 2)dх.

5. Найдите истинные равенства.

Тест.

Вариант 2.

Запишите основное свойство первообразной.

Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Запишите с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке:

4. С помощью какой формулы вычисляется площадь данной фигуры?

а) S=∫(-х 2 -5)dх; б) S=∫(-х 2 +3)dх; в) S=∫(5-х 2)dх.

5. Найдите истинные равенства.

а) ∫х 3 dх=3х

Ответы на вопросы теста.

Вариант 1.

∫f(х)dх=F(b)-F(а).

3. S=∫(-х 2 +4х)dх.

4. в) S=∫(5-х 2)dх.

Вариант 2.

3. S=∫(3х+3)dх.

4. б) S=∫(-х 2 +3)dх.

5. б) ∫хdх=2.

Критерий оценки выполнения теста:

за 5 правильно выполненных задания – оценка «5»

за 4 правильно выполненных задания – оценка «4»

за 3 правильно выполненных задания – оценка «3»

за 1-2 правильно выполненных задания – оценка не ставится, вам требуется дополнительная консультация.

Приложение 4.

Выступление физика.

Определённый интеграл широко применяется при решении физических задач. Например, для вычисления работы силы, пути, пройденного материальной точкой.

1. Работа переменной силы.

Работу А, произведённую переменной силойf (х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х=а до х=b, находят по формуле:

b

А= ∫ f (х) d х

а

Для нахождения силы, действующей на тело, применяют закон Гука: F=kх, где k – коэффициент пропорциональности.

2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Если точка движется по некоторой линии, и её скорость v=f(t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле:

t 2

S = ∫ v ( t ) dt

t 1

Определённый интеграл также применяется при:

вычислении объёмов тел вращения в геометрии;

нахождении центра масс в физике;

Приложение 5.

Выступление экономиста:

На уроках «Введение в специальность» мы познакомились с такими экономическими понятиями, как – производительность труда и объём выпускаемой продукции. Эти понятия раскрывают экономический смысл интеграла.

Если f (t ) – производительность труда в момент t , то

T

Q = ∫ f ( t ) dt

0

есть объём выпускаемой продукции за промежуток .

Приложение 7.

Практические задания.

Вычислить интеграл.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

а) у=х 2 +4; у=5;

б) 0,5х+2; у=-х+5.

3.Задачи с физическим содержанием.

Задача 1.

Скорость движения точки v =12 t -3 t 2 м/с . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Задача 2.

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила 10 Н.

Задача 3.

Точка движется прямолинейно со скоростью v (t )=6 t 2 -4 t -1. Найдите закон дви- жения точки, если в момент времени t=1с координата точки была равна 4 м.

Задачи с экономическим содержанием.

Задача 1.

Производительность труда рабочего в течение дня задаётся формулой f (t )=0,00625 t 4 +0,05 t +0,5 ден. ед./ч., где t – время в часах от начала работы, т.е. 0≤t≤8. Найти функцию Q(t) – объём продукции и его величину за рабочий день.

Задача 2.

На складе запас некоторого товара равен 100 ед., а ежедневно поступающий товар выражается формулой f (t )=22-0,5 t +0,06 t 2 , где t- количество дней. Определить количество товара через 40 дней.

Задачи для решения на компьютере.

Задача 1.

Производительность труда рабочих в технической смене при выпуске штангенциркулей определяется формулой f (t )=2,53 t 2 , где t – рабочее время в часах. Вычислить объём выпускаемой продукции за 6 часов рабочего времени.

Задача 2.

Рост населения Воронежской области описывается функцией f (t )=35825 t 2 , где t – время в годах. Определить прирост населения через 15 лет.

И интегрального исчисления к решению физических задач» имеет своей целью изучение курса физики на основе математического анализа.

Данный курс углубляет материал курса алгебры и начал анализа в десятом и одиннадцатом классах и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школьный курс физики. Это темы «Механика», «Электростатика», «Термодинамика» в физике, и некоторые темы алгебре и начал анализа. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с физикой.

Цели факультативного курса.

1. Обучающие: провести практическое закрепление по темам «Механика», «Электростатика», «Термодинамика», проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с физикой.

2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения физики.

3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности , развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).

Примеры решения задач по физике посредствам математического аппарата.

Приложение дифференциального исчисления к решению некоторых задач механики.

1. Работа. Найдем работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х: F = F (x ). Приращение работы А на отрезке [х, x + dx ] нельзя точно вычислить как произведение F (x ) dx , так как сила меняется, на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет главную часть , т. е. является дифференциалом работы (dA = = F (x ) dx ). Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.

2. Заряд. Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t . Если сила тока / постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt . При силе тока, изменяющейся со временем по закону / = /(/), произведение I (t ) dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [t , t +- dt ], т.е.- является дифференциалом заряда: dq = I (t ) dt . Следовательно, сила тока является производной заряда по времени.

3. Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рис. 130, то функция т= т(1) - масса куска стержня от точки О до точки /. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р(/). Если на маленьком отрезке стержня предположить, что плотность постоянна и равна р(/), то произведение p(/)d/ дает дифференциал массы dm . Значит, линейная плотность - это производная массы по длине.

4. Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и вычислим количество теплоты Q { T ), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 °С до Т. Зависимость Q = Q (T ) очень сложна и определяется экспериментально. Если бы теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение cdT дало бы изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [T , T + dT ] теплоемкость постоянной, получаем дифференциал количества теплоты dQ = c (T ) dT . Поэтому теплоемкость - это производная теплоты по температуре.

5. Снова работа. Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, - это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt . Это выражение представляет дифференциал работы, т.е. dA = N (t ) dt , и мощность выступает как производная работы по времени.

Все приведенные примеры были построены по одному и тому знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность; и т. д. Каждый раз одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами двумя других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k (x ) dx . На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины k (x ). Тогда k (x ) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и фиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами.

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики.

1.Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y = f (x ), a ≤ x ≤ b , и имеет плотность = (x ) , то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и O y равны

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">а координаты центра масс и - по формулам где l - масса дуги, т. е.

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах.

Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Так как путь, пройденный телом со скоростью (t ) за отрезок времени , выражается интегралом то имеем:

Уравнение механического движения. Пусть материальная точка массы т движется под действием силы F по оси х. Обозначим t время ее движения, и - скорость, а - ускорение. Второй закон Ньютона, а m = F примет вид дифференциального уравнения, если записать ускорение, а как вторую производную: a = x ’’.

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики

«Применение методов математического анализа при решении практических задач».

Учитель: Вишневская Н.В.

Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.

2. Повторить алгоритмы решения.

3. Разобрать решение задач повышенной трудности.

4. Решить экономические задачи.

План проведения урока:

На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:

а) Области, где применяются методы математического анализа;

б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;

в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.

В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).

Заполняются таблицы.

Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.

Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).

Домашняя контрольная работа.

Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.

Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.

Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F .

Находят производную f этой функции.

Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.

Подставляя значение х = b находят искомую величину.

Домашние задачи (на доске):

Карточка № 7

Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О , по направлению к О . В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О , скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.

а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?

V 1 = 15 км/ч

65 км S 1 О

S 3 S 2

65 км

V л = 25 км/ч

V 2 = 20 км/ч

Решение:

х – время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О , до момента отправления катера.

– время, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.

В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии
км от О ; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О было равно км; путь катера равен
. Тогда по теореме Пифагора

.

Продифференцируем по х :

;

;

Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.

Карточка № 5

Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см 3 . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

у

А R В

dy Н

у

О х х

R = 3 м

Н = 5 м

уд. вес = 0,8 Г/см 3

Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

Решение:

В плоскости сечения хОу АОВ – парабола, уравнение которой
. Найдем параметр а .

Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.

,

, следовательно
.

Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Н – у) равна dy . Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем
.

Из уравнения параболы
, тогда
, т.е. вес слоя жидкости равен
.

Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины
, потребуется затратить элементарную работу
,
. Тогда

, тогда .

Ответ:
.

Работа в классе.

Карточка № 6

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?

Решение:

Согласно закону Гука сила F кГ, растягивающая пружину на х , равна
, k – коэффициент пропорциональности.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда
, следовательно
.

Искомая работа
.

Ответ: 0,18 кГм.

Карточка № 8

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.

Решение:

По закону Гука
.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда
, следовательно
.

Искомая работа
.

Ответ: 0,125 кГм.

Карточка № 9

Сила F , с которой электрический заряд отталкивает заряд (того же знака), находящийся от него на расстоянии r , выражается формулой

,

где k – постоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда из точки , отстоящей от на расстоянии , в точку , отстоящую от на расстоянии , полагая, что заряд помещен в точке , принятой за начало отсчета.

Решение:

Работа определяется по формуле
,
. Тогда

.

При
получим
.

Ответ:
.

Карточка № 3

Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.

Решение:

Сила давления жидкости на площадку площадью S при глубине погружения х равна
, – удельный вес жидкости.

О

х С

dх

А В

Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ , ширину dx и находится на глубине х
.

Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х , будет равно .

Отсюда

,

,

,

.

Удельный вес воды 1 см 3 = 1 Г, следовательно вес 1м 3 = 1000 кГ.

;

1 кГ 9,81 н

1 бар = 0,987 атм.

Ответ: 144000 кГ.

Карточка № 4

Скорость движения точки
м/сек. Найти путь s , пройденный точкой за время Т = 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?

Решение:

, следовательно
,
,
.

Следовательно
.

.

Ответ: 512 м; 64 м/сек.

Карточка № 1 (решается в классе на доске)

Средние совокупные издержки производства мыла (в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q (в тоннах) по закону:

.

Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q , и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой

.

Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?

Решение:

Выразим через Q сначала цену мыла из формулы
.

.

Тогда прибыль G можно выразить:

Найдем критические точки этой функции:

,
.

Критические точки 100, –340, –120.

Отрицательные корни не имеют экономического смысла.

Q

G

;

.

Значит оптимальный годовой объем мыла
т, тогда цена
(тыс. руб./т).

Тогда годовая выручка R составит: (тыс. руб.).

Ответ: 1 млн. руб.

Карточка № 10

Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.

Решение:

5 м

8 м

х

dx 12 м

,
,
м.

кГм.

.

Ответ:
кГм.

Карточка № 2 (дополнительная)

Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек (в тыс. рублей) от годового объема производства Q (в тоннах) имеет вид

.

Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией

Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.

Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.

Решение:

Используя зависимости
и , выразим .

у у

a 0 b c x a 0 b c x

Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский

Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.

Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.

План урока:

1. Защита проекта:

1. из истории интегрального исчисления;
2. свойства интеграла;
3. применение интеграла в математике;
4. применение интеграла в физике;

2. Решение упражнений.

Ход урока

Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.

2 ученик: Свойства интеграла

3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).

4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а х b , f(х) 0 вычисляется по формуле см. рис. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу , то её площадь вычисляется по формуле , см. рис. При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи: а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис. ) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис. ). Площадь находится по формуле . в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у = (х) (рис. )

5 ученик: Решим задачу

х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0

7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе - со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F - сила Н; х -абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F , а k -коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,

где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).

5. ДЛИНА ДУГИ

Пусть плоская кривая АВ (рис.) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) - непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)

где а и b-значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.

6. ЦЕНТР МАСС

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле

(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х" равна .

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 < ... <х n = b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (х k - 1) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна

Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m k , помещенной в точке , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так

Теперь осталось заметить, что при n -> числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу

Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)

Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла Вариант 1 Вариант 2 Итог урока: Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.

Просмотр содержимого документа
«МР комбинированного занятия для преподавателя "Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл".»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ

«БАРАБИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

комбинированного занятия для преподавателя

ДИСЦИПЛИНА "МАТЕМАТИКА"

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.6. Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл

Специальность

060101 Лечебное дело

Курс – первый

Методический лист

Формирование требований ГОС при изучении темы

« Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл»

должен знать:

значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основные математические методы решения прикладных задач;

основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате изучения темы обучающийся должен уметь:

решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

Цели занятия:

Образовательные цели: повторить и закрепить навыки вычисления неопределенного и определенного интеграла, рассмотреть методы вычисления определенных интегралов, закрепить навык нахождения определённого интеграла

Воспитательные цели : содействовать формированию культуры общения, внимания, интереса к предмету, способствовать пониманию студентом сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявления к ней устойчивого интереса.

Развивающие цели:

способствовать

формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Вид занятия : комбинированное занятие

Продолжительность занятия : 90 минут

Межпредметные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат

Литература:

Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 410, с. – (Медицина)

Математика: учеб. пособие / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).

Оснащение занятия:

Раздаточный материал

Ход занятия

Приложение 1

Актуализация опорных знаний

Математический диктант

1 вариант

I .

II .

2 вариант

I. Вычислить неопределённые интегралы

II . Назвать метод вычисления интегралов

Приложение 2

Информационно-справочный материал

Определённый интеграл

Понятие интеграла связано с обратной задачей дифференцирования функции. Понятие определенного интеграла удобно рассматривать на решении задачи о вычислении площади криволинейной трапеции.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной с двух сторон перпендикулярами, восстановленными в точках а и b , сверху непрерывной кривой у = f (х) и снизу осью Ох , разобьем отрезок [а, b ] на небольшие отрезки:

a = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b .

Восстановим перпендикуляры из этих точек до пересечения с кривой у = f (х) . Тогда площадь всей фигуры будет примерно равна сумме элементарных прямоугольников, имеющих основание, равное  х i = х i -х i -1 , а высоту, равную значению функции f (х) внутри каждого прямоугольника. Чем меньше величина  х i , тем точнее будет определяться площадь фигуры S . Следовательно:

Определение. Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b ] и выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а, b ] и обозначают:

где f (x ) ‑ подынтегральная функция, х ‑ переменная интегрирования, а и b - пределы интегрирования (читается: определенный интеграл от a д o b эф от икс де икс).

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла связан с определением площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией у = f (х) , снизу осью Ох , а по бокам ‑ перпендикулярами, восстановленными в точках а и b .

Процесс вычисления определенного интеграла называют интегрированием. Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Если пределы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю:



Если переставить пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:



Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:



Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f 1 (x ), f 2 (x )... f n (x ), заданных на отрезке [а, b ], равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:



Если функция всегда положительна, либо всегда отрицательна на отрезке [а, b ], то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция:

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Теорема. Величина определенного интеграла от функции f (х) на отрезке [а, b ] равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:

Из этой теоремы следует, что определенный интеграл есть число, в то время как неопределенный ‑ совокупность первообразных функций. Таким образом, согласно формуле для нахождения определенного интеграла необходимо:

1. Найти неопределенный интеграл от данной функции, положив С = 0.

2. Подставить в выражение первообразной вместо аргумента х сначала верхний предел b , затем нижний предел а, и вычесть из первого результата второй.

Вычисление определенных интегралов различными методами

При вычислении определенных интегралов используют методы, рассмотренные для нахождения неопределенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод основан на использовании табличных интегралов и основных свойств определенного интеграла.

ПРИМЕРЫ:

1) Найти

Решение:

2) Найти

Решение:

3) Найти

Решение:

Метод замены переменной интегрирования

ПРИМЕР:

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вводим новую переменную

u =3 x ‑ 1 , тогда du = 3 dx , dx = . При введении новой переменной необходимо осуществить замену пределов интегрирования, так как новая переменная будет иметь другие границы изменения. Они находятся по формуле замены переменной. Так верхний предел будет равен и b = 32 ‑ 1 = 5 , нижний ‑ и а =31 ‑ 1 = 2 . Заменив переменную и пределы интегрирования, получим:

Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:

ПРИМЕР:

1) Найти

Решение:

Пусть u = ln x , dv = xdx , тогда

Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

Вычисление площади плоской фигуры

Ранее было показано, что определенный интеграл можно использовать для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком функции у = f (x ), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = b .

Если функция у = f (x ) находится ниже линии абсцисс, т.е. f (x )

Если функция у = f (x ) несколько раз пересекает ось Ох , то необходимо отдельно найти площади для участков, когда f (x ) 0, и сложить их с абсолютными величинами площадей, когда функция f (x )

ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией у = sin х и осью Ох на участке 0  х  2.

Решение. Площадь фигуры будет равна сумме площадей:

S = S 1 + | S 2 |,

где S 1 - ; площадь при у 0 ; S 2 - площадь при у 0.

S=2 + 2 = 4 кв.ед.

ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = х 2 , осью Ох и прямыми х = 0, х = 2.

Решение. Построим графики функций у = х 2 и х = 2.

Заштрихованная площадь и будет искомой площадью фигуры. Так как f (x ) 0,то

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая у = f (х) на отрезке [а, b ] имеет непрерывную производную, то длина дуги этой кривой находится по формуле:

ПРИМЕР

Найти длину дуги кривой y 2 = x 3 на отрезке (y0)

Решение

Уравнение кривой y = x 3/2 , тогда y’ = 1,5 x 1/2 .

Сделав замену 1+получим:

Вернёмся к первоначальной переменной:

Вычисление объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = f (x ) и прямыми х=а и х= b , вращается вокруг оси Ох , то объём вращения вычисляется по формуле:

ПРИМЕР

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох полуволной синусоиды
y = sin x , при 0≤ х≤ .

Решение

Согласно формуле имеем:

Для вычисления этого интеграла сделаем следующие преобразования:

Приложение 3

Первичное закрепление изученного материала

1. Вычисление определённых интегралов

2. Приложения определённого интеграла

Площадь фигуры

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Путь, пройденный телом (точкой) при прямолинейном движении за промежуток времени от t 1 до t 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за 10с от начала движения.

Скорость движения точки изменяется по закону v =6 t 2 +4 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой за 5с от начала движения.

Скорость движения точки v =12 t -3 t 2 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v =6 t 2 +2 t (м/с), второе
v =4 t +5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

Приложение 4

Самоконтроль по теме

«Определённый интеграл и его применение»